再來求助一道線性代數證明題，怎么做啊怎么做？

wendycat

復習全書366頁有道題是：
設A，B均是n階矩陣，且秩r(A)+r(B)<n,證明：A，B有公共的特征向量。

書上的解答很麻煩，下面評注里說：“要注意當A是n階矩陣時，Ax=0的基礎解系就是λ=0的特征向量，本題有相當簡捷的證明方法(即聯立方程組，請讀者自己完成)

可是我自己怎么也完不成啊，按照它這個所謂的簡捷方法是怎么做的呢？大家幫幫我吧，頭都想暈了[em:14]

[ 本帖最后由 wendycat 于 2009-8-21 18:45 編輯 ]

remarkble

易得Ax=0的基礎解系與Bx=0的基礎解系合并的線性組合是相關的。
即，A和B屬于特征值0的特征向量合并的組合是相關的
所以有共同屬于特征值為0的特征向量，

[ 本帖最后由 remarkble 于 2009-8-21 18:59 編輯 ]

wendycat

怎么證它們倆的基礎解系是相關的呢？題目里r(A)+r(B)<n這個條件是怎么用的呢？

remarkble

設r(A)=L,   r(B)=m,則L+m<n
由已知得：Ax=0的基礎解系的維數K1>n-L
Bx=0 基礎解系的維數 K2>n-m
合并后的線性組合的向量個數是2n-L-m>n

故向量組的向量個數大于每個向量的維數：向量組必相關
所以合并后基礎解系相關

dingjie154

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dingjie154

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remarkble

原帖由 dingjie154 于 2009-8-21 19:25 發表

哈哈你這樣做啊？那就錯的太離譜了哦

[ 本帖最后由 remarkble 于 2009-8-21 19:34 編輯 ]

dingjie154

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remarkble

原帖由 dingjie154 于 2009-8-21 20:17 發表

錯了？請指教。。

r(A)+r(B)<n A,B有公共的特征向量
方程組為：
AX＝0    ---------（1）
BX＝0    ---------（2）

（1）+（2）得：
(A+B)X=0   -----------（3）
r(A+B)<r(A)+r(B)<n   ----------> 方程（3）有非零解，即A和B的公共向量
==============

Ax=0和Bx=0有無公共解，與（A+B)x=0 有無非0解無關

booom

二樓正解