相對論通俗演義

Kolmogorova

序1
張軒中其文其人:代為《相對論通俗演義》之序

第一次深入窺探張軒中作品大約是《從前考研三部曲》以及《大學四年》，這是張軒
中以軒軒這一昵稱在昌海網站之繁星客棧所作的回憶式自傳體散文。之所以我說這是第一次
深入窺探，是因為我后來知曉在這之前我曾接觸過他在北師大物理系系刊“求索”上發表的
小說《毒藥》以及在北大未名或是***清華上發表的物理學小史《無理學前沿選講》。這兩部
作品當時我最多就是瀏覽過，之所以如此，其一是因為我似乎并不是一個愛看小說的人，說
來慚愧，四大名著不曾系統拜讀過，金庸作品也不曾細致欣賞過。在中學時期讀過的無外乎
就是錢鐘書的《圍城》，此外便是《故事會》以及《微型小說選刊》之類的玩意；在大學階
段讀過的好像也就是雨果的《巴黎圣母院》以及路遙的《平凡的世界》，還有就是一些英文
小說的簡易讀本。其二大約是因為我那時有點自命清高，自以為無論在物理學正史方面還是
在物理學家逸聞趣事方面，書著實是讀了不在少數，好歹也能稱得上是個“萬金油”。對于
此等無名小輩之物理學小史實在不屑一顧，大抵就是東拼西湊之作。
然而，頗具諷刺意味的是，這一深入窺探之后便不能自拔，竟然成了張軒中作品的
Fans，于是便到處搜索他的別的作品來欣賞，這自然包括前面所提及的曾經受我冷落但本不
應該被冷落的兩部作品。張軒中的作品盡管介于真實與虛幻之間，然而你卻能感受到這是用
一顆炙熱而又真誠的年輕的不老之心所作。作品最大的特質也是讓我欣賞不已的地方便是個
性化的極度張揚。每部作品都深深地打上了張軒中的印章:隨心所欲，隨興所致達天馬行空，
為所欲為；不假雕琢，不加修飾至自然之極，渾然天成。一言以蔽之，如此作品，又豈是我
輩所能道也，又所謂道可道，非常道；名可名，非常名。
作為張軒中作品之Fans，欣賞其文，自然“愛屋及烏”，也便盲目的欣賞其人了。然
而其人身在何處，我那時確是不甚了解的。正所謂“不識廬山真面目，只緣身在此山中”，
抑或是“真人不露相，露相不真人”。原來張軒中其人遠在天邊，近在眼前，竟然是我的師
弟，張軒中是其網絡上的筆名。初識張軒中，是在丘成桐先生籌建的晨興數學中心的報告廳，
好像是聽關于Spinor 的入門報告。其當時給我的印象是外形俊朗，穿著休閑，靦腆中透著
剛毅。后來因為自然的一些原因便熟識起來，發現此人正直，義氣，坦誠，善良；特別的，
沉默寡言，獨立特行，這大約是他與我或者大家始終保持著一段默契的距離的緣由吧。
張軒中其文既然是我欣賞的，我便自然的期待其新作品的問世；張軒中其人既然是我
熟識的，我便也常常鼓勵與催促其新作品的寫作。顯然張軒中是個在懶散中求奮進而勤懇耕
作的人:每當我看見張軒中坐在電腦前輕快的敲擊鍵盤時，我便在想，這是一種習慣呢，還
是一種激情呢？抑或是一種堅忍不拔的毅力？但無論如何，《相對論通俗演義》就這樣一章
一章的發表了，而且還要發將下去。此部作品，顧名思義，是以通俗演義的方式來敘述相對
論的發展歷程，既對其中重要的結論給予現代詮釋，也對其中重要的人物給予歷史分析。盡
管此部作品從科學和歷史的角度來看，會有些不可避免的錯漏，但顯然其將會是中國甚或世
界科普創作的一朵奇葩:科普也閑情，科普也逸致，科普也灑脫，科普也瘋狂；因為其上有
張軒中的印章。

Kolmogorova

第一章 早期的英雄時代
（1）
歷史是淹沒在荒煙蔓草間的，當后人回頭看歷史的時候，尤其能看到一些神話和英雄
史詩，雖然模糊不清，但讓你感覺到心潮澎湃。相對論一直是地球上最美麗的學問。這一門
學問是愛因斯坦創立的。它最根本的看法，是研究我們的宇宙，因為宇宙只有一個，而我們
身處其中，于是，很多人難免擔心，我們做為宇宙的一部分，能不能認識宇宙。正如你的一
個手掌，能不能認識你這個人。這個問題是玄妙的，中國古代的莊子和屈原等人也思考過這
樣的問題，他們有一個很模糊不清的認識，原因是因為他們沒有具備一些數學描述。
宇宙洪荒，是很玄很妙。問題的關鍵在于如何認識它，很多人的思想在這里匯集。尤
其是蘇東破的一句詩，被認為可以體現一種思想情操。
他說:不識廬山真面目，只緣身在此山中。
蘇先生是一個很大的才子，他的這個詩本身是具有哲理性的。當我們把他運用到這個
宇宙的時候，我們就會反躬自問:是否，我們處在宇宙之中，所以，我們無法認識宇宙的真
面目。這個問題本身沒有唯一的答案，從愛因斯坦說法上，我們可以看到一個自然科學家的
態度。
愛因斯坦說:宇宙最不能理解的地方是，它居然是可以理解的。
可知論和不可知這兩種論調是人類個體的分水嶺。但這樣分界是不明顯的，很多人從
來沒有問過自己，自己到底屬于可知論者還是不可知論者。很多時候，這樣的分類也是缺乏
意義的。但，一個事實永遠存在，就是一定有很多人，對未知事物充滿好奇之心。
（2）
我們仰望星空，俯仰天地。態度決定一切。在認識宇宙，或者說，認識未知世界的道
路上，尸橫遍地。數學家們，相對于其他的一批人，以其特有的執著和特立獨行，來給這個
宇宙造一個描述的工具。并且，這個工具是最基本的。數學比繪畫和音樂要更加基本。繪畫
和音樂，描述世界，但依賴于眼睛和耳朵。而數學，有一個最基本的依賴，它依賴于大腦。
有理由相信的一點，是我們地球文明之外的文明，他們那些智慧生物可以沒有眼睛，沒有耳
朵，但他們不能沒有大腦。

畢達哥拉斯是一個杰出的古代數學家，他認為，世界的本質是數。
他的說法聽起來好象是有點夸張了，但初衷是善良的，不是說他要故意壓迫那些非數
學家。2，3，5，7……這些的數字，我們稱為素數，它們是基本的。人類要向外太空發射信
息，尋找其他的文明，一個方法就是朝天空發射“素數”。因為，宇宙的各個角落，要是也
有文明的外星人，他們收到這樣的信號，會歡欣鼓舞，因為這無疑給他們一個預示。
預示在這個蒼涼的宇宙，他們并不孤獨。
數是基本的，但廣義相對論卻更多地和幾何學發生了關系，這一點在后面的篇幅中再
逐漸展開。當然，有一位得Fields 獎的數學家道格拉斯曾經說過:“我的切身體會是，幾何
學家是好人。”他的話里面有溫情脈脈的情感因素，但修正他的話，我們會發現是這樣:“我
的切身體會是，數學家是好人。”
是的，數學是仰望宇宙的透鏡。
在古代的數學家中，有一個人，他讓我們知道，寄生在這世上是那么好，這個人的名
字是歐幾里得。
（3）
歐幾里得寫的一本眾所周知的書，叫《幾何原理》。這至少是2000 年前的事情了。但
中國人看到這書的時候，是在明朝的徐光啟時代。也就是說，中間有至少1200 年的時間差
距。我不想查書用來精確表示這些年代差異，是因為我不是搞歷史的，也不想過于在一些瑣
碎的事情上精密無比。
《幾何原理》里有五條公理。雖然一般人說不全，但第五條說所有平行直線永不相交。
這一條大家全知道，被叫做第五公設。也就是說，有的人認為，這一條，不能做為一個公理，
因為它可能可以被其他公理推出來。
《幾何原理》好象是一個大廈，它有五個巨大的石頭做為地基。但第五塊石頭，有的
人認為，有問題。
愛因斯坦的相對論，與第五公設這個問題休戚相關。當然，我不預備在這里做任何數
學的證明，通俗的演義往往與數學相隔遙遠，我們引用愛丁頓的話:證明是一個偶像，數學
家在這個偶像面前折磨自己。
第五公設折磨了一代又一代的人。現在看來，這個折磨已經結束，但其意義非常深刻。
歐幾里德的幾何學，是關于平坦空間的幾何學。而真正廣泛的幾何學，它不僅僅要處理平坦
空間里的情景。Riemann 是研究彎曲空間幾何學的大師。他死的時候才39 歲，但他活著的
時候一直很優秀，1854 年，他為了在哥廷根大學獲得一個講師的職位，發表了一個關于幾
何學的演講，演講的題目是《論幾何學的基礎》，這次講演是開天辟地的一個壯舉。下面的
聽眾很多，但據說，幾乎沒有人能夠聽懂，頻頻點頭表示贊同人只有一個人，是一個老頭，
名字叫Gauss。

這個故事發生在Riemann 為了得到講師職位的時候，有的人可能會覺得很奇怪，為
什么一個講師講的東西在那大學里別的教授全聽不懂。這樣的現狀是存在的，并且是不能避
免的，只說明Riemann 實在是太有才華了。一般地，在一所很好的大學，無論是古代還是
近代，都可能有這樣的感受:
博導不如教授，教授不如副教授，副教授不如講師。
這是正常的好大學必須的。我們知道，在當時，Riemann 講師是最偉大的，他后來的
貢獻繁多，以其在微分幾何和復分析里的偉大建樹影響歷史，現在的Riemann 猜想還在領
導數學的潮流，在物理學里，Riemann 的級數在量子場論中經常出現，在相對論中，研究
casimir效應，也要用到。
Riemann幾何的出現，給愛因斯坦的引力理論，提供了一個先天的數學工具。歷史表
明，數學物理在這個時候，達到了一個全新的高度。
（4）
今月也曾照古人。這是李白說的。看到月亮，很多人有一些基本的問題，比如說，1640
年左右，也就是中國的吳三桂引著清兵進入山海關的時代。英國的cambridge大學有一個叫
牛頓的人，他解決了一個問題，按照現代語言來說，是牛頓發現了萬有引力定律，從而解釋
了為什么月球在天空繞地球天馬行空地周期轉動。牛頓發現萬有引力定理以后，我們才真正
看到了物理。而相對論，就是研究萬有引力的。
牛頓是懷著格物知理理想的數學物理大家。牛頓和愛因斯坦是人類歷史上科學巨匠。
但牛頓本身，相比愛因斯坦，具有一種由內而外的霸王氣概。他的工作顯然是劃時代的，其
情操，也是劃時代的。在歷史上，他與萊布尼姿和胡克等人有過交惡。同時代的那些偉人在
他面前，幾乎全掉了顏色。我們只能由衷得嘆上一句:到底是牛頓！
在人品上，牛頓不算是一個謙恭之人。一個人持才傲物，藐視同倫，普通人是做不到
了。牛頓的萬有引力定律，僅這一項，就足夠他鶴立雞群了。何況牛頓有那么多大的發現。
蓋棺論定得說，牛頓其人，500年不朽，牛頓其文，1000年不朽。1000年以后，世界末日，
什么都朽了。
（5）
物理學也有最初的童稚時代，比牛頓要早，是哥白尼的出現，后者寫了一本書，書名
叫《天體運行論》，出版是1543年，出版的時候，作者已經快死了，原因是因為這本書是一
本很反動的書，著者選擇在臨死之前出版它，是一種對自己負責的態度。這本書主要說了一
個事情，就是地球是繞著太陽轉動的。這個是天文學和物理學上的第一個有實際意義的進展，
早于康德和拉普拉斯的星云說時代。康德是一個德國的哲學家，一輩子沒有出過一個叫哥尼
斯堡的小鎮，但其了解天下事，康德說，只有兩件事情可以震撼我的心靈，一是人類的道德
情操，一是我們頭頂的星空。可見康德多少對星空有點研究，他可能認為地球上的一切，全
來自星云的演化，這是一個比生物進化論更強大的進化的觀點。拉普拉斯是19 世紀的法國
人，在拿破侖的宮廷干過行政。國王拿破侖是一個數學愛好者，他曾經有一個拿破侖定理，
是很有點意思的。定理說，任何一個三角形，各邊上各作等邊三角形，接下來將這三個三角
形的重心聯結起來，那么就必定是一個等邊三角形。當然拉普拉斯的數學才能，遠過于拿破
侖。拉普拉斯微分算子，這個微分算子的背后是一片汪洋大海，這個算子描述定態的薛定格
方程，所以在物理上也是很有用的，真正有思想的人，往往會在三角形區域解拉普拉斯方程。
這個拉普拉斯微分算子可以被開方，得到dirac算子，dirac算子背后是一片原始森林，因為
dirac是20世紀最偉大的物理學家，他和薛定格一起得到1932 年的諾貝爾獎金，薛定格說:
“我們得獎的時候，dirac還非常年輕，我是帶著我老婆去領獎的，但dirac是帶著他媽媽去
的”。由此可見，dirac是一個非常年輕有成績的物理學家。是他走出了把狹義相對論和量子
力學結合起來考慮的道路。關于這些算子理論，極大地推動了數學的發展。也是從算子的譜
開始，我們從連續的數學分析走向離散的特征值問題的研究。而離散的性質，恰恰是量子力
學的精髓之一。
回頭來看哥白尼的工作。他的工作說明，人類第一個較明智的科學看法，不是研究宇
宙如何起源，演化，而在于研究太陽和地球的關系。這是一個很務實的進步。就是在現代，
雖然有精確宇宙學這樣的學問，研究宇宙如何膨脹，如何加速膨脹，但前路漫漫，讓不專門
從事理論物理的人瞠目結舌地懷疑，是否目標過于龐大，你們居然研究整個宇宙，把星系當
做塵埃？
相對論學家似乎存在一個情節，那算是一個單純信仰，他們認為，世界可以被還原為
一個單一的原理。而凝聚態物理和統計說明，在不同的尺度，有不同的物理。比如人類的存
在，人類的情感和思維，不是物理學的單一原理可以解釋的。統計性和自組織性的出現，使
得在相對論學家的眼睛里，這個世界變的高深莫測了。
無論如何，相對論還是一如既往地奢侈和不切實際，因為，它是預備去理解宇宙。
（6）
20世紀之前的所有年代，相對論還沒有誕生，我統稱它們為“英雄時代”。在這個漫
長的時代里，有無數的數學物理兩門學科里的英雄人物，這批人中的杰出代表是牛頓。這個
時代是一個古典為主的時代。而廣義相對論的出現，是這個古典時代的結束。廣義相對論是
“經典的極致”。在字典里，“經典”應該有兩個意思，一個是古代的，古典的；另外一個就
是優美的，美到可以寫進歷史之書。這樣的美是很少見的，往往在平面幾何里你偶然能感受
到這樣的震撼心靈的美。

在極早期，托勒密認為太陽繞地球轉動。他認為太陽繞地球轉動，現在看來，也算是
沒有錯誤。為什么？因為，機械運動是相對的。誰動誰不動，在牛頓的眼睛里是“相對的”。
所以說，按照牛頓的看法，描述地日運動，托勒密的思想是沒有問題的，雖然它可能導致一
系列不優美的結論，比如導致木星也繞地球轉動，那么我們這個太陽系看上去還真是亂糟糟
的，一點也不優美了。但托勒密在平面幾何里關于圓的內接四邊形的一個定理，是天籟之聲。
這個定理是美的。這樣的數學之美，與同時代的屈原對香草美人的美來比較，我們看到一點
西方的數學邏輯的輝芒。
dirac 和愛因斯坦，以及其他的很多人，全是追求美的天才。相對論，恰恰給我們展
現了一個數學邏輯上的美感。
這個美，引得無數英雄競折腰。
是的，我們全是一群在朝圣路上踽踽獨行之人。
壯美矣！愛因斯坦！！

Kolmogorova

第二章 一個美麗的橢圓
（1）
1543 年，哥白尼關于日心說的工作之后，丹麥的天文學家第谷不太同意哥白尼的觀
點。他出生貴族，是一個有錢來做天文觀測的人士。據說第谷年輕的時候與人斗毆，被砍掉
半個鼻子，所以他后來有半個金鼻子，長相顯得非常怪異。他開始夜觀天象，并且整理了一
套看上去雜亂無章的數據。這套數據，最后保留著給了他的助手，一個叫開普勒的人，但第
谷的本意，好象是想把這些數據傳給自己的女婿的。開普勒一生生活是相當潦倒的，最后還
死在討債途中，那是在1630 年，他幾個月領不到薪水，經濟困難，不得不親自前往雷根斯
堡的基金會索取，在那里他突發高燒，幾天后在貧病交困中去世。他去世的時候，覺得自己
非常對不起自己的老婆孩子，因為他把自己的一生精力，全花在研究天文學和寫書出版之上
了。他在出版書的時候，據說，第谷的女婿還給他寫了一個序文，這個序文有一個特點，是
通篇大罵開普勒剽竊第谷的成就。這樣子的書是很奇異的。
但開普勒的幾本書《新天文學》和《宇宙和諧》先后給出了3 個行星運動定理。第一
個定理是很重要的，認為行星運動的軌道是一個橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點之上。他實
際上沒有想到，未來會表明，一個封閉的橢圓是一件過于唯美之事，因為根據愛因斯坦的相
對論，軌道會有進動，我們不能得到一個封閉的橢圓。第二個定理異常強大，他幾乎用肉眼
看出角動量守恒定理，說的是行星矢徑在單位時間掃過的面積相同。第三個定理，似乎絕對
是上帝的旨意，要從一組數的三次方和另外一組數的平方中看到不變量，依靠一般凡人的眼
睛，往往不夠，這個定理說的是行星運動周期的平方和軌道半徑的立方成正比。
這三個定理，迫使牛頓得到萬有引力定律。萬有引力的出世，其實來自于開普勒對數
據的千萬次摸排。開普勒的視力不好，相比第谷，他顯然不擅長天文觀測，但他的確具備從
復雜數據中提煉出物理規律的神奇能力。這往往是一種從天上看到人間的天賦異稟。

他的行星運動第一個定理里，開始出現一個完美的橢圓。
(2)
一般說來，一個橢圓是封閉的，這樣的對稱性背后，包含著守恒的物理量。由對稱性
導致守恒量，是偉大的德國女數學家Noether 的思想，數學家外爾曾經這樣開玩笑:“女數
學家有兩種，一種不是女的，一種不是數學家”
，沒有問題，Noether 肯定是一個數學家，她一輩子沒有結婚，把全部精力投身給了
近世代數。某個時候CN.yang認為，Noether的這個原理是最基本的，于是，國內講力學的
教材開始了一次改革，改革的結果是從對稱性開始講力學。無論怎么樣，對稱性是美的化身。
描述對稱性最好的語言是群論。對稱性和守恒量有一一對應的關系，這一點，是深刻的。比
如，眾所周知的結論是，空間是均勻的，所以動量守恒。于是，行星運動的軌道是封閉的橢
圓，這樣的對稱性導致的守恒量就是龍格—楞次矢量。
什么是橢圓？在數學上，橢圓的定義是在平面上到兩個定點之間的距離之和等于定長
的點所組成的集合。這個是很清楚的，一般高中生就要學會怎么樣畫一個橢圓。這是解析幾
何里的事情。在Fermat 和笛卡兒的解析幾何里，人們換了一個看法，那就是把一個曲線與
一個代數方程等同起來，這樣的想法把代數和幾何結合起來，這樣的結合是思想的奇葩，包
括后來在物理中經常運用的所謂su（2）李群，從代數的角度去看一下，就可以知道它其實
就是一個3維球面。解析幾何的一個很直觀的推廣是能不能把一個n維流形嵌入到高維歐空
間，然后再把這個流形表達成為一個或者一組代數方程。這樣事情Nash 等人做過了。
解析幾何帶來的一個全新的數學時代。只有當橢圓被放在坐標系里的時候，才可以遇
見另外的問題，那就是如何計算橢圓的周長。這個時候，完美的橢圓似乎突然讓人迷惘。因
為，圓的周長是很簡單的，上過學的人全會算，而橢圓周長，上過學的一般不會算。
（3）
計算橢圓周長的問題也難住了牛頓。雖然用牛頓的萬有引力定律，可以得到橢圓軌道。
但仔細地研究這個橢圓的來歷，有一些需要推敲的地方。在經典的力學里，Bertrand定理說，
只有當中心勢是庫侖勢或者諧振子勢的時候，軌道才是封閉的。這個定理是重要的，因為它
否認了其他勢場里存在封閉軌道的可能性，哪怕是對庫侖勢的微小偏離。所以，當愛因斯坦
的廣義相對論對萬有引力的庫侖勢做修正的時候，在理論上，這個完美的橢圓崩潰了。
離太陽最近的行星是水星，那兒的萬有引力場強最大，廣義相對論的修正最明顯，之
前人們已經觀測到水星近日點存在進動，也就是說，人們開始注意水星的公轉軌道是不是一
個封閉的橢圓，但沒有人可以解釋這到底是為什么。既然軌道不是橢圓，我們就知道，水星
與太陽之間的萬有引力勢場不是嚴格的庫侖勢。這似乎應該意味著一個曙光的黎明，相對論
雖然比較難以理解，但在這個橢圓封閉性問題上，結論是很清楚了。原來，牛頓的萬有引力
定律，那樣美的一個定律，在引力比較強的時候，也是不對的。

愛因斯坦的廣義相對論解釋了水星近日點的進動，這是對廣義相對論的三大驗證之
一。1919 年的時候，英國天文學家愛丁頓利用日全食的機會，他領導下的實驗證明了光線
偏折的規律也符合廣義相對論的預言，這個實驗是著名的，因為他極大地支持了愛因斯坦的
理論。當時也就是第一次世界大戰，德國和英國是敵對國，所以這個實驗的成功的時候，大
眾的眼球被吸引了，報紙的頭版是這樣的:英國科學家支持了德國科學家的理論。當愛丁頓
做出這個實驗的時候，他的心情很可能比愛因斯坦更加激動。有一個說法是他認為自己和愛
因斯坦是當時唯一懂得廣義相對論的兩個人。而當記者問愛因斯坦說，當您的理論被實驗證
明是正確的時候，您怎么想？愛因斯坦的回答說:沒有什么好奇怪的，上帝安排的，我不相
信還會出現別的結果。
（4）
雖然1919 年，牛頓理論已經被實驗證明應該被愛因斯坦的廣義相對論所取代，但牛
頓依然是繞不過去的存在。拿牛頓萬有引力定律和庫侖定律來比，雖然有點抬舉庫侖，但馬
上會發現牛頓的意義有很多。牛頓的萬有引力定律，實際上告訴人們，質量總是正的，也就
是萬有引力總是相互吸引，這樣的話，宇宙似乎不能跟一個孕婦一樣，不由自主地膨脹。但
目前觀測到的宇宙，它居然在膨脹，并且還是加速膨脹。對于宇宙的加速膨脹，這里只是暫
時提起。但這個問題，已經成為了21 世紀物理學晴朗的天空里最大的一個烏云，這個烏云
似乎要覆蓋整個天穹，讓人分外地不安。情況就是這樣的，物理學家本來以為自己已經快了
解了整個宇宙的100%，后來突然被一聲悶雷驚起，一個聲音說，“無知的狂妄，你僅僅了
解我的4%”。質量總是正的，可能讓人想起經典廣義相對論中著名的正質量猜想。有的人
會想起1980 年代witten和ST.yau對該猜想的的證明。
當然，如何定義質量，在廣義相對論中，也是一個具有不止一個標準答案的問題，在
正質量猜想里的是ADM質量。在這里，我們幾乎可以揮別牛頓了。
有一個叫伏爾泰的法國人，他也曾經研究了一下牛頓的事跡，現在關于牛頓和蘋果落
地的這些故事，多數也是出自他的手筆。伏爾泰是一個能力很強的文科圣手，他還勾引了一
位公爵的老婆，也許是相互勾引，——后來兩人一起私奔。
1727 年牛頓逝世，思想界的巨擘辭世，伏爾泰參加了葬禮。牛頓84歲離開人世，為
他抬棺材的是兩位公爵、三位伯爵以及大法官。伏爾泰是這樣描述的:"他是像一位深受臣
民愛戴的國王一樣被安葬的。在他之前，沒有哪一位科學家享受如此殊榮。在他之后，如此
厚葬的也將是屈指可數。"牛頓去世后不久，詩人薄柏總結了世人對牛頓的評價，說:自然
規則在黑暗里，上帝說，讓牛頓干吧！于是一切大放光明。
牛頓是一個聰明人，他幾乎能從容應對所有非常的局面，但他不是完人，他在數學上
也遇見一些困難。比如他不能求出全部自然數倒數平方之和，也不能積出橢圓的周長。歷史
朝后面發展，我們發現，橢圓周長只能用非初等的橢圓積分表達出來。而另人驚奇的是，挪
威數學家Abel 證明了五次方程沒有代數解答，但有些五次方程的解，可以通過橢圓函數來
表出。這說明了數學的各個側面具有統一性的一面。而相對論在經歷了1970 年代之后的多年
的沉寂以后，面臨著一個引力量子化的命運。在量子引力的理論中，橢圓函數等等，也全
面都浮現出來。所以，這個完美的橢圓，告訴我們不少秘密，盯著一個橢圓看很久，里面全
部是秘密。有一句箴言:一花一世界，一沙一天堂。

Kolmogorova

第三章 等效原理
（1）
1841 年，中英鴉片戰爭在進行之中，西方遠遠地領先于中國，22 歲的劍橋大學數學
系的學生亞當斯根據牛頓萬有引力和天王星運動的軌跡，假想有一顆未知的行星在天空運
行。他經過一年的計算，猜測出這顆可能的行星的軌道。1843年10月，他把自己預言的這
顆新行星的軌道寄格林威治天文臺臺長。但是，這位天文臺臺長對亞當斯的信不予理會。他
嚴重地不相信這個年輕的大學生會在筆尖發現一顆新的行星。
另一位法國青年天文學家勒維耶也在研究這個問題。他也推測是因為存在一顆未知行
星的引力作用，使天王星的軌道運動受到干擾，也就是天文學上所謂的“攝動”影響。他計
算出這顆行星的軌道、位置、大小，然后請德國天文學J.G 伽勒尋找這顆
未知的行星。1846年9月23日，伽勒根據勒維耶預言，只花了一個小時，就在離勒
維耶預言的位置不到1 度的地方，發現了一顆新的行星。后來這個新的行星被命名為海王星。
發現海王星的那一年，勒維耶35 歲。
亞當斯和勒維耶所做的工作，類似與同時代的門捷列夫，門捷列夫通過對元素卡
片的一次又一次地排列，預言了大量的未知元素。
水星也是太陽系的一顆行星，它在近日點時也有類似于天王星的不遵循軌道運動的現
象。1855 年，勒維耶根據他發現海王星的經驗，預言在水星軌道內有一條行星帶，它影響
了水星的運動。這一次，勒維耶失敗了。這一次失敗有點象后來的物理學家泡利，泡利因為
根據能量守恒而預言中微子的存在，聲名雀起，但又相信宇稱守恒而預言上帝不是一個左撇
子，遭遇失敗。但勒維耶發現海王星，在這之后的確沒有人再懷疑牛頓的萬有引力。但20
世紀初的天文觀測發現了水星軌道的異常，這為萬有引力定律掘墓。事實似乎說明，橢圓不
能精密描述行星運動。在另外的一個側面，拋物線出場了。在這里談及的曲線還全是空間里
的曲線，不是時空中的世界線，世界線是相對論中最基礎的概念之一，大概意思是把一個空
間點拉長成為一條線，而Dirac方程在粒子的世界線上引入了超對稱，這樣的看法還為時尚
早。
伽利略 (1564 ~
1642 年)，出生于意大利的比薩,他從小就喜歡思考。十七歲時進入比薩大學念醫學。
在他的學生時期,他看到吊在教堂圓型天花板的燈的擺動,發現了鐘擺周期只與擺線的長度有
關，而與擺角和擺錘的質量無關，這真是一個出人意料的發現，簡直可以作為上帝存在的明
證，他的這個發現，大致上就是發現了簡諧振動，簡諧振動是一個二階常微分方程。
他是那個黑暗時代的先知，同時是英雄時代的偉大導師，聰穎過人，心比天高，這一
點可以從他的兩個思想實驗里看出來。這些思想使得牛頓認為自己是站在巨人伽利略的肩膀
之上。
第一個思想實驗是用來說明自由落體運動的。雖然據說他后來也在比薩斜塔親自做了
這個實驗。但他的思想實驗，卻似乎更加可信，甚至不能辯駁。他說:“不考慮空氣阻力，
輕的東西將和重的東西同時下落，它們將同時落地。因為假如亞里士多德是對的，重的先落
地，而輕的后落地，那么，倘使我在它們兩個之間連一個無質量的剛性細繩，可以想見，總
質量大于它們兩個的單獨質量，于是，按照亞里士多德，這個整體將落的更快，但事實上，
輕的東西一定會拖重的那個的后腿。于是這就自相矛盾。可見，亞里士多德是錯誤的，輕的
東西和重的一樣，必然需要時刻有相同的速度，它們同時落地。”
這個思想實驗，使得人們認識了自由落體運動的思想精髓。自由落體成為相對論初期
研究的一個專門武器，愛因斯坦據此思考了等效原理。伽利略逝世的那一年是1642 年，同
一年牛頓誕生，而其自由落體的思想一直到20世紀初，依然為愛因斯坦所沿用，并且在1907
年靈光一現，發現了等效原理。這有一點類似九方皋相馬，普通人往往跟伯樂的兒子一樣，
只知道按圖索驥。
——而愛因斯坦，卻在一個古老的思想里發現了新的真理。
(2)
拋物線是圓錐曲線的一種，它的非線性性質在混沌動力學中被經常利用到，然后平地
起驚雷，說，周期三導致混沌，出現了周期三，其他什么周期都將出現。可見，從拋物線出
發，往往能夠深入淺出。在教室里斜拋一個粉筆頭，它總是畫出優雅的舞線。假如沒有空氣
阻礙，其軌跡是一條拋物線。其運動可以被簡單分解，在豎直方向上，它是帶初速的自由落
體運動，在水平方向是勻速直線運動。
一個最簡單的計算可以表明，以相同的初條件斜拋出不同質量的物體，其運動軌跡是
拋物線，這些拋物線全部是可以重合起來的，因為它們一模一樣。不同的質量，相同的軌道，
這說明，運動軌道與質量沒有關系，這一點與單擺一樣，再次證明上帝存在，拋物線和單擺
是處在引力場中的，它們這樣的現象，說明這好象是一個內稟的幾何效應。
簡單的拋物線，用一種返璞歸真的語言告訴年輕的愛因斯坦，引力，是一種幾何效應。
1907 年,有人請愛因斯坦寫一個介紹狹義相對論的綜述文章,寫這樣的文章,使得愛因
斯坦重新全面地審視了一下自己的理論和周圍的世界。狹義相對論是在1905 年建立的。當
時的愛因斯坦依然在伯爾尼專利局,他坐在書桌邊，突然遇見了一生中最快樂的思想——等
效原理,"我正坐在伯爾尼專利局的桌旁,突然出現了一個想法,'如果一個人自由下落,他將感
受不到自己的重量。'"
換一句話說，引力質量等于慣性質量。愛因斯坦把這個稱為等效原理。
物理學家曾經發現了一些等效原理一樣的方法來處理問題，比如電學理論中，最讓人
瞠目結石的一個關于電路的定律，不是基爾霍夫的。它叫“戴維南定律”，用來處理一個等
效電動勢。其背后的數學，不是瞬間能想清楚的。但無疑的是，等效的方法，極大簡化了模
型的復雜性。在某個程度上，愛因斯坦從等效原理出發，建立了廣義相對論。當然，比如
synge等人就認為，等效原理雖然讓愛因斯坦一生最快樂，在相對論建立過程中就象一個接
生婆，但現在，接生過程已經完成，相對論應該體面地埋葬掉這個接生婆。
synge是一位極早期就用幾何語言來表述廣義相對論的人，內心有一種不被世人理解
的苦悶。他的話雖然有點過河拆橋的意思，但動機也是很不錯的。因為，凡是懂得等效原理
的人，十之八九會以為，一個自由下落的觀察者，他所看到的時空總是平坦的。
但幾何學家一定不同意。 因為時空是否平坦，就是說微分流形是否平坦，只依賴于
它上面的度量，而不依賴于坐標系。
同時代的人群之中，愛因斯坦是第一個想到等效原理。這個原理使得人們發現了一些
引力場不同與其他場論的地方，造成巨大的困難。比如一個人朝太陽掉下去，按照等效原理，
在他看來，他沒有感受到任何引力，相當于他沒有測量到引力場的能量。這明顯不同于電磁
場的情況。比如電荷，是一個局部的電荷密度的，滿足連續性方程，電荷受恒。引力能量有
沒有局部的密度？這個問題看上去似乎誰都要捫心自問，但尋找它的答案，相對論學者們一
度衣帶漸寬，人來人往，一次一次開會討論，但好象全是在looking
for the right answer to the wrong question。黑暗由此產生，人郁悶了。
引力能量不能在單獨一個點上被談及,因為時空中的一個點不考慮它的鄰域無法談它
是否彎曲。準局域（quasilocal）的定義應運而生。德國的Nester 是最初的倡導者和專家,這
個人現在臺灣的國立中央大學。
當然大范圍地定義一個時空的能量或者質量是可能的，比如Komar 有一個定義，這
個定義只要求時空存在一個類時的killing 場，就可以定義一個包圍在2 維球面內的空間的
總質量，并且，這個總質量跟包圍它的2維球面的選擇沒有關系，這就很象電動力學里的高
斯定律了，說的是，對點電荷的電場強度計算通過包圍它的曲面的通量，結果是點電荷的電
量，與曲面無關。

愛因斯坦在1907 年還沒有寫出他著名的愛因斯坦方程。等效原理一直是他思想上最
閃光的部分。直觀地看，似乎類似于圓是彎曲的，但可以用正多邊形來逼近圓的周長。但一
個人要真正看清楚背后的東西，需要不止一天的時間，正如很少有人能清楚說明圓周率和自
然常數和自然數一之間的關系。為了數學地理解等效原理，愛因斯坦在1907 年之后的這段
時間內自覺地轉向Riemann幾何，他需要跟他的老同學數學家格羅斯曼合作學習微分幾何，
那里有一些名詞，比如聯絡，克氏符，曲率張量。等他建立起相對論，微分幾何學得到了物
理學的推動，開始大步發展，廣為人知，本來數學家已經認為，微分幾何已經是沉迷于玩溺
上下指標，是沒有大出息了。Gauss時代的幾何，總是把曲線曲面嵌入到外部的高維空間進
行研究。但宇宙沒有外面，于是，相對論天然的要求一個研究內稟幾何性質的Riemann 幾
何學，這樣的幾何對象，不需要外部空間的存在。
可能后來趕上愛因斯坦的相對論潮流的數學家會認為，愛因斯坦的等效原理就是說，
在一個彎曲流形上的每一點，總可以存在一個平坦的切空間。（在愛因斯坦當時那個時代，
manifold這樣的概念已經存在，就是1854 年左右的Riemann引進的。）數學家用自己特有的
方式理解等效原理，讓文人墨客失魂落魄。歌德在這方面深有體會，他講:數學家猶如法國
人，無論你跟他們講什么，他們把它翻譯成自己的語言，于是成了全然不同的東西。
在物理上，愛因斯坦的自由下落的電梯是一個理想的慣性系，但它是局部的，在電梯
里，引力消失了。幾百年前，伽利略的另外一個思想實驗，那里有一個從光滑斜面上滾下來
的小球，這個小球被伽利略證明能夠滾到無窮遠處。他的這個思想實驗，可以證明牛頓第一
運動定律的正確性質，但留給后代的人一個問題，什么叫慣性，什么叫慣性系？這樣的問題
難有一針見血的答案讓所有的人都欣然接受，充分理解。這個問題太難了，蜀道之難，難于
上青天。慣性系是什么，也有登天之難。

alot

繼續啊~

Kolmogorova

第四章 閔氏時空
(1)
現在已經知道的是，物理學的幾乎全部知識，全是建立在平坦的閔氏時空之上，但廣
義相對論是一個例外。如果問什么是廣義相對論里的度量，答案是它很象是人生，人生如戲,
但看戲的無非做戲人，也就是說，度量在時空舞臺上，它既是演員又是觀眾。度量刻畫時空
流形的彎曲。古希臘哲學家們對于空間缺乏清晰的數學認識,因此他們的討論沒有考慮到這
個空間到底是平坦還是彎曲。于是出現了一些過于飄渺的議論，這些議論有的是很詼諧的，
比如認為大地是被烏龜托著，浮于大海之上。理想主義派的代表人物是柏拉圖，他有時間研
究幾何學，搞了一個奧林匹亞學院，廣收門徒,傳道授業解惑,一時天下英才,盡數被得而育之,
柏拉圖的人生真乃是一派風流，他寫了一本書，叫《理想國》。大學問家難免一脈相傳，比
如柏拉圖本身就是蘇格拉底的學生，而柏拉圖的學生，有一個人，名字如雷貫耳，亞里士多
德，亞里士多德影響歷史，影響力達到兩千年之久，亞里士多德的觀點是樸素無華的，他認
為重的物體和輕的物體做自由落體，重的物體先到落地。民間具有天真的直覺，也支持這個
觀點。在柏拉圖的那個神秘學院，穿過學院的拱形門樓，首先映入眼簾的是幾個字:“不懂
幾何者禁止入內。”這樣的話，讓人不寒而栗。
柏拉圖希望通過高深的幾何學來理解空間。雖然他的用詞很可能引起數學農民的反
感，但這條道路，是一條正確而光明的道路。平面幾何最杰出的定理之一來自畢達哥拉斯。
畢達哥拉斯（Bidagelasi）（約公元前580—約前500），是古希臘的哲學家、數學家、天文學
家，他早年曾游歷埃及、巴比倫（一說到過印度）等地，為了擺脫暴政，他移居到意大利半
島南部的克羅托內，在那里組織了一個集政治、宗教、數學合一的秘密團體。這個團體后來
在政治斗爭中被打散，他逃到塔蘭托，后來終于被殺害了。但他的學派全保留了下來，這讓
人想起愛因斯坦在拒絕當以色列的總統時候說的一句話:“政治只為一時，而方程可以久遠。”
畢達哥拉斯本人以發現勾股定理（西方稱畢達哥拉斯定理）著稱于世。這個定理早已為巴比
倫人和中國人所知，不過最早的證明大概要歸功于畢達哥拉斯學派。這個學派發現用三個整
數表示直角三角形邊長的一種公式:2n＋1，2n2＋2n 分別是二直角邊，則斜邊是2n2＋2n
＋1。這公式既屬于算術，又屬于幾何。
通過勾股定理，導致不可約分數也就是無理數的發現，這個發現者是學派的一個
門徒，實際上這個發現極大地推動了數學的發展。如果要證明根號二是一個無理數，最好的
辦法可能是Fermat 發明的無限遞降法。這個學派還有重大的發現，他們還發現正多面體只
有五種，就是正四面體、正六面體、正八面體、十二面體和正二十面。這個發現被ST
.yau贊美，其實就是歐拉后來發現的關于多面體的歐拉定理，或者說微分幾何里的高
斯-Bonnet 定理，但這個背后，還有很深沉的東西。畢達哥拉斯死后，這個學派還繼續存在
兩個世紀之久，他的定理如果被推到很小的區域，也是正確的。幾何學家往往把這樣的微小
三角形一個名字，美其名曰“特征三角形”。用相對論的眼光來看，畢氏的定理是描述了一
個2 維平坦空間。有經驗的看客會至少馬上想到以下兩點:第一，所有的2維曲面都是共形
平坦的。第二，在所有2維曲面上，愛因斯坦的方程天然成立。畢達哥拉斯定理與廣義相對
論，有著一衣帶水的關系。
畢達哥拉斯定理在中國，被稱為勾股定理。西周時代，武王克商，周公與大夫商高討
論，商高說，“勾三，股四，弦五”，這個話不能算是一個定理，只算是一個特例。這記載于
一本朝代和來歷不很明顯的書《周髀算經》。但該書又明確指出，周公的后人的一段對話，
對話里明顯表達了勾股定理。畢達哥拉斯定理說，一個直角三角形，它的兩邊的長度的平方
和等于斜邊的長度的平方。這個定理的證明方法很多，華羅庚年輕時候，也考慮過不少的證
明方案。最流行的證明方案,恐怕是通過在一個邊長為a+b 的正方形內內接一個邊長為c 的
正方形來作，利用面積相等，等到a的平方加上b 的平方等于c的平方。
這個定理出現后，可能中國古代數學家找到了很多樂趣，生活充滿七色陽光，數學家
開始沉淪，之后中國的數學就開始落后了，科舉考試也沒有想到要測試一下數學能力，導致
舉國出現一種靡靡之音。后來到了17世紀，有一個叫Fermat的法國人，他本身是一個律師，
但數學才情很高，其才情之高，足以睥睨天下，比如，在數論中，他就有Fermat 大小定理
傳世。小定理說的是素數的一個性質，這個定理后來被歐拉推廣，歐拉對比整數a小的素數
的個數引進了關于a的一個函數。判定素數還有一個定理就是威爾遜定理。Fermat在一本書
的扉頁或者頁眉那樣的地方寫道:我可以證明a的n 次方加b的n次方等于c的n 次方，如
果abc不等于零，那它沒有其他的整數解，這個我已經證明出來了，但這地方太小，寫不下
了。他寫完這個后，也就沒有多講，后來就死去。這個命題傳了出去，被稱為Fermat 大猜
想,或者Fermat大定理，黑暗由此產生，幾乎沒有一個數學家能夠證明它或者推翻它，所以，
這個Fermat大定理獨領風騷三百年。
后來，據說這成了一種文化，在紐約地鐵站，墻壁上可以看到這樣的話:Fermat 大
猜想我已經證明出來了，但我來不及寫下我的證明，因為我的地鐵來了。到了1995 年左右，
Fermat猜想真的被證明出來了，證明它的人叫Andrew
Wiles。證明過程艱辛而且痛苦，類似與越王勾踐，Andrew
Wiles 深閉門而不出，十年磨一劍，終成大器。這是數論在近來的最高成就，數論遠
離物理學，相對論也很難與它有聯系。雖然兩者具有同樣的品質:看上去很美。
(2)
畢達哥拉斯定理用到計算空間點之間的絕對距離。空間的兩個點之間的絕對距離不依
賴于坐標系的變化。這一點很重要，正如一個人的思想品德，不依賴于他所穿的衣服。陳省
身有一個比喻，大概意思是，微分流形就是裸體的原始人，而黎曼流形是穿衣服的現代人。
衣服相當于坐標系，是可以更換的。但在坐標系變換下，絕對距離是一個不變量。
閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）出生于俄國的 Alexotas (現在是立
陶宛的
Kaunas)。一看他的名字,一般人都能猜出他是俄國人，他要干的事情，是在時空中引
進絕對的距離。這一點是驚人的，1908 年當他拋出他的這個絕對的時空距離的時候，連愛
因斯坦本人，也有點不太能夠理解。他年輕的時候，他父親是一個成功的猶太商人，但是當
時的俄國政府迫害猶太人，所以當閔可夫斯基八歲時，父親就帶全家搬到普魯士的
Konigsberg
(哥尼斯堡)定居，普魯士就是現在的德國，普法戰爭就是德國與法國的戰爭，所以在
歐洲大陸上這個兩個大國是有些宿仇的。當時的閔可夫斯基他們搬家以后，就與
Hilbert
的家僅一河之隔。所以這一次搬家帶給他和Hilbert終身的友誼，年輕的時候，Hilbert
覺得，閔可夫斯基遠比自己聰明十倍，有點沮喪。1909 年1 月10日，閔可夫斯基在正達創
作力高峰時，突患急性闌尾炎，搶救無效，于1 月12 日去世，年僅45 歲。摯友
Hilbert
替他整理遺作，1911 年出版《閔可夫斯基全集》。1900 年閔可夫斯基在蘇黎士的綜合
技術學校EYH教數學，學生的人來人往，多數已經在歷史里湮沒，但里面有一個人就是愛
因斯坦。愛因斯坦對功課漠不關心，閔可夫斯基對此表示失望，說愛因斯坦是一只懶狗。1902
年閔可夫斯基離開ETH，來到德國的哥廷根大學擔任數學教授，當時是Klein邀請他去的。
哥廷根大學領導世界數學潮流，當時有希爾伯特，克萊因，那樣的巨人們在那里。1854 年，
Riemann也就是為了在哥廷根大學得到一個講師席位，發表了他那劃時代的演講。
閔可夫斯基把時間和空間等同起來，構成一個整體。1907 年，Minkowski 猜想可以
用非歐空間的想法來理解Lorentz和Einstein
的工作，他認為過去一直被認定是獨立的時間和空間的概念可以被結合在一個四維的
時空:ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2
。這種結構后來被稱為"Minkowski時空"。根據這個度量，相對論的精髓思想被用簡
單的數學方式表出。這些工作為狹義相對論提供了骨架。諾貝爾物理獎得主
M.
Born 說，他在Minkowski的數學工作找到了“相對論的整個武器庫”。用現在的語言
講，閔可夫斯基認為時間和空間作為一個整體存在，這個整體，被稱為四維時空。
換一個說法,就是在廣義相對論中,沒有先驗的時間，為了得到時間，先到時空做一個
3+1分解。因為4 維的東西沒有人見到過，所以沒有人可以想象出來4 維的時空到底是一個
什么，象一個面包還是一個杯子，全不是。只好來一個比喻，時空就好象是一根香腸，可以
被切片，每一個切面，才是空間。但3+1分解是人為的，它把破壞了本來的對稱性。
狹義相對論最重要的思想正是把單獨的時間和空間給埋葬掉了。
閔可夫斯基說:“我要擺在你們面前的空間和時間的觀點，已經在實驗物理學的土壤
里萌芽了……從今往后，空間和時間本身都將要注定在黑暗中消失，只有兩者的一種結合才
能夠保持一個獨立的實體。”
假定2 個事件之間的時空間隔是一個不變量，那么時間必然與空間聯系在一起，構成
一個整體去描述那個不變量。這是愛因斯坦1905 年發現的狹義相對論的全部。雖然當愛因
斯坦聽到閔可夫斯基的發現時，不是特別在意。愛因斯坦笑話說:閔可夫斯基用那么數學那
樣復雜的語言來描述狹義相對論，物理學家簡直弄不清楚了。
4 年后，1912年，愛因斯坦認識到，自己不應該笑話閔可夫斯基。因為要把引力與狹
義相對論結合起來，閔可夫斯基的觀點是很優雅的。
（3）
狹義相對論考慮的是完全的平直時空，這樣的時空是愛因斯坦方程的一個解，被稱為
閔可夫斯基時空。時空上面的度量是閔可夫斯基度量，保持度量不變的變換是龐加萊群。這
個群是10 維的李群。但閔可夫斯基時空沒有物質，引力場退化，在經典廣義相對論看來，
這是一個虛空，沒有多少意義。
Minkowshi 時空是平坦的，看上去平淡無奇。數學家唐納森等人在1983 年發現，4
維度的Minkowshi時空流形具有無窮多個微分結構。這個發現利用的是非經典的量子場論，
結論是驚人的，因為其他的R^n(n 不等于4)的流形上都只有唯一的微分結構。Minkowshi
時空那樣特殊，而人類生活其中，這簡直成了又一個上帝存在的明證。
但在當時愛因斯坦和閔可夫斯基那個時代，人們的意識還沒有到底這樣深的程度。
Maxwell的電磁場理論已經無比成熟，這是在Minkowshi時空上的電磁場方程。但有些問題
很少被人注意到，比如因為電磁場的存在必然引起時空的彎曲，所以不存在真正意義上的平
直時空的Maxwell方程。
而其他的問題層出不窮，后來的相對論學家溫茹也用量子場論中的波格留波夫變換等
技術發現，
在Minkowski 時空上的加速觀察者，他將觀測到自己處在熱浴之中，也就是說，這
組加速觀察者看不到整個Minkowski時空，而是存在一個看不到的區域，就是有一個視界，
這個視界象一個黑洞視界一樣，在熱輻射粒子。Minkowski時空顯示出奇怪的另一面，這些
事情的發生，引導人們反躬自問起來。對于看上去貌不驚人的Minkowshi 時空，人們到底
曉得多少.。一直以為Minkowshi時空是真空，但事情顯得很復雜，它似乎象一個貌似平靜，
但詭波譎流的大海。

Kolmogorova

要審核？？？？？

傻耕耕

要找時間來，慢慢看才行，不然一點都看不懂。

湖南仔

我自認還學了些廣義相對論
但是在扭量那一章確實看不懂

這篇科普對數學物理要求實在是很強的

無忌妹妹

學海浩瀚,我需努力.