【華工考研院】考研數學 | 常考題型及重點(6)：線性方程組

華工引路人

題型分析

華工考研院聯合華工學長學姐針對考研數學開設考點分析主題。本文著重講解考研數學《線性代數》的重點，考研鵝可自行查缺補漏。

第四章、線性方程組

思考與點撥

本章要求理解線性齊次方程組有非零解、唯一零解，線性非齊次方程組無解、唯一解、無窮多解的充分必要條件，理解線性齊次方程組的基礎解系、通解、解空間的概念，掌握求解的方法，并會求解，理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念，并會求解。

本章試題大致有三種類型：

1.判別齊次方程組是否有非零解，非齊次方程組AX=b是否無解、唯一解、無窮多解Am×n X=O有非零解(唯一零解)?r(A)<n(=n) ?a<="" span="">的列向量組線性相關(線性無關)。

Am×n X=O無解?r(A)≠r[A ︳b].  

唯一解?r(A)=r[A ︳b]=n.

無窮多解?r(A)= r[A ︳b]=r<n< span="">.

當A是n×n矩陣時，還可用︳A ︳=O(或≠0)判別(例題1.1)，并說明解的幾何意義。

判別某向量，或某向量集合是否是方程的解或方程組的通解，及兩個方程組是否同解等(例題2.1)。

2.求解線性齊次方程組的基礎解系和通解(例題3.5)，求解非齊次方程組的通解(例題3.6)(包括含有參數時，有解情況的討論)，求解方程組時，請注意每個步驟的正確性.步驟如下：

(1)抄對系數矩陣或增廣矩陣；

(2)正確進行初等行變換，含有參數時，要選擇合適的消元的順序；

(3)全面討論參數的取值與解的關系；

(4)認定r(A)(即獨立未知量，獨立方程個數)，認定自由未知量，并賦予合適的特定值，回代方程，求得基礎解系及齊次通解(或先求通解，后得基礎解系)；

(5)求非齊次特解，解的結構，求出非齊次通解。

并應注意到方程組

Am×n X=[α1，α2，…αn]X=β

其齊次方程組的解是向量組α1，α2，…αn的線性相關的線性組合系數，非齊次特解(及通)是β由α1，α2，…αn線性表出的表出系數(例題3.3)。

當AB=0時，B的列向量是AX=0的解向量(例題3.6)。

3.證明某組向量是方程組的基礎解系(例題3.1，3.2)。向量組α1，α2，…αs是方程組AX=0的基礎解系要滿足三條，①Aαi=0(i=1，2，3，…s)，②α1，α2，…αn線性無關，③s=n-r(A)。

第五章、特征值、特征向量

思考與點撥

特征值、特征向量是線性代數的重要內容，是考研的重點之一。

共有三部分要求：

1.理解特征值、特征向量的概念和性質，會求矩陣An×n的特征值、特征向量，一般求An×n的特征值、特征向量有兩條思路。

(1)利用定義，求滿足定義Aξ=λξ(ξ≠0)的λ和ξ，一般適用于抽象矩陣。

若An×n有特征值λ，對應的特征向量為ξ，則利用定義可求得A2，Ak，f(A)是多項式)的特征值為λ2，λk，f(λ)當A可逆時，則A-1，A＊，…，對應的特征值為1/λ,︳A ︳/λ，…，(如題1.1)，特征向量仍是ξ。

(2)利用特征方程求︳λE－A︳=0，再由(λE－A )x=0求出基礎解系得對應于λ的線性無關特征向量，一般適用于具體的數值矩陣。

顯然對角陣，上、下三角陣的特征值為對角元素(特征向量是什么?).當r(A)=r<n< span="">時，A有特征值λ=0，對應的特征向量是AX=0的基礎解系，故共有n－r(A)個線性無關特征向量，λ=O至少是n－r(A)重特征值，An×n中每行元素和為k時，則λ=k，對應的特征向量是ξ=[1，1，…1]T。(如題1.2)。

反之應會利用特征值、特征向量的定義，建立方程，來確定參數(如題3 1)。

關于特征值、特征向量還有許多性質，如，在計算行列式及求特征值時均可利用。

2.矩陣的相似對角化，理解相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角陣的方法。

應會用矩陣可相似對角化的充耍條件，討論含參矩陣何時能相似對角化(如題3.6)，會利用相似的概念和性質來確定參數。

應會利用特征值、特征向量反求矩陣A，會利用相似對角陣，計算︳A ︳，An，Anβ等。

3.實對稱矩陣的相似對角化：實對稱陣特征值是實數，不同特征值對應的特征向量相互正交，實對稱陣必存在可逆陣P，使得P-1AQ=Λ ，且存在正交陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ，即實對稱陣必既相似于對角陣，又合同于對角陣。

用正交矩陣將實對稱陣A相似對角化，要將特征向量標準正交化，不同特征值對應的特征向量已相互正交，對A的r重特征值對應的r個特征向量應用Schmidt正交化方法正交化(或求特征向量時，考慮到正交化)對實對稱陣，還可用不同特征值對應的特征向量相互正交的性質，求特征向量。