考研數(shù)學 | 常考題型及重點(1)：函數(shù)、極限、連續(xù)

廣工考研院

題型分析

廣考研院聯(lián)合廣工學長學姐針對考研數(shù)學開設考點分析主題。本文著重講解考研數(shù)學的常考題型及重點匯總，考研鵝可自行查缺補漏。  

第一章、函數(shù)、極限、連續(xù)

思考與點撥

“函數(shù)、極限、連續(xù)”這一部分的概念及運算是高等數(shù)學的基礎，它們是每年必考的內(nèi)容之一，數(shù)學一中本部分分數(shù)平均每年約占高等數(shù)學部分的10％.

本章的考題類型及知識點大致有：

1.求函數(shù)的表達式：

(1)給出函數(shù)在某一區(qū)間上的表達式及某些條件，求該函數(shù)在另一區(qū)間上的表達式(數(shù)學(二)考過)；

(2)求分段復合函數(shù)的表達式(1990一(3)題考過，數(shù)學(二)考過多次)。

2.數(shù)列的極限的概念理解與運算定理：

(1)數(shù)列極限的概念的理解及定義的等價敘述(數(shù)學(二)考過)；

(2)運算定理的正確運用與性質(zhì)的正確理解(2003二(2)題)；

(3)求數(shù)列的極限：

①化成積分和式求極限(1998七題)；

②夾逼定理求極限(1998七題，2005二(7)題)；

③單調(diào)有界定理求極限或討論極限的存在性(2006三(16)題，2008一(4)題)；

④化成函數(shù)極限求極限(2006三(16)題)。

3.函數(shù)的極限：

(1)求七種待定型的極限(1998一(1)題，1999一(1)題，2003一(1)題，2006一(1)題，2008三(15)題，2003三題，1997五題)；

(2)運算定理的正確使用與性質(zhì)的正確理解(1997一(1)題，2000三題，2004二(8)題)：

(3)已知某些極限求其中的某些參數(shù)(2009一(1)題)；

(4)已知某函數(shù)的極限，求與此有關的另一函數(shù)的極限(數(shù)學(二)考過)。

4.無窮小的比較：

(1)給了若干個無窮小，比較它們的階的高低(2004二(7)題，2007一(1)題)；

(2)給了兩個無窮小，已知一個是另一個的等價(或高階)無窮小，求其中的參數(shù)(2002三題)。

5.函數(shù)的連續(xù)與間斷：

(1)討論初等函數(shù)的間斷點及類型(數(shù)學(二)考過多次)；

(2)討論分段函數(shù)的連續(xù)性或由連續(xù)性確定其中的參數(shù)(數(shù)學(二)考過多次)；

(3)函數(shù)以極限形式表達，討論該函數(shù)的連續(xù)性(數(shù)學(二)考過多次)；

(4)已知某些函數(shù)的連續(xù)性(間斷點)，討論與此有關的另一些函數(shù)的連續(xù)性(間斷點)(數(shù)學(二)考過多次)；

(5)連續(xù)函數(shù)介值定理的應用(2005三(18)題，2004三(18)題，數(shù)學(二)考過多次)。

讀者請注意，上面提到的類型，數(shù)學(一)有許多未曾考到，所以本章尚有相當大的命題空間.其次，以后各章要用到本章內(nèi)容，從而掌握本章內(nèi)容是十分基礎、十分重要的。

第二章、一元函數(shù)微分學

思考與點撥

導數(shù)與微分是微分學的基本概念，導數(shù)與微分的計算是微分學的基本計算，導數(shù)與微分的應用——利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)是微分學的基本內(nèi)容，每年必考，本部分分數(shù)在數(shù)學中平均約占高等數(shù)學部分的17％.

本章的考題類型及知識點大致有：

1.求導數(shù)與微分，導數(shù)的幾何意義：

(1)顯函數(shù)求導數(shù)(未考過)；

(2)隱函數(shù)求導數(shù)(2002一(2)題，2008二(10)題)；

(3)參數(shù)式求導數(shù)(1997一(3)題)；

(4)在直角坐標中求切線斜率、切線方程(2004一(1)題)，2002四題，2003三題，2005三(17)題)；

(5)在極坐標中求切線斜率、切線方程(1997一(3)題)；

(6)奇、偶、周期函數(shù)的導數(shù)(2005二(8)題)；

(7)變限積分求導數(shù)(2002四題，1997一(2)題，1998二(1)題，1999二(1)題，1997五題)；

(8)導數(shù)的變量變換(變量變換變化微分方程)(2003七題)。

2.按定義求一點處的導數(shù)，可導與連續(xù)的關系：

(1)討論分段函數(shù)在分界點處的可導性或求導數(shù)(2005二(7)題)；

(2)按定義討論某點的可導性(1999二(2)題)；

(3)已知某極限存在討論某點可導，或反之，或利用導數(shù)求極限，利用極限求某點處的導數(shù)(200l二(3)題；2007  (4)題；2009三(18)題)；

(4)已知某點可導，求其中參數(shù)(2002三題)；

(5)絕對值函數(shù)求導數(shù)(1998二(2)題)；

(6)由極限表示的函數(shù)的可導性(2005一(7)題)。

3.討論函數(shù)單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點、漸近線、曲率：

(1)單調(diào)性與極值(2003二(1)題，2004二(8)題)；

(2)增量、導數(shù)與微分的關系(1998二(3)題，2006二(7)題)；

(3)凹向與拐點(2005三(17)題)；

(4)漸近線(2005—1)題，2007一(2)題)；

(5)曲率(1991九題考過).

4.中值定理及其應用：

(1)不等式的證明(2000二(1)題，1999六題，2004三(15)題)；

(2)零點問題(2005三(18)題，1998九題，2000九題，2007三(19)題)；

(3)有關函數(shù)與導數(shù)的關系(2001二(1)題，2002二(3)題，2007一(5)題)；

(4)有關“中值”的極限問題(2001七題)；

(5)泰勒公式的應用(1999六題，2001七題，2002三題)；

(6)中值定理的證明(2009三(18)題).

由上列舉可見，本章的知識點及考題類型幾乎全部考到，頻率出現(xiàn)多的是：變限積分求導數(shù)，按定義求導，不等式與零點問題，泰勒公式的應用.在按定義求導數(shù)時，應與使用洛必達法則的條件相區(qū)別.其他頻率出現(xiàn)少的，也應注意，例如導數(shù)的幾何意義、單調(diào)性與極值、絕對值函數(shù)求導數(shù)等。

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