輔助函數(shù)

soheo12 · 發(fā)表于 2015-9-15 22:32

想問問這個(gè)怎么來的？

三峽大學(xué)考研 · 發(fā)表于 2015-9-15 23:35

其實(shí)由題目欲證結(jié)論的特點(diǎn)：兩個(gè)不同點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，可以得知，該結(jié)論是由兩次拉氏定理得到的結(jié)果，并且兩次區(qū)間應(yīng)該不同，用來保證兩個(gè)中值點(diǎn)不同。
而欲證結(jié)論同時(shí)對于兩個(gè)中值點(diǎn)來說具有對稱性，即兩中值結(jié)論中地位一樣，應(yīng)該不存在應(yīng)用定理的先后問題，所以考慮是一個(gè)分割點(diǎn)將區(qū)間分為兩部分，然后對f(x)分別應(yīng)用定理所得。
如此不妨設(shè)該點(diǎn)為點(diǎn)c，函數(shù)值f(c)。該點(diǎn)顯然不是任意點(diǎn)，那么該滿足什么條件呢？不妨帶入結(jié)論中求。
將f`()=[f(c)-f(0)]/c=f(c)/c，f`()=[f(1)-f(c)]/(1-c)帶入結(jié)論中，可發(fā)現(xiàn)c被消掉了，f(c)=a/(a+b)，由介值定理這樣的點(diǎn)一定存在，所以說該思路成功，可以證出。
中值定理應(yīng)用時(shí)的要素總共三個(gè)，條件有兩個(gè)，1是區(qū)間，2是函數(shù)；結(jié)論要素有一個(gè)，產(chǎn)生一個(gè)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的中值（拉氏定理產(chǎn)生一個(gè)函數(shù)的中值，柯西定理產(chǎn)生兩個(gè)函數(shù)比的中值）。先看結(jié)論中值點(diǎn)的特點(diǎn)分析用了什么定理幾次，再根據(jù)結(jié)論考慮是否需要構(gòu)造輔助函數(shù)，再看應(yīng)用區(qū)間。本題其實(shí)主要考察的是區(qū)間的確定，欲證結(jié)論與端點(diǎn)的聯(lián)系緊密，而與原來函數(shù)的關(guān)聯(lián)簡單，所以重點(diǎn)在如何分區(qū)間。

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