有意思（14）積分越積越頹喪，求導越算越亮堂

戰地黃花

         微分積分說起來一對高級運算，實際上背景與實質都相去甚遠。
            一元微積分通過函數的導數研究函數，討論函數以估計積分。
            一元微積分講究條件分析。連續否，可導否，左導數，右導數，導（函）數的左，右極限，導函數天然滿足介值定理，……，怎樣判定導數符號，什么樣的可導條件下用什么樣的中值定理，給函數一個新的表達方式，為自己架好“過河的橋”，……。一切都明明白白時，你就可以“笑傲江湖”。
            多元微積分講究處置方案。如何把復雜的高維積分計算，通過微元分析，運用多種坐標方式轉化為逐次定積分。
            由此可見，可導性討論與導數計算是第一基礎，定積分是第二基礎，積分方法只是個過度章節。
            導數定義作用于基本初等函數，生成一套有序的求導公式。伴隨著初等函數的結構順序，《高等數學》建立了“和，差，積，商函數求導法則”與處理復合函數的“鏈鎖法則”。進而還有“取對數求導法”，“隱函數求導法”，……。一切函數皆可討論求導，計算導數。導數討論與計算嫻熟，心有靈兮一點通，你討論函數，估計積分，解微分方程，……，必定是處處反應特好。“橫掃千軍如卷席。”
                    積分沒有自己的公式，完全靠求導公式逆反，得到幾個不成順序的積分公式。即便是lnx ，arctgx這樣的基本初等函數，你也不能一口說出它的原函數。梢為復雜一點的函數，往往就無法積分。歷史上的積分資料浩如煙海。基本是一把鑰匙開一把鎖。比如
“任意二次三項式的二次根式” 求積，有一套歐拉變換，而大學數學只講了最特殊的“用三角變換，去掉兩項平方差的二次根式的根號”。
學生只學了一點點知識，全然不知背景，不明深淺。積分越積越頹喪，白費時間無收獲。細細想來，你不會復雜的積分有什么關系呢？？？！！！只要基本積分方法會，絲毫不影響你學習積分應用及多元微積分。查一查以往的考研試題，數學一，三，四都很少有單一的定積分題。就是牽涉到積分方法的綜合題，大多數都聚焦于分部積分。
           最沒有意思的是討論什么“可積性問題”。 在黎曼積分的范圍內，根本得不到“可積”的充分必要條件。知道并能證明“有第一類間斷點的函數，在含此間斷點的區間上不存在原函數。”這一結論就很不錯了。就算是數學專業的學生，也不會去搞這樣的問題。高等微積分中，“一致連續”，“一致收斂”的判斷與討論，那才是必考的精華。
光陰似箭，時間飛逝。過度章節會基本。作題多想知識含金量。爭取一定的付出確有收獲。

[ 本帖最后由 戰地黃花 于 2010-10-9 22:12 編輯 ]

scl1989

頂老師

cry505002

先占位！再看！
LZ是個好老師！

amaogg

有意思

cessilia

謝謝老師

落寞中前行

頂 老師了

sdc2010

頂，不定積分的技巧性太強了，浪費時間

lncherry

[em:42] 見解獨到

kanzo

不懂

小凡的摯愛

可積與原函數存在好像是兩個概念。有第一類間斷點說明原函數不存在，可積是指定積分存在吧！