請教大神數(shù)二復(fù)習(xí)全書 關(guān)于旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積

人生才開始

這個旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式到底是怎么弄出來的   求講解  謝謝

kk130130

以下是我的理解，希望對你有幫助。
關(guān)于選擇側(cè)面積，我覺得應(yīng)該回歸到最初的定義（幾何意義）來理解：以繞x軸旋轉(zhuǎn)為例（積分符號不好弄，我以漢字"定積分"來代替“定積分的數(shù)學(xué)符號”）
即 F=定積分 2πy(s)ds 他的幾何意義是：在弧長s的參數(shù)方程 x=x(s) y=y(s)里，在s點處的 微面積dF 等于 以y=y(s)值為半徑繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的
周長2πy(s) 乘以 微弧長元ds   所以 dF=2πy(s)ds
這個是理解的基礎(chǔ)，有了這個概念后，后面的幾中坐標(biāo)系下的公式都是這個公式的展開。

現(xiàn)在以t為參數(shù)，在直角坐標(biāo)系下有 參數(shù)方程 x=x(t)   y=y(t) 為例，就是你上面提出的問題啦。
這是 dF=2πy(t)ds （一定記住，在任何坐標(biāo)系里，是弧微分ds是不變的，只是半徑y(tǒng)在不同坐標(biāo)系里的表達(dá)不同而已，所以y(s)換為y(t)，然后將弧微分ds用參數(shù)方程和dt表示即可）
這里的 弧微分ds=根號下那一串dt
所以得公式：F=定積分 2πy(t) 根號下那一串dt，就是你圖片里那公式了。

極坐標(biāo)也是類似的。只需把 y(s)換為r(@)sin@，ds換為極坐標(biāo)下的參數(shù)表達(dá)式d@即可，你試試看能推導(dǎo)出公式不嘛。

所以只要記住基本定義和幾何意義，公式一下就退出來了，并不用死記得。

人生才開始

lil1 發(fā)表于 2012-9-19 22:06
高是弧長。。。你把弧長拉直了就相當(dāng)于直的高不是~

不知為什么。。總是想不通。。。先記著。。

lil1

高是弧長。。。你把弧長拉直了就相當(dāng)于直的高不是~

人生才開始

lz0905054144 發(fā)表于 2012-9-19 17:16
首先你取個dx,在這個dx內(nèi)這個半徑是y也就是f(t),側(cè)面積就 類似于圓柱體求側(cè)面積一樣，是周長乘以高，只是圓 ...

高為什么不是dx？

jl2925

這個式子下面的第四個式子將

lz0905054144

首先你取個dx,在這個dx內(nèi)這個半徑是y也就是f(t),側(cè)面積就 類似于圓柱體求側(cè)面積一樣，是周長乘以高，只是圓柱體的高是條直線，這里周長是2πy,高呢就是這里的弧長了

強迫性行為

這個式子下面的第四個式子將x=x(t),y=y(t)代入的結(jié)果