分析法，綜合法，反證法，構造法

戰地黃花 · 發表于 2010-9-16 20:59

         分析法，綜合法，反證法，都是歐氏分析方法。歐氏分析方法起自于歐氏幾何，早在公元前400年左右即為人類總結運用。
      構造法是微積分學，代數學自身的方法。
   分析法——盡可能由已知條件挖掘信息，并以此為起點作邏輯推理。
         一元微積分講究條件分析。要用分析法，就需要對各個概念理解準確，強弱分明；推理有序，因果清晰。為了彌補非數學專業學生的“短板”，我建議大家把考研題目中出現頻率較高的典型條件，預先推個滾瓜爛熟。比如
      已知條件“f（x）連續，且x趨于0時，lim(f（x）/x) = 1”的推理。
      （見講座（9）基本推理先記熟。）
         已知條件“f（x）在點x0可導，且f ′(x0) > 0 ”
的推理。
      （這是闡述“一點可導且導數大于0與一段可導且導數大0的差別；證明洛爾定理（費爾瑪引理），達布定理，……，等的關鍵。
         見講座（11）洛爾定理做游戲；講座（17）論證不能憑感覺。）
         已知條件“非零矩陣AB = 0”的推理。

      （見講座（42）矩陣乘法很愜意。）
         已知“含參的三階方陣A能與對角陣相似，且A有二重特征值。計算參數。”的推理。
      （見講座（48）中心定理路簡明。）
         “已知連續型隨機變量X的分布函數或隨機向量（X，Y）的密度函數，求函數型隨機變量U = φ (x) 或U =φ(x ，y) ”的推理計算
         （見講座（78）分布函數是核心。）
         一個嫻熟的推導就是一條高速路啊。你非常熟練了嗎？！
      綜合法 —— 由題目要證明的結論出發，反向邏輯推理，觀察我們究竟需要做什么。
         最典型的范例是考研數學題目“證明有點ξ，滿足某個含有函數及其導數的關系式”。
      例設函數f (x)在閉區間[0，1]上連續，在開區間（0，1）內可導，且f (0) = 0，則區間（0，1）內至少有一點ξ ，使得
f (ξ) f ′(1―ξ) = f ′(ξ) f (1―ξ)
      分析（綜合法）即要證明
f (ξ) f ′(1―ξ) ― f[b′(ξ) f (1―ξ) = 0
            點ξ是運用某個定理而得到的客觀存在。用x替換ξ，就得到剛運用了定理，還沒有把點ξ代入前的表達式。即
f (x) f ′(1―x) ― f′(x) f (1―x) = 0
         （在點 x =ξ 成立）
            聯想到積函數求導公式，即（f (x) f (1―x)）′= 0
         （在點 x =ξ 成立）
            這就表明應該作輔助函數F (x) = f (x)，證明其導數在（0，1）內至少有一零點。
            易知F (0) = F (1) = 0，且F (x)在 [a, b] 連續，在（a, b）內可導，可以應用洛爾定理證得本題結論。
            當然，題型多種多樣，但這總是一條基本思路。如果關系式中有高階導數，那要考慮試用泰勒公式。
         反證法 —— ……。
            這是大家都較為熟悉的方法。但是你也許沒有注意到，用反證法簡單可證的一個小結論，在微積分中有著很廣的應用。粗糙地說，這就是

         “A極限存在（或連續，或可導）+ B極限不存在（或不連續，或連續不可導）= ？”
            隨便選一說法用反證法，比如
            如果，“連續A + 不連續B = 連續C”
則“ 連續C-連續A = 不連續B”
            這與定理矛盾。所以有結論： 連續函數與不連續函數的和一定不連續。不過要注意，證明是在“同一個點”進行的。
            作為簡單邏輯結論，自然類似有：
         （同一過程中）A極限存在 + B極限不存在 = C極限一定不存在
            （同一個點處）A可導 + B連續不可導 = C一定連續不可導
            還可以在級數部份有：
            收斂 + 發散 = 發散，
                           絕斂 + 條斂 = 條斂
            對于乘法，由于分母為0時逆運算除法不能進行，必須首先限定以確保用反證法獲得結論。比如

            “若f（x）在點x0可導，且f（x0）≠ 0，g（x）在點x0 連續不可導，則積函數y = f（x）g（x）在點x0一定連續不可導。”
            （見講座（8）求導熟練過大關。）
            對于積函數y = f（x）g（x）求極限，我們由此得到了一個小技術。即
         “非零極限因式可以先求極限。”（見講座（16）計算極限小總結。）
         （畫外音：或是分子的因式，或是分母的因式，只要極限非0，就先給出極限，再“騎驢看唱本”……。）
            構造法 ——（難以“言傳”，請多意會。）
            老老實實地寫，實實在在地描述，水到渠成有結論。這是微積分自家的方法 ——“構造法”。但是在構造法思維過程中，往往也綜合運用著分析法，綜合法，反證法。
            “證明有界性”，也許最能顯示“構造”手段，即把變量的“界”給構造出來。*例
            已知函數 f（x）在 x≥a 時連續，且當x → +∞ 時f（x）有極限A ，試證明此函數有界。
         分析本題即證，∣f（x）∣≤ C
            討論有界性，我們只學了一個定理，在閉區間上連續的函數有界。本題中如何“管住”那個無窮的尾巴呢？那就看你能否體驗條件“x → +∞ 時f（x）有極限A” ，即

         “我們一定可以取充分大的一點x0，使得x > x0時，總有∣f（x）∣≤∣A∣+1 ”
            把半直線x≥a分成 [a，x0] 與 x > x0兩部分，就能“構造”得∣f（x）∣≤ C
            （（祥見講座（9）基本推理先記熟。）
            在講座（11）“洛爾定理做游戲”中講的“壘寶塔”游戲，在講座（13）“圖形特征看單調”中講的“逐階說單調”，都是構造法的討論方式。
            每完成一個題目，不妨想想用的什么方法。你也許提高得更快。

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