再來求助一道線性代數(shù)證明題，怎么做啊怎么做？

wendycat

復(fù)習(xí)全書366頁有道題是：
設(shè)A，B均是n階矩陣，且秩r(A)+r(B)<n,證明：A，B有公共的特征向量。

書上的解答很麻煩，下面評注里說：“要注意當(dāng)A是n階矩陣時，Ax=0的基礎(chǔ)解系就是λ=0的特征向量，本題有相當(dāng)簡捷的證明方法(即聯(lián)立方程組，請讀者自己完成)

可是我自己怎么也完不成啊，按照它這個所謂的簡捷方法是怎么做的呢？大家?guī)蛶臀野桑^都想暈了[em:14]

[ 本帖最后由 wendycat 于 2009-8-21 18:45 編輯 ]

tianjiadongying

5樓方程組的聯(lián)立弄錯了，ax+by=0;cx+dy=0.聯(lián)立后是(a+c)x+(b+d)y=0嗎？顯然與原來的方程已不等價?。。?/td>

xiehanyilian

頂樓上 12樓正解[em:42]

tianjiadongying

12樓正解

wb383424336

將B放在A的下方
如
A
B
組成一個新的矩陣 C  又題目一直條件可知C的秩必定小于n(即未知數(shù)的個數(shù))，那么對于CX=0這個方程組 必定存在非零解。。。由于C是有由
A    組成的 因此非零解也是A B的公共解
B

wb383424336

將B放在A的下方
如
A
B
組成一個新的矩陣 C  又題目一直條件可知C的秩必定小于n(即未知數(shù)的個數(shù))，那么對于CX=0這個方程組 必定存在非零解。。。由于C是有      A    組成的 因此非零解也是A B的公共解
                                               B

booom

二樓正解

remarkble

原帖由 dingjie154 于 2009-8-21 20:17 發(fā)表

錯了？請指教。。

r(A)+r(B)<n A,B有公共的特征向量
方程組為：
AX＝0    ---------（1）
BX＝0    ---------（2）

（1）+（2）得：
(A+B)X=0   -----------（3）
r(A+B)<r(A)+r(B)<n   ----------> 方程（3）有非零解，即A和B的公共向量
==============

Ax=0和Bx=0有無公共解，與（A+B)x=0 有無非0解無關(guān)