考研數(shù)學(xué)：關(guān)于原函數(shù)存在性的問題

匿名用戶

今天看到一個(gè)幾年前的問題，寫了一個(gè)回答，可惜發(fā)不了，就新發(fā)一個(gè)帖子吧，問題和回答如圖

問題大概是：一個(gè)連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖像出現(xiàn)了一個(gè)無窮間斷點(diǎn)，而老師說過函數(shù)有無窮間斷點(diǎn)，那么原函數(shù)不存在，這是否矛盾？

我思考了一下這個(gè)問題，寫個(gè)回答理清一下思路：
1.討論原函數(shù)存在的問題，必須給出一個(gè)具體區(qū)間，比如說：某個(gè)函數(shù)f(x)是否在R上有原函數(shù)F(x)，而此時(shí)，如果說函數(shù)f(x)在這個(gè)所討論的區(qū)間內(nèi)存在無窮間斷點(diǎn)，那么在這一點(diǎn)上就不可能有原函數(shù)。不過這倒不是因?yàn)殚g斷點(diǎn)的原因，因?yàn)闊o窮間斷點(diǎn)是該點(diǎn)極限不存在，不代表f(x)在該點(diǎn)處沒有定義
問題是：就算你在這一點(diǎn)處給f(x)補(bǔ)上了定義，比如f(x)=0，也不可能找到一個(gè)原函數(shù)F(x)在這一點(diǎn)處存在導(dǎo)數(shù)值F\'(x)
因?yàn)榧僭O(shè)f(x)在這一點(diǎn)上有原函數(shù)F(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)極限定理，F(xiàn)(x)在該點(diǎn)處左導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處的左極限，為無窮大，右導(dǎo)數(shù)同樣為無窮大，那么F(x)在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)F\'(x)不存在，與導(dǎo)函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處有定義f(x)=0矛盾
因此，應(yīng)該這么表述：f(x)在某個(gè)區(qū)間D上均有定義，但存在一個(gè)無窮間斷點(diǎn)，那么f(x)在區(qū)間D上不存在原函數(shù)

2.同樣的：f(x)在某個(gè)區(qū)間D上均有定義，但存在一個(gè)第一類間斷點(diǎn)，那么f(x)在區(qū)間D上不存在原函數(shù)，具體的原因我就不說了，網(wǎng)上找一找都有

3.如果是振蕩間斷點(diǎn)，就不一定，因?yàn)榭赡芸梢酝ㄟ^補(bǔ)充定義的方式使得其在整個(gè)區(qū)間上存在原函數(shù)，那個(gè)經(jīng)典例子我就不弄出來了，手機(jī)上不方便打

4.回到題主的這個(gè)問題，這個(gè)導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像說明，f(x)不可能在R上存在原函數(shù)，而且它在那個(gè)間斷點(diǎn)處本身也沒有定義，更談不上有沒有原函數(shù)的問題，但不妨礙f(x)在除了這個(gè)點(diǎn)的左右區(qū)間上有一個(gè)原函數(shù)F(x)，而且F(x)在R上連續(xù)
也就是說在F(x)這個(gè)點(diǎn)上連續(xù)那是沒有問題的，因?yàn)镕(x)連續(xù)并不代表可導(dǎo)，類似的例子有F(x)=x^(1/3)在0處連續(xù)但不可導(dǎo)，同樣存在類似圖像的導(dǎo)函數(shù)f(x)，在0處是無窮間斷點(diǎn)
另外說個(gè)類似的例子f(x)=1/x，我們默認(rèn)它是連續(xù)的，而且有：連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)，所以存在原函數(shù)F(x)=ln|x|，但實(shí)際上它只在定義域上連續(xù)，在R上并不連續(xù)，但是這并不矛盾，因?yàn)槲覀冋f它有原函數(shù)，默認(rèn)的區(qū)間都是不包括0的，函數(shù)在沒有定義的點(diǎn)討論是否存在原函數(shù)又有什么意義呢

5.說到間斷點(diǎn)的問題，f(x)=lnx，在0的右側(cè)有定義，在左側(cè)沒有定義，而0處的右極限是無窮，那么0是否屬于無窮間斷點(diǎn)？
答案是不屬于，因?yàn)殚g斷點(diǎn)的討論需要f(x)在該點(diǎn)處去心鄰域，也就是左右都存在定義

來自Android客戶端