全書P65例3.3求助，及對牛頓-萊布尼茲公式思考

snapeliu0718 · 發表于 2012-7-12 11:57

永樂全書P65例3.3
題目中被積函數是由原函數求導所得，原函數x≠0，故求出的導函數x≠0，即被積函數在x=0處不連續。
此種情況的可積條件應是課本中的定理2：f(x) 在區間有界，且有有限個間斷點，則f(x)可積。

問題在于：這種情況下的求定積分，是否可用牛頓-萊布尼茲公式？
根據永樂書中的第2種解法，他把原式分段，用了牛頓-萊布尼茲公式，但注意此時的兩段積分區間卻都是半開區間
但是，在永樂書中和課本中明確表明了牛頓-萊布尼茲公式應用條件是被積函數在閉區間連續

這是一種牛頓-萊布尼茲公式推廣還是什么?

snapeliu0718 · 發表于 2012-7-12 14:29

......

snapeliu0718 · 發表于 2012-7-12 16:04

。。。。。。

389704996 · 發表于 2012-7-12 17:24

也不知道是數學幾的全書把題貼出來壇子里的牛人會幫你解答的

snapeliu0718 · 發表于 2012-7-12 17:26

389704996 發表于 2012-7-12 17:24
也不知道是數學幾的全書把題貼出來壇子里的牛人會幫你解答的

數一

389704996 · 發表于 2012-7-12 17:28

算是一種公式推論把書上寫的很清楚的例題3.3上面就是推論

Out_of_Infinity · 發表于 2012-7-12 19:02

f(x)在閉區間[a,b]連續的定義：f(x)在(a,b)的每一點連續且在x=a右連續，在x=b左連續。但并不需要在x=a和x=b連續
顯然，你說的那題積分函數在[-1,0]和[0,1]都是連續的

snapeliu0718 · 發表于 2012-7-12 19:10

389704996 發表于 2012-7-12 17:28
算是一種公式推論把書上寫的很清楚的例題3.3上面就是推論

我也有考慮這個問題，想來應該是符合題目上面推論3的情況
不過，3.3上面的推論3的前提條件是f(x)在[a,b]連續，F(x)在[a,b]存在間斷點

so，老李書中這道題之所以把被積函數寫成那種微商的形式，應該是想讓我們直接看出其中的原函數x≠0，讓我們去對應推論3，但是，此微商形式直接導致了f(x)在[a,b]不連續。。。可能這道題出的有點詭異吧

snapeliu0718 · 發表于 2012-7-12 19:13

Out_of_Infinity 發表于 2012-7-12 19:02
f(x)在閉區間[a,b]連續的定義：f(x)在(a,b)的每一點連續且在x=a右連續，在x=b左連續。但并不需要在x=a和x=b ...

這道題微商求出的被積函數定義域x≠0，談何取到兩個閉區間

Out_of_Infinity · 發表于 2012-7-12 19:51

本帖最后由 Out_of_Infinity 于 2012-7-12 20:00 編輯

snapeliu0718 發表于 2012-7-12 19:13
這道題微商求出的被積函數定義域x≠0，談何取到兩個閉區間

本來可積的條件就比閉區間連續寬松很多，只不過用萊布尼茲-牛頓公式去解在形式上稍微有點麻煩而已

設f(x)=d/dx(arctan(1/x))，證明f(x)在[-1,1]可積是很容易的，必然可以拆成∫(-1~1)f(x)dx=∫(-1~0)f(x)dx+∫(0~1)f(x)dx（和使用的積分方法無關）

既然可積，那么改變一個點的函數值也不會影響積分結果，可以令f(0)=-1。這樣f(x)在[-1,0]和[0,1]就是分別連續的

這樣f(x)在[-1,0]連續，就可以對∫(-1~0)f(x)dx使用萊布尼茲-牛頓公式，即-1<=x<0時F1(x)=arctan(1/x)，F1(0)=-π/2

同理，f(x)在[0,1]連續，就可以對∫(0~1)f(x)dx使用萊布尼茲-牛頓公式，即0<x<=1時F2(x)=arctan(1/x)，F2(0)=π/2

總之，“可積性”與“原函數或者其它具體的積分方法”是沒有任何關系的，在可積的前提下改變有限個函數點的值不會影響積分結果（甚至改變可數無窮個也不會影響），但經過恰當的改變之后就能夠硬套萊布尼茲-牛頓公式。。。

		自動登錄	找回密碼
密碼			注冊

全書P65例3.3求助，及對牛頓-萊布尼茲公式思考

NEW最新資料推薦