請教一個線代齊次方程組的問題

wangzhibin111 · 發(fā)表于 2011-9-29 23:30

題目：設A，B均為n階方陣，且AB=0，證明r(A)+r(B)<=n.
證明過程：令B=（β1，β2，.....，βn)，則由AB=0得 Aβi=0,i=0,1,2...n, 即βi為方程組AX=0的解向量，
故r(β1,β2,....βn)<=n-r(A), 即r(B)<=n-r(A), 所以問題得證。

我想知道橫線的部分是怎么推出來的呢？我的理解是這樣的，不等式左邊代表的是從β1~βn的極大線性無關組的個數(shù)，即β1~βn的獨立的個數(shù)，不等式右邊代表的是AX=0的解向量的基礎解系中所含向量的個數(shù)，因為左邊的極大線性無關組僅僅是AX=0中的基礎解系的一部分，所以會是小于等于號，不知道我這樣的解釋對嗎？
謝謝！

ssqaaaaaaaaa · 發(fā)表于 2011-9-29 23:40

錯了，正好相反
我們知道基礎解系的秩R(S)=N-R(A)
而B可能只是基礎解系的一部分，故R(B)<=R(S)=N-R(A)

wangzhibin111 · 發(fā)表于 2011-9-30 23:28

ssqaaaaaaaaa 發(fā)表于 2011-9-29 23:40
錯了，正好相反
我們知道基礎解系的秩R(S)=N-R(A)
而B可能只是基礎解系的一部分，故R(B) ...

嗯？請問你說錯了是我的理解錯了嗎？正好相反是什么意思？不過好像我的理解和你的一樣吧（可能是我還沒有理解你的意思）？

kevin0518 · 發(fā)表于 2011-10-1 08:56

我的看法和樓主差不多，左邊是的基礎解系的一部分，所以小于等于

duder · 發(fā)表于 2011-10-1 11:14

跟樓主想的一樣

aiai_andy · 發(fā)表于 2011-10-1 23:37

書上的定理，根據(jù)線性方程組解的結構，Ax=0的解集的秩=n-r（A），現(xiàn)在根據(jù)題意，B的列向量都是Ax=0的解，因此有r（b1,b2....bn）=r（B）≤n-r（A）從而r（A）+r（B）≤n。

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