本帖最后由 戰(zhàn)地黃花 于 2012-4-18 08:27 編輯
定義是最基本的游戲規(guī)，是邏輯推理的出發(fā)點(diǎn)。是應(yīng)對問題的法寶。 對于二維隨機(jī)向量（X，Y），大學(xué)數(shù)學(xué)教材給出分布函數(shù)的定義后，再給出二維離散型隨機(jī)變量與二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)具體算法。這就相當(dāng)于給出了計(jì)算分布函數(shù)的范例。 分布函數(shù)定義的要點(diǎn)是兩條。 （1）定義顯示了二維隨機(jī)向量（X，Y）的“虛擬性”，及“隨機(jī)向量意在交”。 （2）P（X≤x ，Y≤y）表示分布在左下四分之一平面上的全部概率質(zhì)量。 對二維隨機(jī)變量背景下的一維隨機(jī)變量 Z = f (X，Y) ，大學(xué)數(shù)學(xué)教材上也有計(jì)算分布函數(shù)及概率密度的問題。 對于二維離散型隨機(jī)向量（X，Y），列出聯(lián)合分布表后，用“窮盡法”計(jì)算。 對于二維離散型隨機(jī)向量（X，Y）， 則是標(biāo)則準(zhǔn)的“分布函數(shù)法”。 要注意的是，大學(xué)數(shù)學(xué)教材上，只是對二維離散型隨機(jī)變量及二維連續(xù)型隨機(jī)變量分別定義了條件分布。 處理“邊沿分布”，及一維隨機(jī)變量 Z = f (X，Y)的計(jì)算問題 ，前提都是，“站在二維隨機(jī)變量（X，Y）的背景下”。 “站在二維隨機(jī)變量（X，Y）背景下”，其要點(diǎn)是先“配對（x ，y）”再考慮相應(yīng)計(jì)算問題。 考研數(shù)學(xué)題常常會有一些“擦邊球”。 在混合型二維隨機(jī)變量（X，Y）的背景下計(jì)算或討論一維隨機(jī)變量 Z = f (X，Y)的問題，就是偏離教材及考試大綱很遠(yuǎn)的“擦邊球”。 無論是什么樣的“擦邊球”，基本思路應(yīng)該是按分布函數(shù)的定義，“隨機(jī)向量意在交”，進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。 例1。設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，其中X的分布列為P（X = 1）= 0.3，P（X = 2）= 0.7 ，而Y的概率密度為f（y），求隨機(jī)變量U = X + Y的概率密度g (u) 分析“站在二維隨機(jī)變量（X，Y）背景下”看，（X，Y）的有效配對是 （1，y），（2，y） ，– ∞ < y < + ∞ ，即兩條豎直線。 記 G（u）為隨機(jī)變量U = X + Y的分布函數(shù) ，則任給一點(diǎn)u G（u）= P（U≤u）= P（X + Y≤u）= P（X = 1，Y≤u–1）+ P（X = 2，Y≤u–2） 請住意，這里按照分布函數(shù)的定義，P（U≤u）是分布左下半平面x + y ≤u的全部“配對（x ，y）”相應(yīng)的概率。 “隨機(jī)向量意在交”，已知隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，故 G（u）= P（X + Y≤u）= P（X = 1，Y≤u–1）+ P（X = 2，Y≤u–2） = P（X = 1）P(Y≤u–1) + P(X = 2) P(Y≤u–2） = 0.3 FY(u–1）+ 0.7 FY (u–2） 求導(dǎo)得 g (u) = 0.3 f (u–1）+ 0.7 f (u–2） 例2 設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），Y的概率分布為P（Y = 0）= P（Y = 1）= 1/2 ，記 G（z）為隨機(jī)變量Z = XY的分布函數(shù)，則G（z）的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ？ 分析 由離散型隨機(jī)隨機(jī)變量X的圖形特征可以想到 ，如果混合型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)模型中含有“概率質(zhì)點(diǎn)x0” ，即P (X = x0) = p > 0，則x0必定是其分布函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)。 “站在二維隨機(jī)變量（X，Y）背景下”看，（X，Y）的有效配對是 （x，0），（x，1） ，– ∞ < y < + ∞ ，即兩條水平線 顯然，對于所有（x，0），– ∞ < y < + ∞ ，及（0，1）都有Z = XY= 0 ，故 P（Z = XY= 0）= P（0，– ∞ < y < + ∞）+ P（X= 0，Y=1） 其中，應(yīng)該說 P（0 ，– ∞ < y < + ∞） 來自于“定積分微元分析法”與無窮積分收斂的定義。 “隨機(jī)向量意在交”，已知隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，故P（Z = 0）= 1/2 在其它點(diǎn)（x，1）處，Z = XY= x ，再沒有別的“概率質(zhì)點(diǎn)”。 隨機(jī)變量Z = XY的分布函數(shù) G（z）只有一個(gè)跳躍間斷點(diǎn)z 0 = 0 例3 設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，X ~ B（1，1/2），Y ~ [0，，記Z = X + Y，試求Z的分布函數(shù)及概率密度。 分析 “站在二維隨機(jī)變量（X，Y）背景下”看，（X，Y）的有效配對是 （0，y），（1，y） ，0 ≤ y ≤1 ， 即兩條豎直線段。 記 G（z）為隨機(jī)變量Z = X + Y的分布函數(shù) ，則任給一點(diǎn)z 簡單作圖即可看出，z < 0時(shí) ，G（z）= 0 ， 而 z ≥ 2時(shí) ，G（z）= 1 0≤ z < 1時(shí) ，G（z）= P（X + Y≤z）= P（X = 0，0≤Y≤z） “隨機(jī)向量意在交”，已知隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，故 G（z）= P（X = 0，0≤Y≤z）= z / 2 1≤ z < 2時(shí) ，左下半平面 x + y ≤z含（0，y），0 ≤ y ≤1 ，及另一線段部分 G（z）= P（X + Y≤z）= P（X = 0，0≤Y≤1）+ P（X = 1，0≤Y≤ z–1） =1 / 2 +（ z–1）/ 2 = z / 2 求導(dǎo)得密度函數(shù)g（z） z < 0 或 z > 2時(shí) ，g（z）= 0 ， 1≤ z ≤ 2時(shí) ，g（z）= 1/ 2 即 Z = X + Y 服從 [0，2] 上的均勻分布。 按照教材現(xiàn)有定義與規(guī)范算法計(jì)算，這應(yīng)該是打“擦邊球”的本意。 | 
發(fā)表于 2012-4-18 08:21
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