有意思（13）有限到無窮，這是質變

戰地黃花

從有限到無窮，這是質變。
        只含有限個數的數集，一定有最大及最小的數，而無窮集則不一定。比如自然數集有最小值而沒有最大值。數集（0，1）則既沒有最小值，也沒有最大值。
        兩個有限集，一定可以分出，誰含有的數較多。而無限集之間只能看是否能建立一一對應關系。如果兩個無限集之間能建立一一對應，我們就認為這兩個數集所含有的數“一樣多”，即是兩個數集屬于同一級別。
        很有趣也很哲學的是，通過 2n → n ，“偶自然數集”可以與“自然數集“建立一一對應，即它們屬于同一級別。這表明，無限集的真子集可以與全集建立一一對應，而有限集顯然不行。
        能與自然數集建立一一對應的無限集，稱為可列集。每個不可列的無限集，都一定能與數集（0，1）建立一一對應。這樣一來，從含有數的“多少”意義來看，只有兩類無限集。可列集或不可列集。
        高等微積分（《數學分析》）的第一章，講實數的完備性。即全體實數與數軸上的點成功一一對應。于是我們從此“點”“數”不分。最令人吃驚的是，盡管有理數具有稠密性，即任意兩個實數之間必定至少有一個有理數，但是全體有理數是一個可列集。實軸上幾乎全是無理數。
        非數學專業的《高等數學》沒有這一章。學生們在沒有點集拓撲的基礎上學習大學數學。有些問題理解起來就很難。
        比如有n個未知量的齊次線性方程組 Ax = 0，如果有一個非零解，就必定有無窮多個非零解。怎樣來體驗這個解集呢？我有下面的幾何思維方式。
        如果 r（A）= n―1，則 解集秩 = 1 ，基礎解系由一個解向量ξ 組成。通解 x = Cξ ，通解中有且只有一個獨立（實）常數。這樣一來，顯然解向量集與數軸成功一一對應，所以我們說，方程組 Ax = 0有 “一維的解向量空間”。
        如果 r（A）= n―2 ，則 解集秩 = 2 ，基礎解系由兩個解向量組成。通解中有且只有兩個獨立（實）常數。這兩個獨立（實）常數按序排成（C1，C2），唯一對應著平面上一點。這樣一來，顯然解向量集與平面（二維空間）成功一一對應，所以我們說，方程組 Ax = 0 有 “二維的解向量空間”。
                        ……      ……       ……
             一般地說，設A的秩為 r（A），則 解集秩 = n―r（A） ，基礎解系由 n―r（A）個解向量組成。通解中有且只有 n―r（A）個獨立（實）常數。這 n―r（A）個獨立（實）常數按序排成n―r（A）維向量，唯一對應著n―r（A）維空間中一點。顯然解向量集與 n―r（A）維空間成功一一對應，所以我們說，方程組 Ax = 0 有 “n―r（A）維的解向量空間”。
       （潛臺詞：每個解向量都是 n 維向量!!!!!!!   整個解集在一一對應的意義上，（這是討論無窮集的潛規則!!!!!!!!） 成功 n―r（A）維向量空間。n 維向量空間的一個 n―r（A）維子空間。）
        其次，討論無窮過程的發展趨勢自然要用到極限，也只能運用極限。有了這個意識，數項級數的“和”的定義，無窮積分的定義，都是很容易接受，很容易想到的事情。
        由于+∞與―∞是兩個發展方向，因而“全直線上的積分”要分為兩個無窮積分各自定義。兩者都收斂時，“全直線上的積分” 收斂。有的人不明白，“奇函數在全直線上的積分為0”是錯誤結論，根源就在于不懂“全直線上的積分” 收斂的定義。
        由于從有限到無窮是質變，有限狀態下的結論在無限狀態下就不一定成立。恩格斯說，（在無限狀態下）一切都需要重新驗證。
       （在同一區間上），有限個連續函數的線性組合連續。而各項都連續的函數項級數，其和函數卻不一定連續。
       （在同一區間上），有限個可導函數的線性組合可導，且導函數等于，各函數導數的同一線性組合。而各項都可導的函數項級數，即便和函數可導，其導函數也不一定等于各項的導數所組成的級數。
（      在同一區間上），有限個函數的線性組合的定積分，等于各函數的定積分的同一線性組合。而對于函數項級數，其和函數的定積分，不一定等于各項的定積分所組成的數項級數的和。，
         冪級數為什么能在其收斂區間內“逐項積分”； 能在其收斂區間內任意有限階“逐項求導”呢？其背后有堅強后盾。即冪級數在收斂區間內是“內閉一致收斂”的。這是一很強的條件。非數學專業學生知道 “有堅強后盾”，可以加深印象。一切都不是隨意的。

[ 本帖最后由 戰地黃花 于 2010-9-11 21:23 編輯 ]

milnor

您在帖子中關于齊次線性方程組基礎解系的幾何解釋是相當nice的，在下發表一下觀點，如果是有限域上的線性方程組該如何？呵呵，在下學識淺陋，還望戰地黃花老師海涵！

LmYjQ

有點實變函數的意味

hldzgp

牛人呀

c-lq

樓主實在是太厲害了！

852412

[em:42]

maz_i

寫得好，讓我對數學有了更深刻的認識

real007

一直在讀你的文章，收獲很大，辛苦了!!!

myuu

人才！

476239031

深奧！