考研數(shù)學(xué)講座（48）(49)中心定理路簡明,錦上添花對(duì)稱陣

戰(zhàn)地黃花

矩陣與對(duì)角陣相似問題，是矩陣譜理論中，“矩陣法式”討論的特殊情形。
      1.        矩陣的相似
            定義—— 如果存在滿秩方陣P，使得   方陣 A = Pˉ1BP ，就稱矩陣A與B相似。
     （畫外音：請(qǐng)對(duì)比，矩陣A與B等價(jià)的充分必要條件是存在滿秩方陣P和Q，使得  A = PBQ
           要是你研究式地學(xué)習(xí)，你可以主動(dòng)地“折騰”一下定義。就算是練練手。
      （1）對(duì)相似的定義等式，方陣 A = Pˉ1BP ，兩端取轉(zhuǎn)置。
                      Aˊ=（(Pˉ1BP）ˊ 即  Aˊ= PˊBˊ(Pˉ1) ˊ
如果有   (Pˉ1) ˊ= (Pˊ) ˉ1 ， （可以證明?。?nbsp;  則   Aˊ= PˊBˊ(Pˊ) ˉ1
       結(jié)論：如果 A 與B 相似，關(guān)聯(lián)矩陣為 P ，則 Aˊ與Bˊ也相似。關(guān)聯(lián)矩陣為 (Pˊ) ˉ1
      （2）設(shè) A 與B 都可逆，對(duì)定義等式，方陣 A = Pˉ1BP ，兩端取逆。
                    Aˉ1 = （(Pˉ1)BP）ˉ1  ，即  Aˉ1 = Pˉ1Bˉ1P
           結(jié)論：如果 A與B 相似，則 Aˉ1 與 Bˉ1 也相似。關(guān)聯(lián)矩陣 P 不變。

       例69      試證明滿秩矩陣 A 與 B 相似的充分必要條件是，A* 與 B* 相似
       分析  設(shè) A 與 B 相似，關(guān)聯(lián)矩陣為 P，對(duì)定義等式兩端取“伴”（即取*），得      
                     A* = （(Pˉ1BP）* = P*B*(Pˉ1)*
由    P* = | P| Pˉ1，(Pˉ1)* = | Pˉ1| P ，得  A* = Pˉ1B* P ，A* 與 B* 相似。
     （畫外音：或?qū)Χx等式兩端取逆，  Aˉ1 =  Pˉ1 Bˉ1 P ，A與B 相似 則 | A| = | B|，于是         
                  | A| Aˉ1 = | B| Pˉ1Bˉ1P    ，即 A* = Pˉ1 B* P   
           如果設(shè) A* 與 B* 相似，關(guān)聯(lián)矩陣為 P ，A* = Pˉ1 B* P ，即
             | A| Aˉ1= Pˉ1 | B| Bˉ1 P ，消去行列式后等式兩端取逆，即可完成證明。
       方陣相似關(guān)系的性質(zhì) ——
            （1）相似關(guān)系有傳遞性。即若矩陣A與B 相似，B與C 相似，則A與C 相似。
       （2）相似的矩陣一定等價(jià)。
       （潛臺(tái)詞：由乘積的秩關(guān)系知，相似矩陣的秩相等。）
       （3）相似矩陣有相同的特征值。
       （潛臺(tái)詞：相似矩陣的行列式相等。相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式。相似矩陣不一定有相同的特征向量。）
       （4）矩陣A與B相似，φ(t)是個(gè)多項(xiàng)式，則多項(xiàng)式矩陣 φ(A)與φ(B)相似。
        實(shí)際上，若有滿秩矩陣 P ，使得 A = Pˉ1 BP ，則
                 A的k次方 = A?A?…… ?A  = Pˉ1 BP?Pˉ1 BP?……?Pˉ1 BP =  Pˉ1（B的k次方）P            
          （乘法滿足結(jié)合律）,  這就表明，（A的k次方）與（B的k次方）相似。
                  ……      ……
              A - λE 就是個(gè)一次多項(xiàng)式矩陣，相應(yīng)著一次多項(xiàng)式 t - λ  ；因而若矩陣 A 與B 相似，則
矩陣 A - λE和矩陣 B - λE相似。

          2，方陣A與對(duì)角陣相似的充分必要條件
              《線性代數(shù)》的第二板塊的中心問題是“方陣A與對(duì)角陣相似的充分必要條件?！?br />            中心定理    n 階方陣A與對(duì)角陣相似的充分必要條件是，A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。
         中心定理的證明，只不過是矩陣乘法表達(dá)方式的一個(gè)變化，加上矩陣相等的定義。這對(duì)每個(gè)學(xué)生都是一個(gè)很好的練習(xí).
         設(shè)有滿秩矩陣P，使得，Pˉ1 AP = Λ（對(duì)角陣），即 AP = PΛ，且設(shè)對(duì)角陣Λ的主對(duì)角線上元素為
                    λ1，λ2，  ……，λn
                把P按列分塊，  A（ξ1，ξ2，------，ξn） = （ξ1，ξ2，------，ξn）Λ
進(jìn)而有         （Aξ1，Aξ2，------，Aξn）=（λ1ξ1，λ2ξ2，------，λnξn）
       （潛臺(tái)詞：左邊（1×1）（1×n），右邊（1×n）（n×n），乘積都是（1×n）階列分塊陣。）
         最后用矩陣相等的定義得  A ξ j = λj ξj    ，j =1，……，n     ，各運(yùn)算式皆可逆。
         中心定理的證明過程表明，若n 階方陣A 能與對(duì)角陣相似。則這個(gè)對(duì)角陣Λ 的主對(duì)角線上元素就是它的 n 個(gè)特征值。相應(yīng)的 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量（列）排成關(guān)聯(lián)矩陣 P
                由特征值與特征向量知識(shí)直接得到判定定理（充分條件）：
        （1）若n 階方陣 A 有n個(gè)單特征值，則 A 能與對(duì)角陣相似。
        （2）若n 階方陣 A 的每個(gè)重特征值都不虧損，即每個(gè)k 重特征值擁有的特征向量集的秩一定為 k，則 A 能與對(duì)角陣相似。
        （潛臺(tái)詞：重特征值虧損的嚴(yán)重后果是，矩陣不能與對(duì)角陣相似。）
         例70  二階方陣A滿足 | A|< 0 ，A一定能和對(duì)角陣相似。
          分析   由特征多項(xiàng)式 φ(λ)=|A-λE | 知 φ(0)= |A|，即（二次的）特征多項(xiàng)式常數(shù)項(xiàng)為|A|，其兩根之積為負(fù)，兩根反號(hào)，當(dāng)然都是單特征。
           例71  (雜談)
                 （1）        零矩陣是最特殊的對(duì)角陣。它有n重0特征值。
          （2） 把關(guān)聯(lián)矩陣P取成單位矩陣E，就能說明每個(gè)對(duì)角陣與自己相似。
          （3）  主對(duì)角線上全是數(shù)0的上（下）三角陣也具有n重的0特征。但是這些上（下）三角陣的秩大于或等于1，因而它們不能和對(duì)角陣相似。
         （潛臺(tái)詞：隨便寫一個(gè)都是反例，A與B有相同的特征值，A與B不一定能相似。）
          （4） 如果對(duì)某一自然數(shù)k ，A的 k-1次方≠ 0（陣）而   A的 k次方 = 0（陣），就稱A是“冪零陣”。顯然“冪零陣”A有n重0特征值?！皟缌汴嚒盇不能與對(duì)角陣相似。
          （5）把 n個(gè)實(shí)數(shù)放到主對(duì)角線得到對(duì)角陣。無論按照什么順序放，所產(chǎn)生的對(duì)角陣都彼此相似。
這是因?yàn)?，我們選定其中一個(gè)對(duì)角陣以后，其它順序的對(duì)角陣都是由它的特征值排成的。由相似關(guān)系的傳遞性知它們彼此相似。

         基本研考題 —— 利用三階方陣A能與對(duì)角陣相似的條件,求A中參數(shù)
               借助于A有重特征的情形，考試中心編制了又一類大分值考研試題——
          “已知含有參數(shù)的矩陣A能與對(duì)角陣相似，且A有一個(gè)二重特征值，試確定A中的參數(shù)值。”
          數(shù)學(xué)二的考題也達(dá)到了這個(gè)難度。要拿分嗎，先背熟相應(yīng)的邏輯推理。
         由于解一元高次方程的困難，研考題通常是給一個(gè)含參數(shù)的3階矩陣A ，A有一個(gè)單特征和一個(gè)二重特征值λ
                例72（基本推理）
         A能與對(duì)角陣相似 —→ A有 3個(gè)線性無關(guān)的特征向量
                             —→ A的屬于二重特征值λ的特征向量集的秩一定為2  
                                                        —→ 齊次線性方程組（A-λE）x = 0的解集秩為2
                                                               —→該方程組系數(shù)矩陣A-λE的秩只能為 3-2 = 1  
                                                                          —→ A-λE的二階子式全為0
                                                                                 —→挑選A的一個(gè)含有參數(shù)的二階子式，令其為0得方程。
         解方程求得參數(shù)。

         3.  矩陣A能與對(duì)角陣相似的初步應(yīng)用
               一個(gè)矩陣 A 能與對(duì)角陣相似，有什么好？隨便說幾條。
       （1）矩陣 A 與對(duì)角陣Λ 相似，且 秩r (A) = r ，則顯然 λ= 0 是 A 的 n - r 重特征值。
       （潛臺(tái)詞：相似矩陣有相同的特征值。特征值看對(duì)角陣。
       （2）矩陣 A 與對(duì)角陣Λ 相似，且 秩r (A) = r ≠ 0 ，則 A的k次方 與 Λ的k次方 相似。所以，A的k次方矩陣的秩也為 r ，換句話說，A 一定不是“冪零陣”。
        （3）A 的 k次方難解。如果矩陣 A 能與對(duì)角陣相似，我們可以求出它的n個(gè)特征值，及相應(yīng)的n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，再排出關(guān)聯(lián)矩陣P和對(duì)角陣Λ，由定義式  Pˉ1（A的k次方）P  = Λ的k次方    ,就能反解出（A的k次方）。
        這是一類出現(xiàn)頻率較高的大分值考研試題。
       （4）矩陣 A 能與對(duì)角陣相似，則 A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量。把它們選為n維向量空間的（坐標(biāo)）基，會(huì)給應(yīng)用帶來很大的方便。
               ---------------------------     ……     -------------------------
               ?。〈髮W(xué)數(shù)學(xué)《線性代數(shù)》的理論精髓就集中體現(xiàn)在這兒了。理解一遍，就是一次實(shí)實(shí)在在的總復(fù)習(xí)。坡度較高，但是路徑簡明單一。

      （49）錦上添花對(duì)稱陣

              一般的方陣可能有復(fù)的特征值，這會(huì)給我們帶來額外的困難。
         1.對(duì)稱陣A的特征值與特征向量
              對(duì)稱陣A的特征值與特征向量有與眾不同的3個(gè)特點(diǎn)。
       （1）對(duì)稱陣A 的 n 個(gè)特征值一定都是實(shí)數(shù)。
       （2）對(duì)稱陣A 如果有重特征值，則每個(gè) k重特征值所擁有的特征向量集的秩一定等于重?cái)?shù) k  。即每個(gè)重特征值都不會(huì)虧損。
       （3）對(duì)稱陣A 的屬于不同特征值的特征向量正交。
        有了（1）和（2），就已經(jīng)保證了，每一個(gè)對(duì)稱陣都能與對(duì)角陣相似。且相關(guān)的計(jì)算，無論是計(jì)算特征值還是計(jì)算特征向量，都能保持在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行。
        這樣一來，非零的對(duì)稱陣A 一定不是冪零陣。  且一定有   （A的k次方）的秩 = A的秩
         n 維向量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基 ——
              特點(diǎn)（3）錦上添花。如果對(duì)稱陣A 有 n個(gè)單特征。那么，相應(yīng)的 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量天然地兩兩正交。只需逐個(gè)單位化，就能得到 n 個(gè)特征向量的標(biāo)準(zhǔn)正交組。
        如果對(duì)稱陣A 有重特征，可以運(yùn)用斯密特正交化方法，先將每個(gè)重特征所擁有的特征向量集最大無關(guān)組標(biāo)準(zhǔn)正交化，近而合并得n個(gè)特征向量的標(biāo)準(zhǔn)正交組。
        *這是 n 維向量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，就象三維空間的坐標(biāo)基 i ，j ，k

               2.正交陣與*對(duì)稱陣A的“譜分解”
              定義（正交陣） —— 列（或行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交組的方陣稱為正交陣。
        由定義可以直接驗(yàn)算：
        結(jié)論1.   矩陣 A 是正交陣的充分必要條件是， Aˉ1 =  Aˊ
      （潛臺(tái)詞：別忘了矩陣乘法的基點(diǎn)是“左行右列作內(nèi)積”。 由定義與“標(biāo)準(zhǔn)正交”性，顯然    AˊA = E ）
        結(jié)論2.   A 是正交陣 —→ | A| = ±1
              結(jié)論3.      只有兩類正交陣。或 a ij = A i j   或  a ij = -A i j     實(shí)際上， A* = | A|?Aˉ1 ，從而  A* = ±Aˊ，聯(lián)想 A* 的組成方式就自然知結(jié)論對(duì)。
      （畫外音：“結(jié)論2”是個(gè)很有趣的構(gòu)造結(jié)論。如果你用n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交的列向量排成一個(gè)正交陣。利用結(jié)論2可以驗(yàn)算，正交陣的行向量組自然也是標(biāo)準(zhǔn)正交組。）

       典型計(jì)算 ——
           （1）已知對(duì)稱陣A 或 A 的特征值，求正交陣 P ，使得  Pˉ1A P = Λ   即  PˊA P = Λ
             實(shí)際工作量只不過是求 A 的特征值，特征向量，標(biāo)準(zhǔn)正交化，排出正交陣 P
             最重要的是，“求正交變換 P ，把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型”的計(jì)算也就全都在這里了。
       （ 2）已知對(duì)稱陣A 的特征值及特征向量，用公式 A = PΛPˉ1 ， 即  A = PΛPˊ  反求矩陣A

             對(duì)稱陣A的“譜分解”——        
             把 P 寫為列分塊形式，P =（ξ1，ξ2，------，ξn），則 Pˊ自然為行分塊形式，其第i 行為 ξi ˊ 且
              PΛ=（λ1ξ1，λ2ξ2，------，λnξn） （潛臺(tái)詞：左乘在行，右乘在列。）
進(jìn)而           A = PΛPˊ=λ1ξ1ξ1ˊ+λ2ξ2ξ2ˊ+ …… +λnξnξnˊ
這樣一來，對(duì)稱陣A在理論上被表示成為n個(gè)秩為1的矩陣的線性組合。表達(dá)式稱為對(duì)稱陣A的譜分解。
       （潛臺(tái)詞：宏觀可乘，（1×n）（ n×n ）（n×1）=（1×1）
           微觀可乘，比如 ξ1ξ1ˊ，（n×1）（1×n）=（ n×n ）
           愉快的矩陣乘法：“左行右列作內(nèi)積，對(duì)應(yīng)分量積相加。左列右行得矩陣，矩陣的秩不超1 ?！保?br />
          例79   對(duì)稱陣A主對(duì)角線上元素之和，等于它的n個(gè)特征值的和。
             分析      A = PΛPˊ=λ1ξ1ξ1ˊ+λ2ξ2ξ2ˊ+ …… +λnξnξnˊ
                 顯然，矩陣ξ1ξ1ˊ的主對(duì)角線上元素之和為1，故λ1ξ1ξ1ˊ主對(duì)角線上元素之和為λ1 ，
          同理，λ2ξ2ξ2ˊ主對(duì)角線上元素之和為λ2 ，λnξnξnˊ主對(duì)角線上元素之和為λn
                  n 項(xiàng)相加即有本題結(jié)論。
          例80   設(shè)三階實(shí)對(duì)稱陣的A秩為2，λ= 6是A的二重特征值，若ξ1=（1，1，0）ˊ，ξ2 =（2，1，1）ˊ，ξ3 =（-1，2，-3）ˊ都是A的屬于λ= 6的特征向量
        （1）求A的另一特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量  （2）求矩陣A
                 分析   因?yàn)锳的秩為2，所以A有單特征0
                 對(duì)稱陣A的二重特征值λ= 6相應(yīng)的特征向量集秩為2，顯然ξ1與ξ2線性無關(guān)，可以選為其最大無關(guān)組。
          設(shè)屬于單特征0的特征向量為（x，y，z），它與ξ1及ξ2都正交。利用正交性得出兩個(gè)方程，可解得
ξ3 =（-1，1，1）ˊ，進(jìn)而得特征向量標(biāo)準(zhǔn)正交組
                （1/√2，1/√2，0）ˊ ，（2/√6，1/√6，1/√6）ˊ ，（-1/√3，1/√3，1/√3）ˊ
          A有單特征0，用“譜分解”方法算
                         （3   3   0）                （4   2   2）      （7  5  2 ）
           6ξ1ξ1ˊ= （3   3   0）    6ξ2ξ2ˊ=（2   1   1）   A =（5  4  1 ）
                         （0   0   0）                 （2   1   1）      （2  1  1 ）
          高分值題，算錯(cuò)可惜。一定要認(rèn)真算好兩三個(gè)這樣的題。

          3.  方陣的合同關(guān)系         
          定義 —— 如果存在滿秩矩陣P ，使得 A = PˊBP ，就稱方陣 A 與 B 合同。
          對(duì)于對(duì)稱陣A，我們選擇它的n個(gè)特征向量標(biāo)準(zhǔn)正交組來排成關(guān)聯(lián)矩陣P，即P是正交陣。那么，  
                    Pˉ1AP = Λ（A的n個(gè)特征值排成的對(duì)角陣）  即  PˊAP = Λ
                這就是說，每一個(gè)對(duì)稱陣A ，與它的n個(gè)特征值所排成的對(duì)角陣Λ既相似又合同。
          盡管考研大綱要求“合同關(guān)系”。但教材內(nèi)容很少。這一條特別要記熟。

          請(qǐng)對(duì)比 —— 矩陣A 和B “等價(jià)”，矩陣A 和B “相似”，矩陣A 和B “合同”：
          矩陣A 和B等價(jià)的充分必要條件是，存在滿秩方陣J、Q，使得  JAQ  = B
                  矩陣A 和B相似的充分必要條件是，存在滿秩方陣P，   使得  Pˉ1AP = B
                  矩陣A 和B合同的充分必要條件是，存在滿秩方陣Q，   使得  QˊA Q = B
顯然，相似或合同的矩陣都等價(jià)。

          線性運(yùn)算在對(duì)稱陣集合中是封閉的。而矩陣乘法在這里不封閉。即“對(duì)稱陣的乘積不一定是對(duì)稱陣?！逼湓蛟谟诰仃嚦朔ú豢梢?。
          我在這里說的，比一般教材要多些。愿你能更全面地了解對(duì)稱陣。

[ 本帖最后由 戰(zhàn)地黃花 于 2010-6-8 22:19 編輯 ]

lyz1108

例80ξ1及ξ2沒有進(jìn)行正交話，應(yīng)該錯(cuò)了吧

wt1988chinacom

結(jié)論3.      只有兩類正交陣?；?a ij = A i j   或  a ij = -A i j     實(shí)際上， A* = | A|?Aˉ1 ，從而  A* = ±Aˊ，聯(lián)想 A* 的組成方式就自然知結(jié)論對(duì)。
一直困擾我的問題：為什么會(huì)得到A* = ±Aˊ？求解

linyan88840203

真棒

bj270278245

絕對(duì)的好帖！

戰(zhàn)地黃花

是的.最低最低限度的好處.        (結(jié)論1.   矩陣 P 是正交陣的充分必要條件是， Pˉ1 =  Pˊ)
P 是正交陣,則  PˊAP = Λ 與 Pˉ1AP = Λ 是一回事.

liudany

謝謝老師??！

huweiaching

老師的意思是說,我們求正交陣的目的是為了簡化計(jì)算,不用去計(jì)算P的逆矩陣,直接用轉(zhuǎn)置嗎?學(xué)生愚頓,麻煩老師能多講解下,謝謝

songkan123

感謝戰(zhàn)地老師，您老都這么大年齡了，為了我們考研的，每天幾個(gè)小時(shí)的發(fā)帖，真的很感動(dòng)呀！[em:15]

戰(zhàn)地黃花

錦上添花別樣紅, 道路條條選最佳.
"佳"在何處,最低限度可以在應(yīng)用中用 Pˊ而不去計(jì)算 Pˉ1
往高處看, 理論上請(qǐng)?bào)w會(huì), " 對(duì)稱陣A的“譜分解”" ,
                      請(qǐng)?bào)w會(huì)  ，"“求正交變換 P ，把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型”的計(jì)算也就全都在這里了。"

[ 本帖最后由 戰(zhàn)地黃花 于 2010-6-8 22:08 編輯 ]