考研數(shù)學(xué)講座（77）數(shù)字特征知根底

戰(zhàn)地黃花

為了量化研究，人們在樣本空間上建立基本點(diǎn)與數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，記為X或Y，…… ，稱為隨機(jī)變量。
     研究隨機(jī)變量，一個重要的著眼點(diǎn)是，隨機(jī)變量取值的分布狀況。
     測量某個客觀存在的數(shù)據(jù)，測量結(jié)果必定有誤差。測量結(jié)果是隨機(jī)變量。通常我們會多測幾次，以幾次數(shù)據(jù)的平均值為測量值。這個極其普通的作法，卻恰好滿足一個優(yōu)化條件。
    《高等數(shù)學(xué)》知識告訴我們，優(yōu)化問題：
         “已知數(shù)a的n個近似值，x1，x2，……，x n，求x0，使其與這n個值的平方平均誤差最小。”即
                        Min{（x-x1）2+（x-x2）2 + --- +（x-x n）2}
的答案就是這n個數(shù)的平均值。
      之所以給偏差以平方，是要避免正負(fù)相消而失真 。
     （畫外音：請聯(lián)想隨機(jī)變量的均值，請比較這個優(yōu)化條件與隨機(jī)變量方差的定義。）
       在有n個指標(biāo)集的評價問題中，給每個單項(xiàng)指標(biāo)打一個分?jǐn)?shù)，x1，x2，---，x n ；如果要進(jìn)一步考慮各個指標(biāo)的重要性，就不會簡單地給一個平均分，而是先給各個指標(biāo)賦“權(quán)”。即給出總和為1的n個正小數(shù)，p1，p 2，---，p n，其大小分別表示相應(yīng)那個指標(biāo)的重要性。再取其“加權(quán)平均值”。即    x0  =  p1 x1 + p 2 x 2 + --- + p n x n
           前述“取平均值”，可以視為各次測量結(jié)果權(quán)重相等。都為1/n

          1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）
          設(shè)X是離散型的隨機(jī)變量，它有n個可能的取值。每一個取值表示一個可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果。這個取值的概率，一定意義上顯示了“它出現(xiàn)的權(quán)利大小”。 概率又正好有非負(fù)性且總和為1的特點(diǎn)，因而可以視為“權(quán)重”。
      定義離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望      E(X) = p1 x1 + p 2 x 2+ ……+ p n x n
           這就好比是取X的加權(quán)平均值。
      在X有可列無窮多個取值的情形，如果相應(yīng)的級數(shù)收斂，則E(X)也存在。

      離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 ——
          如果 g(t )是個連續(xù)函數(shù)，X是隨機(jī)變量，那g (X)當(dāng)然也是隨機(jī)變量。特別的，若X是離散型隨機(jī)變量，那g (X)當(dāng)然也是離散型隨機(jī)變量。 X → g (X) ，相當(dāng)于一次數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。最重要的是，立即對如影隨行的概率作相應(yīng)的轉(zhuǎn)換。
      （1）如果 X →g (X) 是一一對應(yīng)關(guān)系，則
              X的分布列 x i → p（x i）直接就是 g (X) 的分布列 g (x i) → p（x i）
      （2）如果 X →g (X) 不是一一對應(yīng)關(guān)系，比如有幾個X值都產(chǎn)生相同的函數(shù)值g (x1)，則要把這幾個點(diǎn)的概率加起來，作為g (x1)的概率。整理完以后再寫出分布列。
         比如  若隨機(jī)變量X的分布列為    -1      0      1
                                                                        0.1     0.4     0.5
則隨機(jī)變量 X 2 的分布列為         0      1
                                                       0.4     0.6
          有趣的是，計算E(g (X))，可以不去管函數(shù)關(guān)系是否一一對應(yīng)。只需直接把所有的積項(xiàng)g (xi) p（x i）加到一起。 實(shí)際上，如果 g (x1) = g (x2) ，則            g (x1) p（x1）+ g (x 2) p（x 2）= g (x1)（p（x1）+ p（x 2））
      計算過程中自然地進(jìn)行了整理。
       2   連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
           連續(xù)型隨機(jī)變量的定義很有特色。與《線性代數(shù)》中特征值與特征向量的定義一樣，一個定義界定了兩個概念。定義中還蘊(yùn)含有概率的算法。
       定義 —— 如果存在非負(fù)可積函數(shù) f (x) ，使得隨機(jī)變量X在任一區(qū)間（a，b）內(nèi)取值的概率恰為 f (x) 在此區(qū)間上的積分。且f (x) 在實(shí)軸上的積分為1，則稱隨機(jī)變量X為連續(xù)型隨機(jī)變量；稱 f (x) 為X的分布密度。
       分布密度就是連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)模型。
           這里有一個隱情。在樣本空間中，事件與集合相對應(yīng)。概率的基礎(chǔ)是集合。所需要的積分是建立在集合基礎(chǔ)上的“勒貝格積分”。由于大學(xué)數(shù)學(xué)只教了建立在“區(qū)間”基礎(chǔ)上的“黎曼積分”，因而在這里就只能打模糊說話。把積分看成黎曼積分來算。
       在“黎曼積分”范疇內(nèi)沒有“函數(shù)可積的充分必要條件”； “勒貝格積分”則回答了這一問題。由此可以看到，在集合基礎(chǔ)上討論問題，更深入，也更一般化。
       連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望 —— 對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，如果它的密度f (x) 在實(shí)軸上絕對可積，則定義其數(shù)學(xué)期望為：
          E(X) = x f (x)在實(shí)軸上的積分         （黎曼積分中稱為“廣義積分”。）
       （畫外音：不必細(xì)究“可積”性，只需知道，連續(xù)型隨機(jī)變量X可能不存在數(shù)學(xué)期望。）
        連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 ——若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布密度為f (x)，g(t )是個連續(xù)函數(shù)，在積分收斂時，定義     E(g(X )) = g(x) f (x)在實(shí)軸上的積分
         特別地，如果  E（X）存在  ，則  E (a X + b) = a E(X) + b

             3，隨機(jī)變量X的“方差”D (X)
            要描述隨機(jī)變量X取值的分布態(tài)勢。X的第二個數(shù)字特征“方差”D (X) 應(yīng)運(yùn)而生。
       方差D (X ) 以數(shù)學(xué)期望E(X)為參照物，描述隨機(jī)變量X的整體分布狀態(tài)。即隨機(jī)變量X的取值對于其數(shù)學(xué)期望的平均偏離。
       (在“存在”的前提下——)
            離散型隨機(jī)變量X的方差 ——  D (X ) = E ( (X-E(X)) 2 )
            連續(xù)型隨機(jī)變量X的方差 ——  若X有密度函數(shù)f (x)，則
                  D (X )  =  E ( (X-E(X)) 2 ) =  (x-E(x)) 2 f (x) 在實(shí)軸上的積分

       方差定義式可以繼續(xù)運(yùn)算：      D (X ) = E ( (X-E(X)) 2 ) = E（X 2－2X E(X) + E(X) 2）
因?yàn)閿?shù)學(xué)期望的運(yùn)算是線性的，且常量E(X)的期望就是自己。故
                        D (X ) =上式 = E（X 2）－ E(X) 2   即   D (X ) + E(X) 2 = E（X 2）
                   通常記    σ2 = D (X )      ； μ= E(X)      則     σ2+μ2= E（X 2）  
       一定要熟練運(yùn)用這個平方關(guān)系 。
       （畫外音：為了加深印象，不妨說這是“概率勾股定理”。）
        對于任意實(shí)數(shù)a與b，若隨機(jī)變量X的方差存在，則   D (a X + b)  =  a 2D(X)  ， 顯然  D（b）= 0
              (畫外音：不要忘了，隨機(jī)變量可能不存在均值或方差。)
         
               例35  設(shè)有隨機(jī)變量X，滿足，μ= E(X) > 0 ，σ平方= D (X ) > 0 ，則對任意常數(shù)C，必有
               (A)    E((X-C) 2）= E(X 2) -C 2          (B)    E((X-C) 2）= E((X-μ) 2）
               (C)    E((X-C) 2）＜ E((X-μ) 2）  （D）  E((X-C) 2）≥ E((X-μ) 2）
        分析   很多人不懂得，遇上這樣的問題，要首先考慮能否計算。實(shí)際上由平方關(guān)系得
                 E ((X-C) 2）= D (X-C )  +（E(X-C)）2 = D (X ) +  (μ－C) 2
而                E ((X-μ) 2）= D (X )  ，故   E((X-C) 2）≥ E((X-μ) 2） ， 應(yīng)選（D）。
        這個考題有“概念含金量”。它表明，方差的定義具有“最小性”， 以數(shù)學(xué)期望E(X)為參照物是很合理的。

        4.切比雪夫不等式與“三σ定律”
           切比雪夫不等式 —— 設(shè)隨機(jī)變量X的方差存在，則對任意正數(shù)ε，總有
                         P (∣X-E(X) ∣≥ε) ≤ D (X ) / ε2
              為了理解方便，我用其逆事件的概率，重寫切比雪夫不等式：
                                P (∣X-E(X) ∣<ε)> 1-D (X ) / ε2
         若取 ε=σ，  則具體有   P (∣X-E(X) ∣<ε) > 0，沒有實(shí)際意義。
         若取 ε= 2σ，則具體有   P (∣X-E(X) ∣<ε) > 3/4 = 0.75
                若取 ε= 3σ，則具體有   P (∣X-E(X) ∣<ε) > 8/9 ≈ 0.89
             這個結(jié)論俗稱為“三σ定律”。它顯示了隨機(jī)變量X總體的分布特點(diǎn)。即X以0.89以上的概率落入?yún)^(qū)間（μ－3σ，μ+ 3σ）內(nèi)。也顯示了隨機(jī)變量數(shù)字特征的應(yīng)用背景。
        (畫外音：巨牛啊，只要隨機(jī)變量X的方差存在 ，（μ－3σ，μ+ 3σ）就是其置信度超過0.89的置信區(qū)間。)
             從ε=σ的情形可以看出，切比雪夫不等式較為粗糙，且不利于我用的這一方向。事實(shí)上，如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布。則X以0.997的概率落入?yún)^(qū)間（μ－3σ，μ+ 3σ）內(nèi)。
     （潛臺詞：這與統(tǒng)計部分“參數(shù)的區(qū)間估計”是一個意思，兩個角度。）
        一個有趣的應(yīng)用范例——設(shè)計公共汽車的車門高度。可以針對需求國家或地區(qū)的人的身高來個性化。即通過統(tǒng)計資料算出μ與σ的近似值。取門高為 μ+ 3σ 就行了。

sdc2010

這個考題有“概念含金量”。它表明，方差的定義具有“最小性”， 以數(shù)學(xué)期望E(X)為參照物是很合理的。
一個有趣的應(yīng)用范例——設(shè)計公共汽車的車門高度。可以針對需求國家或地區(qū)的人的身高來個性化。即通過統(tǒng)計資料算出μ與σ的近似值。取門高為 * 3σ 就行了。
這種話畫龍點(diǎn)睛

machael1015

有沒有完整版的啊我想下來好好看呵呵

wubingwinner

謝謝您啦 辛苦啦 考研論壇能看到您的貼子 是我最大的收獲

ghost1708

非常幫，謝謝您的良苦用心了！

戰(zhàn)地黃花

講座（77）與(78)配套,完整地顯示了研究隨機(jī)變量的方法.