有意思（4）右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的右極限

戰(zhàn)地黃花

    （每段是初等函數(shù)的）分段函數(shù)求導(dǎo)，分界點(diǎn)處用定義計(jì)算，各段用法則與公式。老老實(shí)實(shí)地記與做，既簡明又少犯錯(cuò)誤。
     當(dāng)然，你可以懂得更細(xì)一點(diǎn)。
     可導(dǎo)一定連續(xù)。不連續(xù)必然不可導(dǎo)。連續(xù)是討論可導(dǎo)性的前提。     函數(shù)在點(diǎn) a 可導(dǎo)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。
     在定義分界點(diǎn) a 的一側(cè)，比如右則。可以用定義求得右導(dǎo)數(shù)。同時(shí)，在右側(cè)這一段內(nèi)，你用法則與公式求出了導(dǎo)函數(shù)。自然就會產(chǎn)生一個(gè)想法，能否以此求極限得到點(diǎn) a 的導(dǎo)數(shù)。這是錘煉知識及思維細(xì)密性的好時(shí)機(jī)。

     1   如果求極限，是求導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)a的右極限。這個(gè)右極限存在嗎？

     2   按照定義求右導(dǎo)數(shù)。“右導(dǎo)數(shù)”與“導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn) a 的右極限”是兩回事。

     3   如果這個(gè)右極限存在，它和“右導(dǎo)數(shù)”相等嗎？

     用拉格郎日公式可以證明，“如果導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn) a 的右極限存在，則函數(shù)在點(diǎn) a 的右導(dǎo)數(shù)一定存在，且兩者相等。”（一個(gè)好練習(xí)題！）
     左側(cè)可以類似討論。
      結(jié)論：驗(yàn)證了分段函數(shù)在分界點(diǎn) a 連續(xù)后 ，在兩邊區(qū)間內(nèi)各自求導(dǎo)。令 x 趨于 a  ，分別求導(dǎo)函數(shù)的極限。若兩者相等，它就是函數(shù)在點(diǎn) a 的導(dǎo)數(shù)。若兩者不等，函數(shù)在點(diǎn)a不可導(dǎo)。
     前題很清晰，這樣處理也可以。

[ 本帖最后由 戰(zhàn)地黃花 于 2010-5-6 21:11 編輯 ]

戰(zhàn)地黃花

kcufgl 發(fā)表于 2012-6-25 15:49
老師，學(xué)生愚鈍，請老師解釋一下：
1，為什么’’導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)不會有第一類間斷，但可能有第二類間 ...

(1)記住前提:函數(shù)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，（相應(yīng)有導(dǎo)函數(shù)。）如何討論它在點(diǎn)a的可導(dǎo)性。這與函數(shù)抽象不抽象沒關(guān)系。（2）用定義討論最好。 （3）可以考慮，先驗(yàn)證了函數(shù)在分界點(diǎn)處連續(xù)!!!后 (潛臺詞:有時(shí)候,這個(gè)工作量也不小.)          "如果（分段）函數(shù)在（分界）點(diǎn)a處連續(xù),且兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)極限存在且相等，則函數(shù)在（分界）點(diǎn)a可導(dǎo).導(dǎo)數(shù)就是極限值.這時(shí),導(dǎo)函數(shù)在（分界）點(diǎn)連續(xù)."         (4)"導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)a一定連續(xù)."是此時(shí)的客觀存在事實(shí).         (5).要把問題徹底弄懂,必須自己練習(xí)一遍.我把過程提示如下:             驗(yàn)證了函數(shù)在分界點(diǎn)處連續(xù)后,寫出右導(dǎo)數(shù)定義式        對右導(dǎo)數(shù)定義式中的增量商運(yùn)用拉格朗日公式                 求極限思考結(jié)果

Scorpioの棄

a7878370 發(fā)表于 2012-7-21 21:49
要求的前提是在x0連續(xù) 所以是閉區(qū)間 可以用拉格朗日 至于第二個(gè)問題 用極限唯一性理解 ...

第二個(gè)問題x是多少啊，我感覺用極限唯一性說明不了什么，它的區(qū)間最后趨近與一個(gè)點(diǎn)

Scorpioの棄

老師 我問下  x在（x1，x2）區(qū)間內(nèi)，當(dāng)x1→x2時(shí)，x=？？？

戰(zhàn)地黃花

kcufgl 發(fā)表于 2012-6-25 05:45
萬一分段點(diǎn)兩邊是抽象函數(shù)(前面括號里的條件：每段是初等函數(shù)是必不可少的吧？為什么加括號啊，加括號意思 ...

      為什么要加括號？這是因?yàn)榇髮W(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)范圍內(nèi)，《高等數(shù)學(xué)》的內(nèi)容就約定這樣。
      實(shí)際上，還是“各段用公式，分界點(diǎn)用定義算”最好。簡明易掌握。
      還可能有這樣的情況——
      導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)不會有第一類間斷，但可能有第二類間斷。這就是說，你辛辛苦苦求導(dǎo)函數(shù)的左，右極限，最終判定不存在，你卻不能由此斷言函數(shù)在中心點(diǎn)不可導(dǎo)。還得回頭用定義算。這就虧大了。{:soso_e109:}{:soso_e112:}

記的飯

{:soso_e113:}

snapeliu0718

“如果導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn) a 的右極限存在，則函數(shù)在點(diǎn) a 的右導(dǎo)數(shù)一定存在，且兩者相等。”
這句話，我想到用極限定義和導(dǎo)數(shù)定義不用拉格朗日也可以證明
其中，證明過程中重要條件就是 此分段函數(shù)在分界點(diǎn)a處連續(xù)
所以，“”先驗(yàn)證了函數(shù)在分界點(diǎn)處連續(xù)!!!”很重要啊，是前提條件

snapeliu0718

啊 哈  我是來扒舊帖學(xué)習(xí)的 {:soso_e128:}  受教了

maoda_1986

老師威武~

戰(zhàn)地黃花

對，要么直接用定義考查，要么先考查連續(xù)性，……。

[ 本帖最后由 戰(zhàn)地黃花 于 2010-10-7 09:09 編輯 ]