考研數學講座(10)-(14)

戰地黃花

考研數學指導（10）微分是個新起點
     微分學研究函數的方法，是用函數的導數回頭去研究函數。這和物理學用速度及加速度去研究物體運動是一個道理。微分則是運用導數研究函數的起點。
     線性關系是最簡單的函數關系。我們在生活中遇到的正比例問題舉不勝舉。而討論非線性問題，總是件很困難的事。到朋友家要上樓，如果他們家的樓梯是非線性的，多半你會摔個跟頭。
    “能否把非線性問題線性化？”這是人們在經驗基礎上的自然思考。實際上，非線性問題就是非線性問題，所謂“線性化”，只是用一個“合適的” 線性模型去近似非線性模型。即                     
             非線性模型 = 線性模型 + 尾項（尾項= 非線性模型－線性模型），
     關鍵在于表示尾項，研究尾項！找到尾項可以被控制的逼近模型。
     把這個思想落實到函數上，就是，在中心點x0鄰近，能否有
        Δy = AΔx + 尾項    ，尾項 = Δy－AΔx  能否是比Δx高階的無窮小？
     如果能，就稱函數在點x0可微分。簡稱可微。記 dy = AΔx ，稱為函數的微分，又稱為函數的線性主部。
      將可微定義等式兩端同除以Δx，令Δx趨于零取極限即知，若函數在點x0可微，則
     A就是函數在點x0的導數 f ′(x0)；從而 Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx)   ；ο(Δx)表示“比Δx高階的無窮小?！?br />                  或  Δy = dy  +ο(Δx)      ；   dy = f ′(x0)Δx = f ′(x0) dx
          要是需要，我們可以丟去尾項，微局部地得到函數值的（線性的）近似計算式。由于丟去的尾項是比Δx高階的無窮小，如果∣Δx∣＜ 0.01 ,那么，絕對誤差也小于0.01
          不丟尾項，我們得到函數的一個新的（微局部地）有特定含義的表達式：
                  f（x）= f（x0）+ Δy = f（x0）+ f ′(x0)Δx +ο(Δx)
           歷史上，這個表達式稱為，“帶皮阿諾余項的一階泰勒公式”。
      近一步可以證明，可微與可導等價。
      例 41   設函數f（u）可導，y = f（x平方）當自變量x在點x = －1取得增量  Δx =－0.1時，相應的函數增量Δy的線性主部為0.1，則f ′(1) = _______
          分析  Δy的線性主部即是微分dy ，而 y′(x)= f′(u)2x , y′(1) =－2f′(1)
故              dy= y′(x) dx 具體為    0.1 = y′(1)( －0.1) ，解得  f ′(1) = 1/2

          函數 f（x）在一個區間上可導時，我們記微分 dy = f ′(x)dx 。但是不能忘了微分的微局部意義。
      函數可微，且f ′(x0)≠0時，還可以把可微定義等式變形為  Δy / f ′(x0)Δx = 1 + ο(Δx)∕f ′(x0)Δx      
令 Δx → 0 取極限，即知 Δy和dy是等價無窮小。
      為了考試，要盡可能記住一些常用的等價無窮小，例如在x → 0過程中
                sinx ～ x  ； ln（1+x）～ x  ；e xp（x）－1 ～ x  ；√（1+ x）－1～ x∕2
           它們都是在原點計算Δy和dy而獲得的。最好再記住    1－cosx ～ x 平方∕2
兩條經驗：
     （1）常用等價無窮小的拓展——例如，若在某一過程中，若 α（x）是無窮小，則
           sinα（x） ～ α（x） ； ln（1+ α（x））～ α（x） ；e α（x）－1 ～ α（x）
              √（1+ α（x））－1 ～ α（x）∕2    ；  1－cos α（x） ～ α（x）平方∕2
         （2）等價無窮小的差為高階無窮小。
       例42    設當x → 0時，  （1－cosx）ln（1+x平方）是比 x（sinx的n次方）   高階的無窮??；
               而   x (sinx的n次方)   是比 exp（x平方）－1   高階的無窮小，則正整數 n = ？
       分析   x → 0 時，（1－cosx）ln（1+x平方）為 4 次方級的無窮??；x(sinx的n次方)  是n+1次方級；
                     exp（x平方）－1  是 2 次方級，由已知，2＜n+1＜4 ，只有n = 2

          我們還可以學會主動選定中心點，計算Δy和dy來獲得等價無窮小。
      例43 設在區間 [1/2，1）上，f（x）= 1/πx + 1/sinπx－1/π（1－x），試補充定義函數值f（1），使函數在閉區間上連續。
      分析 （1）點1是右端點，按照連續的定義，應該補充定義f（1）為函數在點1的左極限。
     （2）觀察函數結構，第一項是連續函數求極限。第二，三項形成“無窮－無窮”未定式。
     （3）“計算無窮－無窮，能通分時先通分”。 通分后化為0/0型未定式。求商的極限是否順利，關健在于分母。要盡可能先簡化分母。
     （4）公分母 為 π(1－x）sinπx ,可以考慮在點 1 計算 sinπx 的等價無窮小
      因為  sinπ= 0 ,故 Δy = sinπx ；而 dy =πconπΔx =－π（x－1）
      作等價無窮小因式替換，分母變成二次函數，再用洛必達法則求極限，一定順利。
      學習本是為了用，該出手時就出手。你不妨直接用洛必達法則求通分后的0/0型未定式極限。作個對比。
      例44      設函數f (x)在x = 0的某鄰域內有連續的一階導數，且f (0)≠0，f ′(0) ≠0，若
            a f（h）+ b f（2h）－f（0）在h → 0時是較h高階的無窮小，試確定數a和b的值。
      分析  由高階無窮小的定義得h → 0時  lim (a f（h）+ b f（2h）－f（0）) / h = 0
           記 F(h)= a f（h）+ b f（2h）－f（0），F連續。于是（用“基本推理”）由極限式與連續性推出   
          F(0)= lim F(h)=（a + b + 1）f（0）= 0 ，只有   a + b + 1 = 0
同時     （F(h)－F(0)) / h = F(h) / h，再由極限式得 F ′(0)= 0
實際上，    F ′(h) = af ′(h) + 2b f ′(2h)， F ′(0) = （a + 2b）f ′(0) = 0
這就有第二個方程   a + 2b = 0 ；聯解之，a = －2  ，b = 1
          *分析二  換一個思考方法，可微分定義式給了函數一個新的（微局部意義的）表達式。試用一下。
      設想h充分靠近0，則f（x）= f（0）+  f ′(0)x +ο(x)       （中心點是原點，Δx = x － 0 = x）
故         f（h）= f（0）+  f ′(0)h +ο(h)        f（2h）= f（0）+ f ′(0)2h +ο(h)   
從而     a f（h）+ b f（2h）－f（0）=（a+b－1）f（0）+（a+2b）f  ′(0)h +ο(h)
           要它在h → 0時是比h高階的無窮小，常數項和h項系數必需為0，獲得兩個方程。

考研數學指導（11）洛爾定理做游戲
      洛爾定理既為中值定理做準備，又在函數零點討論方面具有獨立意義。洛爾定理的證明中，邏輯推理既有典型性，又簡明易懂。因而洛爾定理成為考研數學的一個特色考點。
      我國的大學數學教材，通常把“費爾瑪引理”的證明夾在洛爾定理的證明中，使得證明顯得冗長。我先把它分離出來。（畫外音：這可是個難得的好習題。）
       1  費爾瑪引理 —— 若可導函數在區間內一點取得最值，則函數在此點的導數為0
            分析  我們復習一下“構造 法”。已知或討論函數在某一點的導數，不仿先寫出導數定義算式，觀察分析增量商。這是基本思路。
       “老老實實”地寫：設函數在區間內一點x0取得最大值。寫出增量商  (f（x）－f（x0）)/（x－x0）
       “實實在在”地想：它有什么特點呢？ f（x0）最大，分子函數增量恒負，分母自變量增量左負右正。這樣一來，
        增量商在x0左側恒正，（負負得正）。其左極限即左導數非負。（潛臺詞：極限可能為0）
        增量商在x0右側恒負。故右極限即右導數非正。    函數可導，左，右極限存在且相等，導數只能為0
            （畫外音：導數為0，不是直接算出來，而是由邏輯推理判斷得到的。你能否由此體會到一點數學美呢 。）
        2  洛爾定理 —— 若 函數 f（x）在閉區間 [a，b] 連續，在（a，b）內可導，且端值相等。則
必在（a，b）內一點 ξ 處導數為 0
             分析  函數在閉區間 [a，b] 連續 → 函數必有最大最小值
              端值相等 → 只要函數不是常數，端值最多只能占最值之一。至少有一最值在區間內。
              函數在（a，b）內可導 → 內部的最值點處導數為0
             請看看，分離證明，前段運用導數定義，符號推理非常典型。后段邏輯有夾逼味道，十分簡明。
        運用洛爾定理，關鍵在于要對各種說法的“端值相等”有敏感性。
        例 47    設函數 f（x）二階可導，且函數有3個零點。試證明二階導數 f "（x）至少有一個零點。
        分析  “函數有兩個零點”，意味著兩個函數值相等！它倆組成一個區間，就滿足“端值相等”條件。可以應用洛爾定理得到函數的一階導數的零點。
        設函數的3個零點由小到大依次為  x1，x2 ，x3
              順次取區間 [x1，x2]，[x2，x3]，分別在每個區間上對函數用洛爾定理，得到其一階導數的兩個零點， ξ1，ξ2，且 ξ1 ＜ ξ2
             ξ1，ξ2 客觀存在。它們組成區間 [ξ1，ξ2] ，且f ′(x) 在此區間上端值相等。
        已知二階導數f "（x）存在，即 f ′(x)可導。對函數 f ′(x) 用洛爾定理就得本題結論。
       本例同時展示了“逐階運用洛爾定理”的思路。
       不要怕“點ξ”，不要去想它有多抽象。客觀存在，為我所用。只是要留心它的范圍。
       (畫外音：怕啥子嘛，你不是學了哲學，學了辯證法嗎。)
             3 “壘寶塔” 游戲   
       如果函數n階可導，且函數有n +1個互不相同的零點。由此可以得到什么信息？
       我們可以象上例那樣，先把這n +1個零點由小到大排序編號，x1，x2 ，x3 ，…… ，x n ，x (n+1)
再順次組成n個區間，        [x1，x2]，[x2，x3]，…… ，[x n ，x (n+1)]
           分別在每個區間上對函數用洛爾定理，得到其一階導數的n個零點，且有大小排序
                                 ξ11 ＜ ξ12 ＜ …… ＜ξ1n
           同理，順次取區間 [ξ11，ξ12] ，[ξ12，ξ13] ，…… ，[ξ1（n－1），ξ1n]
           共計n－1個區間，分別對一階導函數 f ′(x) 用洛爾定理，得到二階導數的n－1個零點，由小到大依次記為
                            ξ21，ξ22，……ξ2（n－1）
                                      ……            ……
            再一次次逐階運用洛爾定理，最后可以得到結論：函數的n階導數有1個零點。
       這是微分學的一個經典題目，結論好似一個倒置的“楊輝三角形”。
       就當是做游戲吧。一個“壘寶塔” 游戲。
       4   研考典型大題      
       考研數學有時在這個考點上出大題，基本模式為
       “ 已知 …… ，證明區間內至少有一點 ξ ，使得一個含有導數的等式成立 。”
       例 48    設 f（x）在 [0，1] 上連續，在（0，1）內可導，且 f（1）= 0，試證（0，1）內至少有一點 ξ ，使得       f（ξ）+ ξf ′(ξ) =  0
             分析（綜合法） ξ只是一個特殊點。ξ就是方程   f（x）+ xf ′(x) =  0   的根。
        方程的根轉化為函數  g（x）= f（x）+ x f ′(x)  的零點討論。
      （潛臺詞：我們有“介值定理”， “洛爾定理”兩件兵器哦。）
        由于關系式中有含導數的項，可以猜想，ξ  應當是我們對某個函數運用洛爾定理后，得到的導函數的零點。即 g（x）是某個函數F（x）的導函數 ？！
        再仔細觀察 g（x）的結構，它多象是一個乘積函數求導公式啊。 （畫外音：求導不熟練，肯定反應慢。）  
        實際上它的確是積函數  F（x）= x f（x）的導函數，且恰好端值相等。
        證明時只需從“作輔助函數F（x）= x f（x），…… ”說起。
        啊，典型的歐氏方法，困難的逆向思維。

考研數學指導（12）中值公式不為算
        數學公式基本上可以分為兩類，一類用于計算。一類用于描述。      
        中值定理的公式（有限增量公式）就是描述型的數學公式。非數學專業的本科學生感到數學難學，一個基本原因在于觀念。以為數學公式都是計算公式，遇上了描述型的公式，他們毫無思想準備。
        描述型的數學公式意義深遠。從根本上說，數學科學企圖描述世界的任何過程。
        描述型的數學公式并不難學。什么條件下可以用什么樣的公式描述，你記住公式，完整地寫出來不就行了。
        微局部地研究函數，焦點在于討論增量。我說微分是個新起點，指的就是，若函數f（x）在點x0可微，則函數實際上就有了一個（微局部的）新的表達式：
              f（x）= f (x0) + f ′(x0)(x－x0) +ο(Δx)（ 尾項，比Δx高階的無窮?。?br />         歷史上，這個表達式稱為，“帶皮阿諾余項的一階泰勒公式”。
        之所以是“微局部”的描述公式，是因為只有在x0的充分小的鄰域內，“高階無窮小”的描述才有實際意義。
       不要認為這有多抽象。這是線性化思維的一個自然結果，一個客觀事實。知道其存在，能對幾個簡單的基本初等函數按過程寫出來，就算掌握了。
       比如，在原點鄰近，可以有，sinx = x +ο(x)，（請對比sinx ～ x）。由此近一步有
           x － sinx = x －（x +ο（x））=ο（x） （潛臺詞：表達式嘛，那就可以代進去。）
       這就是描述型的思路。它告訴我們，x趨于0時，x － sinx是比x高階的無窮小。
       在求極限時，我們只可以對（分子或分母）的“無窮小因式”作等價無窮小替換。但是，只要對運算有利，我們就可以把函數的（帶高階無窮小尾項）表達式代到任何一個位置去。      
       在運用函數的導數來研究函數的過程中，這個思路沿著兩個方向延拓。
      （1）對尾項的描述能否更具體？
（      2）能否提高描述的精度？即能否把函數寫成
                f（x）= 以x0為中心的n次多項式 + 尾項（比(Δx的n次方)高階的無窮?。?br />       《高等數學》在方向（1）上，講了“拉格郎日公式”； 在方向（2）上則講帶有“拉格郎日型尾項的泰勒公式”。（后者只征對考數學一，二的考生）。
        拉格郎日公式  若 函數在閉區間 [a，b] 上連續，在（a，b）內可導，則（a，b）內至少有一點 ξ ，使得             f (b)－f (a) = f ′(ξ)（b－a）
        教科書上是增量商的形式，我更喜歡用乘積形式。
        定理說的是區間，應用時不能太死板。在滿足條件的區間內取任意兩點，實際上也組成一個（子）區間。比如，在區間內任意選定一點x0，對于區間內任意一點x，（潛臺詞：任給一點，相對不變。）也可以有
               f（x）－f（x0）= f ′(ξ)（x－x0） ，ξ 在x與x0之間，
即             f（x）= f（x0）+ f ′(ξ)（x－x0） ，ξ 在x與x0之間，
         （畫外音：一個x相應有一個ξ，理論上構成一個函數關系。）
         這樣一來，中值定理也給了函數一個新的表達式。帶 ξ 的項是尾項。（拉格朗日尾項）。
         思考題目時，只要看到有導數條件及函數增量式，你就可以考慮先用拉格朗日公式轉換描述方式，邁出第一步。再考慮如何利用導數條件及 ξ 所屬范圍處理尾項。
         例51  已知 f（x）在[0，1]可導，且導函數單增，試將f′(0)，f′(1),f (1)－f（0）三個數按大小排序。
         分析  導函數單增，都是導函數值才能比較大小。f（1）－f（0）是增量式，先用拉格朗日公式得，
                   f（1）－f（0）= f ′(ξ) ，0＜ξ＜1 ，寫出這一步來就啥都明白了。
         不要怕ξ，它是區間內客觀存在的一點。它的范圍有時（如上例）也能導出信息。
         例52          已知f（x）在某區間可導且導函數有界，試證明 f（x）恒滿足  ∣Δy∣≤ C∣Δx∣
          分析  不知道已知區間是開區間還是閉區間，反正已知有∣f ′(x)∣≤ M（正常數）
在區間內任取兩點,視為常數,運用拉格朗日公式
                  f（x1）－f（x2）= f ′(ξ) (x1－x2 ) ，x1 ＜ξ＜ x 2
               等式兩端取絕對值，導函數有界的條件管住了ξ，取C = M ，本題結論成立
        多寫才能熟悉。最好的基本練習是，把上例中的函數具體取為正弦，余弦，指數函數，反正切等，自己設定區間，求出M值，重復寫出證明過程。
        例53  已知當 x 趨于+∞時，lim f′(x) = e ，求 lim （f（x+1）－f（x））
        分析  對任意給定的x ,所求極限的變量式，恰是函數 f（t）在點 x 與 x + 1 的增量式。先用拉格郎日公式改變其描述方式。
      （畫外音：分層次思維，走一步，寫一步，再觀察。）
                 f（x+1）－f（x）= f ′(ξ) ，x ＜ξ＜ x +1      ，實際上 ξ= ξ（x）
        顯然，當 x 趨于+∞時，必有 ξ 趨于+∞；故， 原極限 = lim f ′(ξ) = e         最后的答案來自唯一性定理。
（      潛臺詞：無論ξ（x）以怎樣的方式趨向無窮，唯一性定理都管住了它。）
       例54         試證明 x ＞ 0 時，ln（1 + x）＜ x
              分析   ln（1+x）= ln（1 + x）－ ln1 = x/ξ ＜ x  ，1＜ξ＜ x+1
               實際計算步驟為，取函數  y（t）=  ln（t），則 y′(t)= 1 / t    進而 y′(ξ) = 1 /ξ  , 得到結論只用了 ξ＞1
            “添零項獲得增量”。創造條件運用拉格郎日公式。考研中心認為，你一定會這個小技術。

考研數學指導（13）圖形特征看單調      
        用導數討論函數,中值定理是座座橋梁。拉格郎日公式有兩個推論。使它更好地發揮橋梁作用。
        1．拉格郎日公式的兩個推論        
        推論（1） 可導函數恒為常數的充分必要條件是其導函數恒為零。
        推論（2） 設函數 f(x) 在區間（a，b）內可導，且導函數 f ′(x)＞ 0 ，則f(x)在此區間上單增。
        推論(1)是一個很好的“相對比較”練習題。即任選一點x0 ，視為不變。再任給一點x ，比較兩個函數值的差。我們就可以應用拉格郎日公式，并聯系已知條件得到結論。
        由推論（1）得到“證明兩個可導函數恒等”的程序：
        “在某區間上證明可導函數 f(x) ≡ g(x) ”—→ 作F（x）= f(x)－ g(x)，F（x）可導
        —→ 驗證  fˊ(x)－ gˊ(x) ≡ 0  ，證得   f(x)－ g(x) = 常數
        —→ 選一個特殊點，計算驗證這個常數就是0

             為什么推論(2)中，“導函數f ′(x)＞ 0”不是可導函數單增的充分必要條件呢？這是因為單增的函數也可能在若干個孤立點上導數為0 。比如，立方函數單增，而它的導數在原點為0 。
       （潛臺詞：要注意函數單增的定義啊，自變量變大，相應的函數值一定也變大。）
       例57   設函數f(x)在實軸上單增，可導，則 （A）在實軸上恒有 fˊ(x)＞0       （B）對任意x ，fˊ(－x)≤0
                     （C） 函數f(－x)在實軸上單增。     （D）函數－f(－x)在實軸上單增。
        分析  由已知信息只能推得 fˊ(x)≥0，（A）錯。
               fˊ(－x)是個復合函數。其結構是y = fˊ(u)，u = －x，故 fˊ(－x) ≥0；（B）錯。
               f(－x) 的導數為  －fˊ(－x)，由此知（C）錯。應選（D）。

        2. “逐階說單調”         
              單調性是函數最重要的圖形特征。如果一個連續函數分段單調，那么，單調性改變的分界點，就是函數的極值點。這就自然而然地產生了極值點的“第一判別法”。
        一個很好玩的游戲是“逐階說單調”。
       例58   設函數f在點x0鄰近三階連續可導，且在點x0，其一，二階導數都為0，而三階導數不為0，你能由此得到什么樣的信息？
        分析 （1）不仿設 f "′（x0）＞0，三階導數連續，在點x0鄰近三階導數全大于零。
        （潛臺詞：體驗極限，近朱者赤。連續函數一點大于0則一段大于0）
       （2）三階導數大于零，則二階導數單增。
        又因為f "（x0）= 0 ，故當x由左側趨近點x0時，f "（x）由負單增到0，從x0點再向右，f "（x）單增為正。
        x0 兩側二階導數反號，圖形上點（x0，f (x0)）是拐點。      
        (3）在x0點左側，一階導數單減，且由正單減到0；在x0點右側，一階導數單增，且由0單增為正。f ′(x0) = 0是一階導數的極小值。一個孤立的零點。
       （4）函數f在點x0鄰近單增。         （畫外音：其導數有一個孤立的零點。）
        逐階說單調，這是基本功?？梢运闶且粋€基本推理集成塊。它同時展示了討論連續函數符號的基本方法。
        如果設 f 在點x0鄰近四階連續可導，且在點x0，其一，二，三階導數都為0，而四階導數不為0，則練習逐階說單調后，你會發現，x0一定是極值點。

       例59    已知正函數f與g都在[a，b] 上可導，且f ′(x) g (x)－f (x)g ′(x)＜0 ，則對區間內任意一點x，有
           （A）f (x) g (b)＞ f (b) g (x)          （B） f (x) g (a) ＞f (a)g (x)
                     （C）f (x) g (x)＞ f (b) g (b)          （D）f (x) g (x)＞ f (a) g (a)
             分析  已知關系式的左端象是“商函數”求導公式的分子。分母可配g (x)的平方，表明f (x)/ g (x)單減。也可以配f (x)的平方，表明g (x)/ f (x)單增。
       （A）即是f (x)/ g (x) ＞ f (b)/ g (b )，只要商函數f (x)/ g (x)單減，它就顯然是對的。應該選（A）。
        例60    設函數f在閉區間 [a，b] 上連續，在（a，b）內可導，且端值都為零，但在（a，b）內至少一點c處為正。試證明（a，b）內至少有一點ξ，使得f "（ξ）＜ 0
             分析  沒有相關的高階導數信息。試用反證法。設（a，b）內恒有f "（x）≥ 0，則一階導數“不減”。
      （潛臺詞：不知道f "（x）是否只在某些孤立點上為0，就不能說f ′(x)單增。）
       對函數f用洛爾定理得知（a，b）內至少有一點η，使得   f ′(η) = 0
              f ′(x) “不減”，在（a，η）內必有 f ′(x)≤ 0，f “不增”，而起點處f (a)= 0，只有f (x)≤ 0；
        f ′(x) “不減”，在（η，b）內必有f′(x) ≥ 0，f 也“不減”，但已知f (b) = 0，函數還是只能非正。
這和已知f (c)＞0矛盾。本題結論成立。
     （畫外音：構造法的敘訴方式。類似于做了一次“逐階說單調”游戲。）
       方法二  也可以先順次在區間（a，c）及（c，b）上分別用拉格郎日公式，得到兩個客觀存在的點。已知f (c)是正數，老老實實地寫出兩個式子，應該能確定這兩點處一階導數值各自的符號。試試在這兩點組成的區間上再對一階導函數用拉格郎日公式
      *例 61     設f (0) = 0 ，f ′(x)在（0，+∞）上單增，試證明函數g (x)= f (x)/x也在區間（0，+∞）上單增。
       分析  證單調，先求導。 g ′(x) =（x f ′(x)－f (x)）∕x平方
            分母恒正。但是無法判定分子的符號。沒有二階導數信息，不能再說單調討論分子符號（ “二次討論”）。
        已知f ′(x) 單增，兩個導數值可望比較大小。又已知f的一個零點與一階導數信息?？紤]用中值定理改變f的描述方式。即             f(x) = f ′(ξ)x ，0＜ξ＜ x ，（潛臺詞：一個x相應有一個ξ，ξ= ξ（x））
代入分子后，     有 （x f ′(x)－f (x)）= x（f ′(x)－f ′(ξ) ）＞ 0
            ξ 的范圍與導數單增的條件就管住了ξ 。你也可以說是用了“添零項獲得增量”技術。
       描述性的公式，在應用中加深理解。就學了那么一點點。練他個滾瓜爛熟，遇到問題時，一看條件，你就能想到它。

考研數學指導（14）單調法是重頭戲
       有了初始點x0的信息，又知道函數的單調性，就能判定函數的符號。
            “若函數f (x)單增且f (x0) ≥ 0 ，則x ＞x0  時 f (x)＞0”
             其實在（13）段中“逐階說單調”，已經說了好多花樣。這里還可以拓展的是：
      （1）若函數單增但只在x＞x0 時有定義，只要f (x0+0) ≥ 0，則f (x)＞0
           （畫外音：這種情形下,數f (x0+0)稱為函數的“下確界”。即最大的下界。）
       （2）若函數f (x)單減且當x趨于 +∞ 時為無窮小，則f (x)＞ 0
             這個符號邏輯非常簡明。因而盡管本科教材上寫得較少，考研數學卻經常在這個點上出大題。我把這個典型題型稱之為“用單調法證明簡單的函數不等式?！?br />         要證明 x＞x0 時，f (x) ＞ g (x)，轉化為證明 F = f (x)－g (x) ＞0 ，到底行不行，先看有沒有“初始信息”，再對F求導。看導數正負說單調，兩者結合定符號。

       例64     試證在（0，π/2）內 ，sin x ＞ 2x/π
              分析  作 F = sinx －2x/π，F在 [0，π/2] 連續。要證，F在（0，π/2）內恒正。
        顯然，Fˊ= cos x－2/π，導函數在（0，π/2）內 有一個零點η；要分兩段“說單調判符號”。
        在前段（0，η]，Fˊ≥ 0 ，等號只在η成立。F單增，初值F(0)=0 ，故F（x）＞0
              在后段（η，π/ 2 ） ，Fˊ＜ 0 ，F單減 ，終值F(π/2) = 0 ，同樣有F（x）＞0
               方法二  在有駐點情形，要證明函數非負，還可以考慮證明其最小值非負。
        本題中，在（0，π/2）內 ，駐點唯一，F" =－sinx ＜0，這是唯一的極大點。
         唯一的極大就是最大。最小值一定落在區間端點處。而F（0）= F（π/2）= 0

             分析三（反證法） 已有F（0）= F（π/2）= 0；如果F在（0，π/2）內不定號，就必定還會有零點。這就能作“壘寶塔”游戲，證得二階導數F"在（0，π/2）內有零點。實際計算知矛盾。故F定號。再計算F（π/6），即知F恒正。
       方法四  作F = sinx/x －2/π ,
            這有兩點新意。首先，函數F在原點無定義，但右極限為1 。
       其次，F的導函數，就是前項商函數的導數，分母為 xconx－sinx ，難以判定符號。那就從頭再來。
       設G = xconx－sinx ，G（0）= 0 ；再求導，Gˊ=－sinx   在（0，π/2）內Gˊ＜0，G（x）單減，G（x）＜0
           （潛臺詞：沒啥了不起，“說單調討論符號”是我們的拿手戲。）
        我給這種情形取名為“二次討論”。
        我讀本科時，同學們在宿舍里比賽。造一道不等式證明題，看誰的逐階說單調的階數高。記得優勝者出的題目需要“五次討論”。
      （畫外音：哇噻，你們學數學的就這樣玩？！）

       例65        設 函數f(x)在實軸上二階可導，且 f "（x）＞0    ；又已知x趨于0時，lim  f (x)/ x = 1 ，
試證明  f (x)≥ x
           分析 （1）f "（x）＞0，則一階導數單增。
      （2）分值有限，在大題中，可以直接說：“從已知極限得f (0) = 0，f ′(0)=1”。預先背熟基本推理的好處就在這理。
      （3）已知極限還暗示，原點是個特殊點。仔細再看，要證的“等號”就在原點成立。本題如果用單調法，得選原點為初始點分段討論。
       比如，在（－∞，0），作F = f (x) － x ，Fˊ= f ′(x) － 1 ，F" = f "（x）＞0一階導數單增而 Fˊ(0) = 0，在（－∞，0）內Fˊ(x)恒負；
       函數F(x)單減而F(0) = 0  ，在（－∞，0）內F(x)恒正。
      （4）用最值法——實際上，作F = f (x) －x后 ，晃一眼導數，就會敏感地想到極值點。一階導數為零，二階導數為正的點，必是函數的極小點。唯一的極小點一定是最小點。函數的最小值為零，函數非負。
       (5) 用泰勒中值定理—— 由（2）出發，可以考慮選0為中心點，先用泰勒中值定理給函數一個表達式
                      f (x)  = x +（1/2）f "（ξ）x平方，ξ 在0與x之間
這就是說，對任意一點x≠0，總有 f (x)  = x + 正數（尾項），自然有f (x)≥x
           試探就是研究。中值定理只能給出一個描述方式。能否解決問題，寫出來再觀察。

       例66    設 b＞a＞e ，證明，a的b次方 ＞ b的a次方
       分析  盡管我們習慣于用x表示（自）變量，為了完成證明，不仿把不等式看成是“冪指型”的，即底數，指數都是變量。處里“冪指型”問題，通常先看能否取對數。對數函數是增函數，本題即證 blna ＞ alnb ，再單把a看成自變量，作F（a）= blna－ alnb，顯然F（b）= 0，就可以在（b，e）上使用單調法了。
     （畫外音：要是不習慣，就先把a換成x嘛。）
       例67       試證明 x > 0 時 ， （x平方－1）lnx ≥（x－1）平方
       分析  本題有潛在的分界點x = 1，且x = 1時所證關系式中的等號成立。問題歸結為
       證明  0 < x < 1時 ，（x+1）lnx ＜（x－1）而  x > 1時 ，（x+1）lnx ＞（x－1）
       為了求導及討論導數符號方便，我們證明
               0 < x < 1時， lnx ＜（x－1）∕（x+1） ； x > 1時 ，lnx ＞（x－1）∕（x+1）
       作 F = lnx －(x－1)∕(x+1)，F(1) = 0，  （潛臺詞：F（0+）不存在。）
       易算得x > 0時 ，Fˊ(x)＞0，分段說單調討論符號就能完成本題證明。
       方法完全程序化了，具體問題還得注意具體特點。

[ 本帖最后由 戰地黃花 于 2010-3-28 18:18 編輯 ]

-huyu-

說一個小問題 例44
           記 F(h)= a f（h）+ b f（2h）-f（0），F連續。于是（用“基本推理”）由極限式與連續性推出   
          F(0)= lim F(h)=（a + b + 1）f（0）= 0 ，只有   a + b + 1 = 0
     我怎么覺得 應該是a+b-1=0啊

hongtaiyang

戰地黃花

現在才看到提問，這是算微分。函數的微分與增量是等價無窮小。

ui123256

戰地老師的講座太精彩！

sdc2010

這里是什么意思？

戰地黃花

對。運用“單調法”證明不等式，需要有初始條件配合。如果左端是開的，可以用左端點的右極限。不存在，只好看終端。

sdc2010

你們都太專業術語了，也就是說判斷左右任意一個端點處的值即可，針對這個題，左邊不存在，所以用右端點的值比較對吧？

戰地黃花

判斷時往往先左后右。這說明只好在右端點1去看有無配合條件。

sdc2010

麻煩解釋一下這個地方

[ 本帖最后由 sdc2010 于 2010-10-6 15:35 編輯 ]