考研數(shù)學 | 常考題型及重點(7)：二次型、隨機事件和概率...

華工引路人

題型分析

華工考研院聯(lián)合華工學長學姐針對考研數(shù)學開設考點分析主題。本文著重講解考研數(shù)學《線性代數(shù)》和《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的重點，考研鵝可自行查缺補漏。

第六章、二次型

思考與點撥

二次型的試題，相對而言，出現(xiàn)的頻率較低，一般來說，線性代數(shù)的兩個大題中，般有個出自矩陣的特征值、特征向量或二次型這兩章之中。

二次型的中心問題有兩個：

1.化二次型為標準形規(guī)X形問題，大綱要求會用配方法和正交變換法化二次型為標準形、(正交變換只能化標準形)規(guī)X形(初等變換法不要求)，用矩陣的語言，實對稱陣A合同于對角陣Λ，即求可逆陣C，使得CTAC=Λ，或求正交陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ的問題。

2.二次型(及對應矩陣A)的正定性的判別與證明的問題。

注意：

(1)在線性代數(shù)中研究二次型，首先要求將二次型表示成矩陣形式，即f(x1，x2，…xn)=XTAX，其中An×nT=A，X=[x1，x2，…xn]T，這樣A和f一一對應，r(A)=r(f)，A正定即f正定(見題3.4)。

(2)用正交變換只能化二次型為標準形，且其標準形的系數(shù)就是A的特征值(見題1.1，3.1).而正交變換矩陣由A的單位正交特征向量組成，即Q=[ξ10，ξ20，…ξn0]，其中

(3)對具體的數(shù)值二次型或實對稱陣(或含有參數(shù))，其正定性一般用順序主子式大于零判別，當然也可化成標準形，f或A正定?正慣性指數(shù)=n(未知量的個數(shù))，若f(x1，x2，…xn)已是正的平方和，則f(x1，x2，…xn)≥O，只需證明f=O?X=0，則X≠0，有f>0.即正定，二次型正定性的證明般用定理(正定的充分必要條件)，最后的辦法是用定義。

(4)兩個二次型(或實對稱陣)合同?有相同的正、負慣性指數(shù)?相同的正慣性指數(shù)和秩。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計

第一章、隨機事件和概率

思考與點撥

本章的重點在事件的關系和運算，概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯公式、事件的獨立性等。

近幾年單獨出本章的考題較少，但大多作為基本知識點出現(xiàn)在以后各章的考題中。

大多數(shù)考生對本章中的古典型概率感到困難．對古典型概率和幾何型概率只要會計算一般難度的題型就可以，不必刻意去做各種較復雜的題型．因為古典型概率和幾何型概率畢竟不是重點，應該將本章重點中有關的基本概念、基本理論和基本方法理解徹底和熟練掌握。

第二章、隨機變量及其分布

思考與點撥

本章的重點是隨機變量及其分布函數(shù)的概念和性質，分布律和概率密度，隨機變量的函數(shù)的分布，一些常見的分布：0-1分布、二項分布、超幾何分布、泊松分布、均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等。

單獨出本章考題的不多，近幾年大多把本章的知識點結合多維隨機變量及其分布的內容一起考查。

一些常見的分布從定義到有關特征必須背熟。這會給解題過程帶來很大方便．對于分布函數(shù)，分布律和概率密度的定義及它們成立的充分必要條件必須掌握。至于求隨機變量的函數(shù)的分布，只要記住步驟而不必去背一般公式。