考研數學 | 常考題型及重點(4)：常微分方程、行列式

華工引路人

題型分析

華工考研院聯合華工學長學姐針對考研數學開設考點分析主題。本文著重講解考研數學的重點，考研鵝可自行查缺補漏。  

第八章、常微分方程

思考與點撥

微分方程問題是積分問題的延伸，有著極為廣泛的應用，是歷年考研必考內容.在高等數學部分，微分方程在數學一中平均每年所占分數約為15％.

本章的考試類型及知識點大致有：

1.12種典型類型求解以及自由項為特殊情形時的線性非齊次方程特解y＊的設定：

(1)一階5種類型求解(2005  (2)題，2006一(2)題，2008二(9)題，1992一(4)題，1993二(4)題，1993三(3)題，1994五題均考過)；

(2)二階可降階3種類型求解(2000一(3)題，2002一(3)題)；(3)二階及高階常系數線性齊次方程與非齊次方程3種類型求解(1999 —(3)題，2007二(13)題，2008一(3)題，2009二(10)題)；

(4)歐拉方程求解(2004一(4)題)；

(5)y＊的設定(數學(二)考過).

2.線性非齊次微分方程與對應的線性齊次微分方程的解的關系：

(1)已知非齊次方程的解求對應的齊次方程的(通)解(未考過)；

(2)已知非齊次方程足夠多的解求該非齊次方程的通解(1989二(3)題考過，2006數學(三)、(四)考過.

3.已知(通)解求微分方程：

(1)未說明方程是什么形式，已知通解求微分方程(未考過)；

(2)已知二階(或一階或更高階)線性方程的通解(或若干個線性無關的特解)求該方程(2001  (1)題，2009二(10)題).

4.自由項為絕對值函數或有間斷點的函數的線性微分方程求解：

(1)自由項為絕對值函數的情形(未考過)；

(2)自由項為有跳躍間斷點的函數的情形(數學(三)1999六題考過).

5.經變量變換解微分方程：

(1)經反函數變量變換(2003七題)；

(2)給出已知的變量變換(數學(二)考過多次).

6.將積分方程或偏微分方程化成微分方程求解：

(1)積分方程化為微分方程求解(1991二(2)考過)；

(2)偏微分方程化為微分方程求解(1997四(2)題，2006三(18)題).

7.微分方程的應用

(1)幾何方面(1999五題，1995五題考過，1996六題考過)；

(2)物理方面(1998五題，2004三(16)題)；

(3)變化率方面(1997三(3)題，2001八題)。

由上可見，本章常考的是“1”與“7”.有許多類型未命過題或很少命題，命題空間很大，例如1(5)，4，以及6可以與其他章節結合來命題，值得重視。

線性代數

第一章、行列式

思考與點撥

行列式在整個試卷中所占比重不是很大，一般以填空題，選擇題為主，但它是必考內容當然，不只是考查行列式的概念、性質、運算，還會涉及到其他各章、節的內容，例如矩陣的可逆、矩陣的秩、向量的線性相關性、線性方程組、矩陣的特征值、正定二次型等等，如果試卷中沒有獨立的行列式的試題，那必然會在其他章節的試題中得到體現。

一般有關行列式的試題有兩大類：計算題和判斷題

   

1.行列式的計算題.例如：

計算行列式

計算行列式的值

這類屬于數字型的直接計算題，一般利用性質，消零展開或消零化成上(下)三角形行列式即可解決。

多數行列式的試題，屬于與后續章節有關的、抽象型的行列式的計算題，如1.1題，1.2題這類題增加了考核的知識點，有一定的綜合性.要求考生充分利用題設條件，通過知識的內在聯系，化簡、運算，最后得出所求行列式的值。

(2)行列式的判別題，主要是判別行列式是否為零.例2.1題，因為行列式是否為零對矩陣是否可逆、是否滿秩，對方程組An×n X=O是否有非零解，An×n X=b是否有唯一解，對A中的列(行)向量組是否線性相關等都起到了“分水嶺”的作用，會引起矩陣重要性質的變化。

︳An×n  ︳是否為零，除直接計算出︳A ︳=O(或≠0)，或計算出︳A ︳=k︳A ︳，其中k≠1，︳An×n  ︳=0(≠0)?An×n不可逆(可逆)

?r(A)<n< span="">，不滿秩(=n，滿秩)

?An×n X=O有非零解(只有零解)

?An×n X=b有唯一解(解不唯一；可能無解；若有解，則為無窮解)

?An×n 的n個行(列)線性相關(線性無關)

注意這些都是充分必要條件，可以相互判別。