加油加油加油

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令
$$J=\begin{pmatrix}0&E_{n-1}\\ 1&0\end{pmatrix},\ \text{則有}\ J^k=\begin{pmatrix}O&E_{n-k}\\ E_k&O\end{pmatrix},\ k=1,2,\cdots, n-1, J^n=E.$$
則任意$n$階循環(huán)矩陣$A$可以表示為$A=a_0E_n+a_1J+a_2J^2+\cdots+a_{n-1}J^{n-1}=f(J)$ 的形式, 其中$f(x)=a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_1x+a_0$.

設(shè)$A, B$是任意兩個(gè)循環(huán)矩陣, 則存在次數(shù)不超過(guò)$n-1$的多項(xiàng)式$g(x), h(x)$使得$A=g(J), B=h(J)$. 因?yàn)?J$的特征多項(xiàng)式是$f(x)=x^n-1$, 從而$J^n-E=O$. 于是由帶余除法可得$g(x)h(x)=(x^n-1)q(x)+r(x)$, 這里$r(x)$等于0或者是次數(shù)小于$n$的多項(xiàng)式. 因此
$AB=g(J)h(J)=(J^n-E)q(J)+r(J)=r(J)$是一個(gè)循環(huán)矩陣.

先把矩陣分解，再乘，具體見(jiàn)丘維聲學(xué)習(xí)指導(dǎo)書

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硬乘試一下

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