電動蝸牛 發表于 2012-10-18 08:58
F（0）=0.不在端點的最大值為極大值，那如果函數為常函數這句話就不成立了啊！或者在某段區間函數是平的 ...

以前我對費馬定理有很大的誤會，直到某次做題才發現了這個誤會。費馬定理對可導點的要求（以≤為例）僅僅是在x=x0的去心鄰域內f(x)≤f(x0)，并不是嚴格要求去心鄰域內f(x)<f(x0)，所以可以不是極值點。

[quote]Attractor_Field 發表于 2012-10-4 19:01
是有那么一丁點難度，不

是有那么一丁點難度，不過作為150的阻礙還算不上
分別在(0,2)和(-2,0)使用拉格朗日中值定理：得到f'(ξ1)=[f(2)-f(0)]/2，f'(ξ2)=[f(0)-f(-2)]/2，其中0<ξ1<2，-2<ξ2<0
|f'(ξ1)|≤(|f(2)|+|f(0)|)/2≤1，同理|f'(ξ2)|≤1

設F(x)=[f(x)]^2+[f'(x)]^2，顯然F(0)=4，F(ξ1)≤2，F(ξ2)≤2
F(x)在閉區間[ξ1,ξ2]連續，所以必有最大值，設最大值為M，因為ξ1<0<ξ2，所以M≥4。又因為f(ξ1)<4且f(ξ2)<4，所以F(x)在[ξ1,ξ2]的最大值不可能在ξ1或ξ2取得。
設f(ξ)=M，F'(x)=2f'(x)[f(x)+f''(x)]，顯然F(x)在x=ξ  可導，而不在端點的最大值就是極大值，根據費馬引理有F'(ξ)=0即2f'(ξ)[f(ξ)+f''(ξ)]=0
假設f'(ξ)=0，則|f(ξ)|>2，與題設矛盾。所以一定有f(ξ)+f''(ξ)=0

具體答案在哪呢？？？？？

原來是二次導、、、囧，圖看不清楚，害我做了半天、、、

已搞定，見短消息。

請參考下楊超老師的微博，他講過這個題，用費馬引理。