考研數(shù)學(xué) | 常考題型及重點(diǎn)(4)：常微分方程、行列式

華工引路人

題型分析

華工考研院聯(lián)合華工學(xué)長(zhǎng)學(xué)姐針對(duì)考研數(shù)學(xué)開設(shè)考點(diǎn)分析主題。本文著重講解考研數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，考研鵝可自行查缺補(bǔ)漏。  

第八章、常微分方程

思考與點(diǎn)撥

微分方程問題是積分問題的延伸，有著極為廣泛的應(yīng)用，是歷年考研必考內(nèi)容.在高等數(shù)學(xué)部分，微分方程在數(shù)學(xué)一中平均每年所占分?jǐn)?shù)約為15％.

本章的考試類型及知識(shí)點(diǎn)大致有：

1.12種典型類型求解以及自由項(xiàng)為特殊情形時(shí)的線性非齊次方程特解y＊的設(shè)定：

(1)一階5種類型求解(2005  (2)題，2006一(2)題，2008二(9)題，1992一(4)題，1993二(4)題，1993三(3)題，1994五題均考過)；

(2)二階可降階3種類型求解(2000一(3)題，2002一(3)題)；(3)二階及高階常系數(shù)線性齊次方程與非齊次方程3種類型求解(1999 —(3)題，2007二(13)題，2008一(3)題，2009二(10)題)；

(4)歐拉方程求解(2004一(4)題)；

(5)y＊的設(shè)定(數(shù)學(xué)(二)考過).

2.線性非齊次微分方程與對(duì)應(yīng)的線性齊次微分方程的解的關(guān)系：

(1)已知非齊次方程的解求對(duì)應(yīng)的齊次方程的(通)解(未考過)；

(2)已知非齊次方程足夠多的解求該非齊次方程的通解(1989二(3)題考過，2006數(shù)學(xué)(三)、(四)考過.

3.已知(通)解求微分方程：

(1)未說明方程是什么形式，已知通解求微分方程(未考過)；

(2)已知二階(或一階或更高階)線性方程的通解(或若干個(gè)線性無關(guān)的特解)求該方程(2001  (1)題，2009二(10)題).

4.自由項(xiàng)為絕對(duì)值函數(shù)或有間斷點(diǎn)的函數(shù)的線性微分方程求解：

(1)自由項(xiàng)為絕對(duì)值函數(shù)的情形(未考過)；

(2)自由項(xiàng)為有跳躍間斷點(diǎn)的函數(shù)的情形(數(shù)學(xué)(三)1999六題考過).

5.經(jīng)變量變換解微分方程：

(1)經(jīng)反函數(shù)變量變換(2003七題)；

(2)給出已知的變量變換(數(shù)學(xué)(二)考過多次).

6.將積分方程或偏微分方程化成微分方程求解：

(1)積分方程化為微分方程求解(1991二(2)考過)；

(2)偏微分方程化為微分方程求解(1997四(2)題，2006三(18)題).

7.微分方程的應(yīng)用

(1)幾何方面(1999五題，1995五題考過，1996六題考過)；

(2)物理方面(1998五題，2004三(16)題)；

(3)變化率方面(1997三(3)題，2001八題)。

由上可見，本章常考的是“1”與“7”.有許多類型未命過題或很少命題，命題空間很大，例如1(5)，4，以及6可以與其他章節(jié)結(jié)合來命題，值得重視。

線性代數(shù)

第一章、行列式

思考與點(diǎn)撥

行列式在整個(gè)試卷中所占比重不是很大，一般以填空題，選擇題為主，但它是必考內(nèi)容當(dāng)然，不只是考查行列式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算，還會(huì)涉及到其他各章、節(jié)的內(nèi)容，例如矩陣的可逆、矩陣的秩、向量的線性相關(guān)性、線性方程組、矩陣的特征值、正定二次型等等，如果試卷中沒有獨(dú)立的行列式的試題，那必然會(huì)在其他章節(jié)的試題中得到體現(xiàn)。

一般有關(guān)行列式的試題有兩大類：計(jì)算題和判斷題

   

1.行列式的計(jì)算題.例如：

計(jì)算行列式

計(jì)算行列式的值

這類屬于數(shù)字型的直接計(jì)算題，一般利用性質(zhì)，消零展開或消零化成上(下)三角形行列式即可解決。

多數(shù)行列式的試題，屬于與后續(xù)章節(jié)有關(guān)的、抽象型的行列式的計(jì)算題，如1.1題，1.2題這類題增加了考核的知識(shí)點(diǎn)，有一定的綜合性.要求考生充分利用題設(shè)條件，通過知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，化簡(jiǎn)、運(yùn)算，最后得出所求行列式的值。

(2)行列式的判別題，主要是判別行列式是否為零.例2.1題，因?yàn)樾辛惺绞欠駷榱銓?duì)矩陣是否可逆、是否滿秩，對(duì)方程組An×n X=O是否有非零解，An×n X=b是否有唯一解，對(duì)A中的列(行)向量組是否線性相關(guān)等都起到了“分水嶺”的作用，會(huì)引起矩陣重要性質(zhì)的變化。

︳An×n  ︳是否為零，除直接計(jì)算出︳A ︳=O(或≠0)，或計(jì)算出︳A ︳=k︳A ︳，其中k≠1，︳An×n  ︳=0(≠0)?An×n不可逆(可逆)

?r(A)<n< span="">，不滿秩(=n，滿秩)

?An×n X=O有非零解(只有零解)

?An×n X=b有唯一解(解不唯一；可能無解；若有解，則為無窮解)

?An×n 的n個(gè)行(列)線性相關(guān)(線性無關(guān))

注意這些都是充分必要條件，可以相互判別。