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考研論壇

標題: 關于正定性的題 [打印本頁]

作者: 飛著跳啊跑 時間: 2015-8-31 16:39
標題: 關于正定性的題
題目如圖，求大神幫忙

i，j=1，2，...，n

作者: ENDBEN 時間: 2015-8-31 16:44
因為a的行列式不為零因此當x≠0時，ax≠0，所以對于x^Ta^Tax=(ax)^Tax＞0,所以b鎮定

作者: 小涂哥 時間: 2015-8-31 16:46
先討論是否為實對稱矩陣。在用正定的充要條件特征值大于0來證吧。

作者: 飛著跳啊跑 時間: 2015-8-31 17:32

小涂哥發表于 2015-8-31 16:46
先討論是否為實對稱矩陣。在用正定的充要條件特征值大于0來證吧。

答案是這個：“若s>n,不正定；若s=n或s<n，正定”
看不懂誒

作者: 飛著跳啊跑 時間: 2015-8-31 17:45

ENDBEN 發表于 2015-8-31 16:44
因為a的行列式不為零因此當x≠0時，ax≠0，所以對于x^Ta^Tax=(ax)^Tax＞0,所以b鎮定 ...

不知道為什么回復了好幾次都過不了審核。。所以能麻煩答主看一下4樓的回復么。。

作者: 飛著跳啊跑 時間: 2015-8-31 18:36
額。。沒人么。。求解

作者: 飛著跳啊跑 時間: 2015-8-31 23:01
沉的好快啊。。求大神啊。。

作者: 張輝李雪 時間: 2015-8-31 23:11

飛著跳啊跑發表于 2015-8-31 23:01
沉的好快啊。。求大神啊。。

大于的時候是線性相關的

作者: ENDBEN 時間: 2015-8-31 23:18
樓上正解，S>N時S個N維向量向量必定線性相關，S<=N時必定線性無關

作者: 飛著跳啊跑 時間: 2015-9-1 10:29

ENDBEN 發表于 2015-8-31 23:18
樓上正解，S>N時S個N維向量向量必定線性相關，S

額。。請問為什么線性相關就不正定，線性無關就必正定呢？

作者: 飛著跳啊跑 時間: 2015-9-1 10:30

張輝李雪發表于 2015-8-31 23:11
大于的時候是線性相關的

謝謝

作者: ENDBEN 時間: 2015-9-1 11:01

飛著跳啊跑發表于 2015-9-1 10:29
額。。請問為什么線性相關就不正定，線性無關就必正定呢？

因為線性相關的話就存在非零向量使得ax=0，進而存在非零向量使得x^Ta^Tax=0，根據正定的定義所以b不正定，線性無關的話就看我上面那個回答。

作者: comhyy 時間: 2015-9-1 12:57

ENDBEN 發表于 2015-9-1 11:01
因為線性相關的話就存在非零向量使得ax=0，進而存在非零向量使得x^Ta^Tax=0，根據正定的定義所以b不正定 ...

方陣才有這個性質吧，這個只能說明列向量是線性相關。
B是 s*s方陣，s大于n的話秩必定小于n，因此B行列式為0，必定不正定

作者: comhyy 時間: 2015-9-1 13:00

comhyy 發表于 2015-9-1 12:57
方陣才有這個性質吧，這個只能說明列向量是線性相關。
B是 s*s方陣，s大于n的話秩必定小于n，因此B行列 ...

B=A*AT 的秩小于A的秩，所以B的秩小于n
當s大于n時，B的行列式為0，存在特征值0，不正定。

作者: comhyy 時間: 2015-9-1 13:16
A矩陣是 n*s矩陣，當s小于等于n的時候，秩等于s.
方程AX=0的基礎解個數 n-s大于0，因此必有非0解。同2樓，正定。

作者: ENDBEN 時間: 2015-9-1 13:18

comhyy 發表于 2015-9-1 12:57
方陣才有這個性質吧，這個只能說明列向量是線性相關。
B是 s*s方陣，s大于n的話秩必定小于n，因此B行列 ...

方不方陣都一樣，只要矩陣列向量線性相關，ax=0必有非零解。

作者: 飛著跳啊跑 時間: 2015-9-1 13:27

ENDBEN 發表于 2015-9-1 11:01
因為線性相關的話就存在非零向量使得ax=0，進而存在非零向量使得x^Ta^Tax=0，根據正定的定義所以b不正定 ...

懂了謝謝！

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