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考研論壇

標題: 【考研幫干貨】中值定理的應用及輔助函數的構造方法 [打印本頁]

作者: 考研論壇 時間: 2014-11-11 12:05
標題: 【考研幫干貨】中值定理的應用及輔助函數的構造方法

有關中值定理的證明問題是歷年出題的一個熱點，將中值定理和介值定理或積分中值定理結合命題是比較常見的命題形式。首先復習一下各大定理：

1、介值定理：設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且在該區間的端點取不同的函數值f(a)=A及f(b)=B，那么對于A與B之間的任意一個數C，在開區間(a,b)內至少有一點ξ使得f(ξ)=C(a < ξ < b).

Ps:c是介于A、B之間的，結論中的ξ取開區間。

介值定理的推論：設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,則f(x)在[a,b]上有最大值M，最小值m,若m≤C≤M,則必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C。

2、零點定理：設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,且f(a)與f(b)異號，即f(a).f(b) < 0,那么在開區間內至少存在一點ξ使得f(ξ)=0.

Ps:注意條件是閉區間連續，端點函數值異號，結論是開區間存在點使函數值為0.

3、羅爾定理：如果函數f(x)滿足：

（1）、在閉區間[a,b]上連續；

（2）、在開區間(a,b)內可導;

（3）、在區間端點處函數值相等，即f(a)=f(b).

那么在(a,b)內至少有一點ξ(a < ξ < b),使得f`(x)=0;

PS：在用羅爾定理時，關鍵是找出輔助函數，且結論成立前提為開區間內取值

4、拉格朗日中值定理：如果函數f(x)滿足：

（1）、在閉區間[a,b]上連續；

（2）、在開區間(a,b)內可導;

那么在(a,b)內至少有一點ξ(a < ξ < b),使得f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).

5、柯西中值定理：如果函數f(x)及g(x)滿足

（1）、在閉區間[a,b]上連續；

（2）、在開區間(a,b)內可導;

（3）、對任一x(a < x < b),g`(x)≠0,

那么在(a,b)內至少存在一點ξ,使[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f`(ξ)/g`(ξ)

Ps：拉格朗日中值定理、柯西中值定理結論都是開開區間內取值。

題設或證明結論中含有一般的a,b,f(a),f(b)時，經常可考慮直接用拉格朗日中值定理或利用柯西中值定理證明。

對于“存在兩個點”的問題，一般先用一次拉格朗日中值定理（或柯西中值定理），然后再用一次柯西中值定理（或拉格朗日中值定理）。

6、積分中值定理：若函數f(x)在[a,b]上連續，則至少存在一點ξ(a≤ξ≤b)使

Ps：該定理課本中給的結論是在閉區間上成立，如果想在開區間內使用，我們便構造該函數，運用拉格朗日中值定理來證明下使其在開區間內成立即可。千萬不可直接運用。

通過上面對各個定理的簡單介紹，可以看出“恰當構造輔助函數”成為靈活運用中值定理的關鍵。下面將介紹幾種常見的輔助函數構造方法：

   1、原函數法：先將ξ化為x，然后將式子恒等變形以便于積分，按照常微分方程求解后，所得式子F(x,f(x))=C,則F(x,f(x))即為所需的輔助函數。
   2、常數比值法：它適用于常數已分離的命題。
   3、觀察要證明的結論形式，如果與以下等式的右邊式子較為類似，則往往可以直接寫出輔助函數：

【本文核心內容由考研幫特邀約稿人劉妍老師供稿】
（注：本文為考研幫原創，轉載請注明出處，否則考研幫將追究相關法律責任。）

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作者: kuanian2011 時間: 2014-11-11 14:39
贊一個

作者: vivoluo 時間: 2014-11-11 22:27
好好啊好啊好啊好啊好啊好啊哈哈哈哈哈哈哈哈

作者: vivoluo 時間: 2014-11-11 22:28
贊一個贊一個贊一個贊一個贊一個贊一個

作者: 朱福霞 時間: 2014-11-11 22:41
謝謝你:-)

作者: bao2516090 時間: 2014-11-11 22:47
xiexie

作者: 辰星hz 時間: 2014-11-11 23:04
{:5_276:}

作者: Emma___ 時間: 2014-11-12 00:09
贊

作者: 多汁小籠包 時間: 2014-11-12 00:52
啊湯叔強化講了…

作者: 自然系 時間: 2014-11-12 00:59
積分中值定理老不會用，看到頭大了

作者: feng915912132 時間: 2014-11-12 05:55
^_^

作者: 別有根芽便是華 時間: 2014-11-12 06:30

作者: 就是愛你zl 時間: 2014-11-12 07:28
66666

作者: sweetysmile2015 時間: 2014-11-12 07:44
學習ing

作者: hysnlh123 時間: 2014-11-12 10:27
頂

作者: 我愛n先生 時間: 2014-11-12 12:22
：）

作者: ws山西老農 時間: 2014-11-12 13:37
好好學習謝謝樓主

作者: sunshine_檸檬 時間: 2014-11-12 14:02
好棒~贊一個

作者: 聽秋 時間: 2014-11-12 14:10
構造函數時應聯想到常微分方程

作者: feng915912132 時間: 2014-11-12 14:16
^_^

作者: q79543661 時間: 2014-11-12 14:17
Zan

作者: wantfun 時間: 2014-11-12 14:26
再加一個，用微分方程構造輔助函數的方法構造輔助函數

作者: 三歲三 時間: 2014-11-12 14:29
早會了

作者: 15225055163 時間: 2014-11-12 14:40
贊

作者: fengcl 時間: 2014-11-12 14:55
謝謝！！

作者: 飛奔的茄子 時間: 2014-11-12 15:06
文登法師的東西，抄過來就用，真是不管三七二十一啊！

作者: 一樣的煙火 時間: 2014-11-12 15:08
已收藏，回去看

作者: 魔鬼飛鷹 時間: 2014-11-12 15:08
贊一個，太棒了!

作者: 涼水泡茶 時間: 2014-11-12 15:11
馬克

作者: Q759041339 時間: 2014-11-12 15:18
屁用沒有。。

作者: 榮耀行刑官 時間: 2014-11-12 15:18
這道題的分我已經做好了丟的準備→_→

作者: 麥芽糖15 時間: 2014-11-12 15:22
好用

作者: jsnoww 時間: 2014-11-12 15:33
好

作者: 亮啊亮啊亮啊亮 時間: 2014-11-12 15:43
好

作者: longsssln 時間: 2014-11-12 16:28
怒贊！

作者: 馭波者 時間: 2014-11-12 16:30
這個總結的很好呀！！！！

作者: hui18297 時間: 2014-11-12 16:34
不錯

作者: 倔強的前行 時間: 2014-11-12 17:19
感動的哭了

作者: 鍶奕 時間: 2014-11-12 17:24
謝謝

作者: yzhengjin 時間: 2014-11-12 17:28
好

作者: 大帥哥10號 時間: 2014-11-12 17:38
頂頂頂頂

作者: 張shine 時間: 2014-11-12 17:55
謝謝樓主啊

作者: 奮斗sky 時間: 2014-11-12 17:58
好好

作者: 禹斖 時間: 2014-11-12 18:06
先大贊一個

作者: 百劍逍遙 時間: 2014-11-12 18:22
嘿嘿嘿，我們剛學完這幾個定理！

作者: CherishJu 時間: 2014-11-12 18:27
這個我看過了，確實不錯，講的不錯。。

作者: CherishJu 時間: 2014-11-12 18:27
開始不懂，看過了，題目差不多了。。

作者: yangtingfly 時間: 2014-11-12 18:29
贊一個

作者: SWUFESK 時間: 2014-11-12 18:54

聽秋發表于 2014-11-12 14:10
構造函數時應聯想到常微分方程

贊同

作者: HE1993 時間: 2014-11-12 19:32
贊

作者: 草莓和菠蘿 時間: 2014-11-12 19:38
mark

作者: 白月光的藍 時間: 2014-11-12 19:42
贊贊贊

作者: fzlfqx 時間: 2014-11-12 20:14
剛才直播沒看成！有沒有哪位同學能提供一下講義！謝謝你！

作者: 雙魚妖子 時間: 2014-11-12 20:16
大贊

作者: Sandman卓卓 時間: 2014-11-12 20:31
中值定理那塊兒湯家鳳講的好

作者: JHP151600 時間: 2014-11-12 20:38
湯加鳳早就講過啊

作者: 王瑩15加油 時間: 2014-11-12 20:47
好用，贊一個

作者: sd18353129984 時間: 2014-11-12 21:54

多汁小籠包發表于 2014-11-12 00:52
啊湯叔強化講了…

什么叫常數比值法

作者: 南音雨閣P 時間: 2014-11-12 23:11
謝謝，贊一個！

作者: 哀默丶 時間: 2014-11-12 23:16

多汁小籠包發表于 2014-11-12 00:52
啊湯叔強化講了…

湯老撕的中值沒得說，拿到真題piapiapia

作者: l默默 時間: 2014-11-12 23:51
how

作者: 單身快活 時間: 2014-11-13 00:02
贊一個

作者: 單身快活 時間: 2014-11-13 00:05

Sandman卓卓發表于 2014-11-12 20:31
中值定理那塊兒湯家鳳講的好

求湯家鳳的視屏呀

作者: 王小旭iav 時間: 2014-11-13 00:06
66666

作者: 單身快活 時間: 2014-11-13 00:10

Sandman卓卓發表于 2014-11-12 20:31
中值定理那塊兒湯家鳳講的好

973877422@qq.com，湯家鳳視屏

作者: LYNNWIL 時間: 2014-11-13 08:57
八錯

作者: 單身快活 時間: 2014-11-13 09:00

哀默丶發表于 2014-11-13 06:59
……硬盤里咋發啊。。。

你私密我吧，帳號密碼都可以告訴我啦

作者: 明月521 時間: 2014-11-13 10:11
樓主大贊！

作者: lllclo 時間: 2014-11-13 21:48
謝謝分享！

作者: 1012663249 時間: 2014-11-13 22:17
樓主好人

作者: 非你莫屬star 時間: 2014-11-13 22:57
贊~！

作者: twogood 時間: 2014-11-15 00:04
贊！！

作者: 澳洲龍蝦 時間: 2014-11-15 07:40
贊一個

作者: czl199194 時間: 2014-11-15 10:01
贊一個

作者: yyp98304 時間: 2014-11-15 11:12
鮮花

作者: dsaf14 時間: 2014-11-15 11:23
提示: 作者被禁止或刪除內容自動屏蔽

作者: 2357470983 時間: 2014-11-15 20:05
看看，謝謝了哦{:1_174:}

作者: 2357470983 時間: 2014-11-15 20:06
謝謝了哦！

作者: 我要穿短褲 時間: 2014-11-15 22:41
贊

作者: 鄭憶辰 時間: 2014-11-16 23:13
羅爾定理寫錯了

作者: 肥熊熊 時間: 2014-11-17 11:41
謝謝樓主

作者: fengziboboy 時間: 2014-11-19 09:46
贊一個

作者: 布羽 時間: 2014-11-19 12:43
這個好！多謝分享！

作者: 布羽 時間: 2014-11-19 12:44
這個好！多謝！

作者: fanhua123 時間: 2014-11-19 12:58
贊一個

作者: 不冒險小子1 時間: 2014-11-20 00:29
怒贊！

作者: n橡 時間: 2014-11-20 08:36
牛

作者: 喝罷 時間: 2014-11-20 19:40
好頂贊贊贊

作者: 匿名用戶 時間: 2014-11-24 16:40
{:1_178:}

作者: 夕楓ZZZ 時間: 2014-11-26 22:56
z a n

作者: 烈火鑄金剛 時間: 2014-11-29 09:08
謝謝樓主

作者: 我是可爺爺 時間: 2014-11-29 21:09
謝謝！！！！！！！！

作者: 葉泳 時間: 2014-12-5 15:29
中值定理

作者: 別敷衍 時間: 2014-12-12 14:02
贊一個

作者: 冰雪戀 時間: 2014-12-12 15:26
謝謝你:-)

作者: 思紅塵 時間: 2014-12-12 16:54
贊一個

作者: 心愁意亂 時間: 2014-12-16 17:00
謝謝你

作者: 禹斖 時間: 2014-12-19 14:28
古德

作者: jujujuni 時間: 2015-1-6 02:03
謝謝樓主

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