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考研論壇

標題: 請教一道題目，在線等。 [打印本頁]

作者: 紛繁的世界 時間: 2012-10-13 23:20
標題: 請教一道題目，在線等。
A為n階實對稱矩陣，且A的行列式<0，證明：存在n維列向量X,使得XT A X<0 其中T是轉置。

作者: 紛繁的世界 時間: 2012-10-13 23:36
木有人會嗎？？

作者: 無與示單 時間: 2012-10-13 23:38
不是很明顯么。。。這不是二次型里面的題么

作者: 紛繁的世界 時間: 2012-10-13 23:39

無與示單發表于 2012-10-13 23:38
不是很明顯么。。。這不是二次型里面的題么

是今天別人給的一道題目，能給個過程嗎？

作者: Cicida 時間: 2012-10-13 23:44
A為實對稱陣，則必能相似對角化，則PT AP=一個對角陣，設為Q，因為|A|<0，則Q主對角線元素必存在負數，設a1<0，令X=P(1,0,0,...,0)T，代入既得XT AX<0，可知，必存在n維列向量X，使得XT A X<0

作者: 無與示單 時間: 2012-10-13 23:46
用反證法，設后面的大于等于0,0的情況可以直接排除，因為那樣所有特征值為0與|A|<0不符，大于0的情況，表示是一個正定二次型，正定二次型必有所有特征值大于0于題設不符，所以必有x使小于0

作者: 無與示單 時間: 2012-10-13 23:52

Cicida 發表于 2012-10-13 23:44
A為實對稱陣，則必能相似對角化，則PT AP=一個對角陣，設為Q，因為|A|

這個是二次型、、、、親用的方法好奇怪、、、、怎么會扯到相似矩陣、、、

作者: Out_of_Infinity 時間: 2012-10-14 00:04
A是對稱矩陣，存在正交矩陣Q令Q'AQ=∧，不妨設∧對角線上第m個元素λ為負數。
令y'=(0,...0,1,0,...0)，其中y'第m個元素為1，其余元素為0，顯然y'∧y=λ<0
即(Qy)'A(Qy)<0，令x=Qy得證

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