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考研論壇

標(biāo)題: 我也問(wèn)道泰勒展開(kāi)的問(wèn)題 [打印本頁(yè)]

作者: 13不拼是2b 時(shí)間: 2012-10-6 17:53
標(biāo)題: 我也問(wèn)道泰勒展開(kāi)的問(wèn)題

全書(shū)上的一道題，根號(hào)下1+x乘以cosx展開(kāi)成三階麥克勞林，根號(hào)下1+x=1+ax^2+bx^3+o(x^3) cosx=1-cx^2+o(x^3) ，abc都是具體的數(shù)就不打了，我想問(wèn)的是相乘的時(shí)候4次冪 5次冪為什么都沒(méi)有了

另一道題f（x）=x-（a+be^x）sinx是x的5階無(wú)窮小確定ab的值，關(guān)于e^x和sinx展開(kāi)成幾階的問(wèn)題，，我自己試了一下，只要乘積有x的5次冪就行，e^x 和sinx沒(méi)有必要都展成5階的，所以這道題有很多展開(kāi)形式相應(yīng)的f（x）也有很多形式但都不影響ab的值

我想說(shuō)我的這種想法是否有道理望解答

作者: 5583777 時(shí)間: 2012-10-6 22:54
e^x和sinx都要展開(kāi)成5階再乘，才能保證“不漏項(xiàng)”，精度夠！

作者: 13不拼是2b 時(shí)間: 2012-10-6 23:01

5583777 發(fā)表于 2012-10-6 22:54
e^x和sinx都要展開(kāi)成5階再乘，才能保證“不漏項(xiàng)”，精度夠！

額題記錯(cuò)了不過(guò)不影響是e^(x^2) 答案這項(xiàng)只展開(kāi)到4次啊e^(x^2)=1+x^2+(x^4)/2+o(x^5)

作者: 刺客信條2 時(shí)間: 2012-10-6 23:02
第一題其實(shí)我今晚也剛好在做，也對(duì)李永樂(lè)的解釋不太明白，望高手賜教

作者: vancky 時(shí)間: 2012-10-6 23:03
這么說(shuō)吧，如果我買51塊5毛3分錢(qián)東西，老板說(shuō)我看你實(shí)在，那一塊錢(qián)就算了，這時(shí)候來(lái)了一句，5毛3分還需要給嗎？
3次冪都讓你整成高階的了，4次冪的系數(shù)還有什么意思。那一塊錢(qián)都讓老板抹掉了，5毛3分還差嗎？
展開(kāi)成幾階不是隨心所欲的，為什么只要乘起來(lái)有5階就行了。
其實(shí)是這樣的假設(shè)展開(kāi)的情況為A(x)B(x)，A,B都是多項(xiàng)式，那么只要乘積次數(shù)超過(guò)5階，都可以忽略，所以A(x)中的x^6肯定不用管了，其他的你還可以根據(jù)B(x)的情況再選擇。
但是，所謂隨心所欲其實(shí)是不對(duì)的，只是你可以偷懶一些，少些一些項(xiàng)，根本的原理來(lái)說(shuō)是全部展開(kāi)，然后忽略一定的高階項(xiàng)。

作者: 13不拼是2b 時(shí)間: 2012-10-6 23:09

vancky 發(fā)表于 2012-10-6 23:03
這么說(shuō)吧，如果我買51塊5毛3分錢(qián)東西，老板說(shuō)我看你實(shí)在，那一塊錢(qián)就算了，這時(shí)候來(lái)了一句，5毛3分還需要給 ...

謝謝你的形象比喻，，后面那道題理解了，，但是關(guān)于高階省略的問(wèn)題有沒(méi)有理論上的證明啊

作者: 13不拼是2b 時(shí)間: 2012-10-6 23:10

13不拼是2b 發(fā)表于 2012-10-6 23:01
額題記錯(cuò)了不過(guò)不影響是e^(x^2) 答案這項(xiàng)只展開(kāi)到4次啊e^(x^2)=1+x^2+(x^4)/2+o(x^5)
...

是我錯(cuò)了，e^(x^2)的五階是0，所以才有四次冪，，感謝。

作者: vancky 時(shí)間: 2012-10-6 23:18
理論證明  你需要注意一個(gè)問(wèn)題
你展開(kāi)的時(shí)候寫(xiě)的f(x)~XX  注意，不是等號(hào)，是約等號(hào)。
保證這個(gè)號(hào)成立只需要  f(x)/XX 的在0處的極限為一個(gè)非0數(shù)或者嚴(yán)格一些就是1
如果現(xiàn)在XX到了2階項(xiàng) 就可以保證極限為1了，那么XX再加100000x^3也就沒(méi)有影響了

作者: 13不拼是2b 時(shí)間: 2012-10-6 23:37

vancky 發(fā)表于 2012-10-6 23:18
理論證明你需要注意一個(gè)問(wèn)題
你展開(kāi)的時(shí)候寫(xiě)的f(x)~XX 注意，不是等號(hào)，是約等號(hào)。
保證這個(gè)號(hào)成立只 ...

可不可以這么理解，，如果展成三階，如x^3+o(x^3) 那么高于三階的都可以看成是x^3的高階無(wú)窮小，就是o(x^3)+o(x^4)+......=o(x^3)

作者: vancky 時(shí)間: 2012-10-6 23:39

13不拼是2b 發(fā)表于 2012-10-6 23:37
可不可以這么理解，，如果展成三階，如x^3+o(x^3) 那么高于三階的都可以看成是x^3的高階無(wú)窮小，就是o(x^ ...

這樣理解也是可以的

作者: avh0202 時(shí)間: 2012-10-6 23:40
根號(hào)下1+x乘以cosx展開(kāi)成三階麥克勞林，根號(hào)下1+x=1+ax^2+bx^3+o(x^3) cosx=1-cx^2+o(x^3) ，abc都是具體的數(shù)就不打了，我想問(wèn)的是相乘的時(shí)候4次冪 5次冪為什么都沒(méi)有了

因?yàn)閛（x^3）的意思就是x^3的高階無(wú)窮小。。。。。

展開(kāi)看題目就可以了。。。。

作者: 13不拼是2b 時(shí)間: 2012-10-6 23:43

avh0202 發(fā)表于 2012-10-6 23:40
根號(hào)下1+x乘以cosx展開(kāi)成三階麥克勞林，根號(hào)下1+x=1+ax^2+bx^3+o(x^3) cosx=1-cx^2+o(x^3) ，abc都是具體的 ...

已經(jīng)理解了，同樣感謝

作者: xiangcheng92 時(shí)間: 2012-10-7 09:52
因?yàn)橛囗?xiàng)是三階的高階無(wú)窮小，所以乘開(kāi)來(lái)得到大于三階的項(xiàng)全都省略了，因?yàn)槎际侨A的高階無(wú)窮小，所以全都用一個(gè)o(x^3)集中表示

作者: 記得那些狂烈 時(shí)間: 2012-10-7 10:15
、、、、

作者: 蔣鴻斌大三了 時(shí)間: 2012-10-7 10:16

avh0202 發(fā)表于 2012-10-6 23:40
根號(hào)下1+x乘以cosx展開(kāi)成三階麥克勞林，根號(hào)下1+x=1+ax^2+bx^3+o(x^3) cosx=1-cx^2+o(x^3) ，abc都是具體的 ...

左邊省略掉x^4,x^5項(xiàng),右邊相乘的也省略了x^4,x^5項(xiàng).如果就按現(xiàn)在的項(xiàng)算出x^4,x^5項(xiàng)是不準(zhǔn)確的.因?yàn)榈谝豁?xiàng)中常數(shù)項(xiàng)乘以第二項(xiàng)中的X^4項(xiàng)等等算出來(lái)的x^4,x^5項(xiàng)被省略掉了.但,X,和X^2肯定不會(huì)漏,所以高階的在結(jié)果中也直接省略掉

作者: hongmingrun 時(shí)間: 2012-10-7 11:39

13不拼是2b 發(fā)表于 2012-10-6 23:09
謝謝你的形象比喻，，后面那道題理解了，，但是關(guān)于高階省略的問(wèn)題有沒(méi)有理論上的證明啊 ...

有啊，你把他們都展開(kāi)，按照全書(shū)上總結(jié)的無(wú)窮小的加減乘除公式即可消掉

作者: daiuu 時(shí)間: 2012-10-7 12:57
Taylor展開(kāi)盡量不要臆想一些高階問(wèn)題，作為應(yīng)試，熟悉他在求極限和級(jí)數(shù)求和方面和中值定理方面的用就可以了。。。。

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