考研論壇
標題: 我也問道泰勒展開的問題 [打印本頁]
作者: 13不拼是2b 時間: 2012-10-6 17:53
標題: 我也問道泰勒展開的問題
全書上的一道題，根號下1+x乘以cosx展開成三階麥克勞林，根號下1+x=1+ax^2+bx^3+o(x^3) cosx=1-cx^2+o(x^3) ，abc都是具體的數就不打了，我想問的是相乘的時候4次冪 5次冪為什么都沒有了
另一道題f（x）=x-（a+be^x）sinx是x的5階無窮小確定ab的值，關于e^x和sinx展開成幾階的問題，，我自己試了一下，只要乘積有x的5次冪就行，e^x 和sinx沒有必要都展成5階的，所以這道題有很多展開形式 相應的f（x）也有很多形式 但都不影響ab的值
我想說我的這種想法是否有道理 望解答
作者: 5583777 時間: 2012-10-6 22:54
e^x和sinx都要展開成5階再乘，才能保證“不漏項”，精度夠！
作者: 13不拼是2b 時間: 2012-10-6 23:01
5583777 發(fā)表于 2012-10-6 22:54 
e^x和sinx都要展開成5階再乘，才能保證“不漏項”，精度夠！
額 題記錯了 不過不影響 是e^(x^2) 答案這項只展開到4次啊e^(x^2)=1+x^2+(x^4)/2+o(x^5)
作者: 刺客信條2 時間: 2012-10-6 23:02
第一題其實我今晚也剛好在做，也對李永樂的解釋不太明白，望高手賜教
作者: vancky 時間: 2012-10-6 23:03
這么說吧，如果我買51塊5毛3分錢東西，老板說我看你實在，那一塊錢就算了，這時候來了一句，5毛3分還需要給嗎？
3次冪都讓你整成高階的了，4次冪的系數還有什么意思。那一塊錢都讓老板抹掉了，5毛3分還差嗎？
展開成幾階不是隨心所欲的，為什么只要乘起來有5階就行了。
其實是這樣的假設展開的情況為A(x)B(x)，A,B都是多項式，那么只要乘積次數超過5階，都可以忽略，所以A(x)中的x^6肯定不用管了，其他的你還可以根據B(x)的情況再選擇。
但是，所謂隨心所欲其實是不對的，只是你可以偷懶一些，少些一些項，根本的原理來說是全部展開，然后忽略一定的高階項。
作者: 13不拼是2b 時間: 2012-10-6 23:09
vancky 發(fā)表于 2012-10-6 23:03
這么說吧，如果我買51塊5毛3分錢東西，老板說我看你實在，那一塊錢就算了，這時候來了一句，5毛3分還需要給 ...
謝謝你的形象比喻，，后面那道題理解了，，但是關于高階省略的問題有沒有理論上的證明啊
作者: 13不拼是2b 時間: 2012-10-6 23:10
13不拼是2b 發(fā)表于 2012-10-6 23:01
額 題記錯了 不過不影響 是e^(x^2) 答案這項只展開到4次啊e^(x^2)=1+x^2+(x^4)/2+o(x^5)
...
是我錯了 ，e^(x^2)的五階是0，所以才有四次冪，，感謝。
作者: vancky 時間: 2012-10-6 23:18
理論證明 你需要注意一個問題
你展開的時候 寫的f(x)~XX 注意，不是等號，是約等號。
保證這個號成立只需要 f(x)/XX 的在0處的極限為一個非0數或者嚴格一些就是1
如果現在XX到了2階項 就可以保證極限為1了，那么XX再加100000x^3也就沒有影響了
作者: 13不拼是2b 時間: 2012-10-6 23:37
vancky 發(fā)表于 2012-10-6 23:18
理論證明 你需要注意一個問題
你展開的時候 寫的f(x)~XX 注意，不是等號，是約等號。
保證這個號成立只 ...
可不可以這么理解，，如果展成三階，如x^3+o(x^3) 那么高于三階的都可以看成是x^3的高階無窮小，就是o(x^3)+o(x^4)+......=o(x^3)
作者: vancky 時間: 2012-10-6 23:39
13不拼是2b 發(fā)表于 2012-10-6 23:37
可不可以這么理解，，如果展成三階，如x^3+o(x^3) 那么高于三階的都可以看成是x^3的高階無窮小，就是o(x^ ...
這樣理解也是可以的
作者: avh0202 時間: 2012-10-6 23:40
根號下1+x乘以cosx展開成三階麥克勞林，根號下1+x=1+ax^2+bx^3+o(x^3) cosx=1-cx^2+o(x^3) ，abc都是具體的數就不打了，我想問的是相乘的時候4次冪 5次冪為什么都沒有了
因為o（x^3）的意思就是x^3的高階無窮小。。。。。
展開看題目就可以了。。。。
作者: 13不拼是2b 時間: 2012-10-6 23:43
avh0202 發(fā)表于 2012-10-6 23:40
根號下1+x乘以cosx展開成三階麥克勞林，根號下1+x=1+ax^2+bx^3+o(x^3) cosx=1-cx^2+o(x^3) ，abc都是具體的 ...
已經理解了，同樣感謝
作者: xiangcheng92 時間: 2012-10-7 09:52
因為余項是三階的高階無窮小，所以乘開來得到大于三階的項全都省略了，因為都是三階的高階無窮小，所以全都用一個o(x^3)集中表示
作者: 記得那些狂烈 時間: 2012-10-7 10:15
、、、、
作者: 蔣鴻斌大三了 時間: 2012-10-7 10:16
avh0202 發(fā)表于 2012-10-6 23:40
根號下1+x乘以cosx展開成三階麥克勞林，根號下1+x=1+ax^2+bx^3+o(x^3) cosx=1-cx^2+o(x^3) ，abc都是具體的 ...
左邊省略掉x^4,x^5項,右邊相乘的也省略了x^4,x^5項.如果就按現在的項算出x^4,x^5項是不準確的.因為第一項中常數項乘以第二項中的X^4項等等算出來的x^4,x^5項被省略掉了.但,X,和X^2肯定不會漏,所以高階的在結果中也直接省略掉
作者: hongmingrun 時間: 2012-10-7 11:39
13不拼是2b 發(fā)表于 2012-10-6 23:09
謝謝你的形象比喻，，后面那道題理解了，，但是關于高階省略的問題有沒有理論上的證明啊 ...
有啊，你把他們都展開，按照全書上總結的無窮小的加減乘除公式即可消掉
作者: daiuu 時間: 2012-10-7 12:57
Taylor展開盡量不要臆想一些高階問題，作為應試，熟悉他在求極限和級數求和方面和中值定理方面的用就可以了。。。。
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