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考研論壇

標(biāo)題: 沖刺150分請進(jìn)、、、、 [打印本頁]

作者: tjh20090905 時間: 2012-10-4 08:39
標(biāo)題: 沖刺150分請進(jìn)、、、、
請數(shù)學(xué)高手解釋一下，該怎么破解這道題。。。要證結(jié)論為二階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的和

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作者: 叫亮哥1990 時間: 2012-10-4 09:49
請參考下楊超老師的微博，他講過這個題，用費(fèi)馬引理。

作者: 跪求一百五 時間: 2012-10-4 10:07
已搞定，見短消息。

作者: 無與示單 時間: 2012-10-4 11:00
原來是二次導(dǎo)、、、囧，圖看不清楚，害我做了半天、、、

作者: tjh20090905 時間: 2012-10-4 17:30
具體答案在哪呢？？？？？

作者: Attractor_Field 時間: 2012-10-4 19:01
本帖最后由 Attractor_Field 于 2012-10-4 19:17 編輯

是有那么一丁點(diǎn)難度，不過作為150的阻礙還算不上
分別在(0,2)和(-2,0)使用拉格朗日中值定理：得到f'(ξ1)=[f(2)-f(0)]/2，f'(ξ2)=[f(0)-f(-2)]/2，其中0<ξ1<2，-2<ξ2<0
|f'(ξ1)|≤(|f(2)|+|f(0)|)/2≤1，同理|f'(ξ2)|≤1

設(shè)F(x)=[f(x)]^2+[f'(x)]^2，顯然F(0)=4，F(xiàn)(ξ1)≤2，F(xiàn)(ξ2)≤2
F(x)在閉區(qū)間[ξ1,ξ2]連續(xù)，所以必有最大值，設(shè)最大值為M，因?yàn)棣?<0<ξ2，所以M≥4。又因?yàn)閒(ξ1)<4且f(ξ2)<4，所以F(x)在[ξ1,ξ2]的最大值不可能在ξ1或ξ2取得。
設(shè)f(ξ)=M，F(xiàn)'(x)=2f'(x)[f(x)+f''(x)]，顯然F(x)在x=ξ 可導(dǎo)，而不在端點(diǎn)的最大值就是極大值，根據(jù)費(fèi)馬引理有F'(ξ)=0即2f'(ξ)[f(ξ)+f''(ξ)]=0
假設(shè)f'(ξ)=0，則|f(ξ)|>2，與題設(shè)矛盾。所以一定有f(ξ)+f''(ξ)=0

作者: CCFzeroOH 時間: 2012-10-18 08:27
本帖最后由 CCFzeroOH 于 2012-10-18 08:44 編輯

[quote]Attractor_Field 發(fā)表于 2012-10-4 19:01
是有那么一丁點(diǎn)難度，不

作者: 電動蝸牛 時間: 2012-10-18 08:58
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作者: Attractor_Field 時間: 2012-10-18 18:33

電動蝸牛發(fā)表于 2012-10-18 08:58
F（0）=0.不在端點(diǎn)的最大值為極大值，那如果函數(shù)為常函數(shù)這句話就不成立了啊！或者在某段區(qū)間函數(shù)是平的 ...

以前我對費(fèi)馬定理有很大的誤會，直到某次做題才發(fā)現(xiàn)了這個誤會。費(fèi)馬定理對可導(dǎo)點(diǎn)的要求（以≤為例）僅僅是在x=x0的去心鄰域內(nèi)f(x)≤f(x0)，并不是嚴(yán)格要求去心鄰域內(nèi)f(x)<f(x0)，所以可以不是極值點(diǎn)。

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