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考研論壇

標題: 線性相關性 [打印本頁]

作者: 車駒 時間: 2012-10-1 20:44
標題: 線性相關性
本帖最后由車駒于 2012-10-1 22:26 編輯

問個簡單的問題一個矩陣的航向量組和列向量組的線性相關性一樣嗎？

11.png (363.81 KB, 下載次數: 35)

作者: Attractor_Field 時間: 2012-10-1 20:46
這還用想么？除非方陣才能保證一樣，不然無法判斷

作者: moses10 時間: 2012-10-1 20:48
本帖最后由 moses10 于 2012-10-1 20:49 編輯

行秩和列秩值相等,且統稱為矩陣的秩，從秩來看是否線性相關，不知道我這樣理解有沒有問題

作者: chengliang1987 時間: 2012-10-1 20:50
一樣，任意矩陣的行秩等于列秩，簡稱為矩陣的秩

作者: Attractor_Field 時間: 2012-10-1 21:32
“列能理解，換成行就不能理解了”。我也無法理解這種現象。

除了A與B能夠相互線性表示，必須再加上一個條件“A與B的行數”相等（例4已經隱含了這個條件），才能認為A和B的行向量組相關性一樣。

作者: Attractor_Field 時間: 2012-10-1 21:34

chengliang1987 發表于 2012-10-1 20:50
一樣，任意矩陣的行秩等于列秩，簡稱為矩陣的秩

一樣個毛，隨便找一個秩為2的2×3矩陣，行向量組肯定線性無關，你看看列向量組是不是線性無關？？？

作者: 車駒 時間: 2012-10-1 21:44
在證明一個向量組線性無關與相關的方法中，有一個是，見圖片，我就不明白，為什么說證明了兩個向量組等價，秩相等，就可以說線性相關性一樣？

12.png (21.47 KB, 下載次數: 70)

作者: moses10 時間: 2012-10-1 21:48

車駒發表于 2012-10-1 21:44
在證明一個向量組線性無關與相關的方法中，有一個是，見圖片，我就不明白，為什么說證明了兩個向量組等價， ...

等價就不是可以相互線性表出了嗎？
兩個的最大線性無關組的秩是一樣的

作者: moses10 時間: 2012-10-1 21:50
你要理解秩，秩的個數就是線性無關向量的個數，就是向量組的最大線性無關向量的個數

作者: Attractor_Field 時間: 2012-10-1 21:51

車駒發表于 2012-10-1 21:44
在證明一個向量組線性無關與相關的方法中，有一個是，見圖片，我就不明白，為什么說證明了兩個向量組等價， ...

不用想了。如果沒說“這兩個向量組的向量個數一樣”的話，那完全就是胡說八道。一個很簡單的例子：
向量組I：(1,0)，(0,1)；向量組II：(1,0)，(0,1)，(1,1)。兩個向量組可以互相線性表出，但I線性無關，II線性相關

作者: chengliang1987 時間: 2012-10-1 21:53
本帖最后由 chengliang1987 于 2012-10-1 22:10 編輯

Attractor_Field 發表于 2012-10-1 21:34
一樣個毛，隨便找一個秩為2的2×3矩陣，行向量組肯定線性無關，你看看列向量組是不是線性無關？？？
...

我看錯了，樓主問的是相關性，不是秩。秩是一樣的，相關性不一樣。

作者: moses10 時間: 2012-10-1 21:56

Attractor_Field 發表于 2012-10-1 21:51
不用想了。如果沒說“這兩個向量組的向量個數一樣”的話，那完全就是胡說八道。一個很簡單的例子：
向量 ...

不懂，你把第二個線性表出看下。。。

作者: Attractor_Field 時間: 2012-10-1 22:10

chengliang1987 發表于 2012-10-1 21:53
回學校重新學學吧，有證明的

真有趣啊，你有本事證明“秩為2的2×3矩陣，列向量組線性無關”給我看看

作者: Attractor_Field 時間: 2012-10-1 22:11

moses10 發表于 2012-10-1 21:56
不懂，你把第二個線性表出看下。。。

向量組I就是II的極大線性無關組，當然能表出II，這都不懂？

作者: chengliang1987 時間: 2012-10-1 22:15
本帖最后由 chengliang1987 于 2012-10-1 22:17 編輯

Attractor_Field 發表于 2012-10-1 22:10
真有趣啊，你有本事證明“秩為2的2×3矩陣，列向量組線性無關”給我看看
...

1 1 0
1 0 0
上面的是我隨便找的，剛才我看錯了，樓主問的是相關性，不是秩。秩是一樣的，相關性不一樣。

作者: lingj 時間: 2012-10-1 22:17
反例

（1，2，3，4，5）T，（0，2，3，4，5）T

列不相關，行相關

作者: lingj 時間: 2012-10-1 22:18
第一個問題，用轉置來理解

作者: lingj 時間: 2012-10-1 22:23
第二個問題是不是寫錯了？
應該是線性相關性相同吧？
難道是我理解能力的問題？

作者: moses10 時間: 2012-10-1 22:30

Attractor_Field 發表于 2012-10-1 22:11
向量組I就是II的極大線性無關組，當然能表出II，這都不懂？

你先表出給我看下，我學習下

作者: 車駒 時間: 2012-10-1 22:35
本帖最后由車駒于 2012-10-1 22:41 編輯

我再說個我的疑問吧，這個疑問要是弄懂了，我覺得我以上提出的問題，基本上都能解決了：

向量組的等價和矩陣的行等價、列等價、以及矩陣等價有什么區別，或者說他們之間的聯系是什么，誰能推出誰，在什么樣子的條件下能推導出來。
比如說，向量組等價能推導出矩陣等價，但是這個條件是什么等等。。。。。

這個問題解釋清楚了，基本上相關性啥的，都明了了。

作者: moses10 時間: 2012-10-1 22:38

車駒發表于 2012-10-1 22:35
我再說個我的疑問吧，這個疑問要是弄懂了，我覺得我以上提出的問題，基本上都能解決了：向量組的等價和矩陣 ...

等價就是可以用初等變換把A變成B，行等價就是A可以只用行變換就可以變成B，列等價相同。
相量組就是矩陣，只是表示的方法不同

作者: Attractor_Field 時間: 2012-10-1 22:43

moses10 發表于 2012-10-1 22:30
你先表出給我看下，我學習下

1*(1,0)+0*(0,1)=(1,0)，0*(1,0)+1*(0,1)=(0,1)，1*(1,0)+1*(0,1)=(1,1)，你還是認真看看書本，什么叫向量組的線性表出吧

作者: 車駒 時間: 2012-10-1 22:43

moses10 發表于 2012-10-1 22:38
等價就是可以用初等變換把A變成B，行等價就是A可以只用行變換就可以變成B，列等價相同。
相量組就是矩陣 ...

那不一樣吧，矩陣等價，前提是兩個矩陣必須是同型矩陣，但是向量組的等價就沒有說向量的個數一定要相等，

作者: moses10 時間: 2012-10-1 22:48

車駒發表于 2012-10-1 22:43
那不一樣吧，矩陣等價，前提是兩個矩陣必須是同型矩陣，但是向量組的等價就沒有說向量的個數一定要相等， ...

向量的等價是指他們的線性最大無關組中的向量是一樣的，所以化成矩陣也自然是同型矩陣

作者: 車駒 時間: 2012-10-1 22:51

moses10 發表于 2012-10-1 22:48
向量的等價是指他們的線性最大無關組中的向量是一樣的，所以化成矩陣也自然是同型矩陣
...

呵呵哥們，我感覺你也已經糊涂了，或者說你本來就沒有清楚這個問題，，，，，，，

作者: moses10 時間: 2012-10-1 22:51

Attractor_Field 發表于 2012-10-1 22:43
1*(1,0)+0*(0,1)=(1,0)，0*(1,0)+1*(0,1)=(0,1)，1*(1,0)+1*(0,1)=(1,1)，你還是認真看看書本，什么叫向 ...

是我腦子短路了。。。想了半天忘記怎么弄了{:soso_e127:}

作者: moses10 時間: 2012-10-1 22:52

車駒發表于 2012-10-1 22:51
呵呵哥們，我感覺你也已經糊涂了，或者說你本來就沒有清楚這個問題，，，，，，， ...

字打錯了，向量組等級是指他們的極大線性無關組內的向量個數是一樣的，所以化成極大線性無關組后自然就同型了

作者: semn 時間: 2012-10-1 22:55
標題: RE: 線性相關性

車駒發表于 2012-10-1 22:51
呵呵哥們，我感覺你也已經糊涂了，或者說你本來就沒有清楚這個問題，，，，，，， ...

矩陣等價的兩個條件是：同型和秩相等。相量組等價首要這個相量構成的矩陣秩相等，其次要能互相線性變出

作者: 車駒 時間: 2012-10-1 22:59

semn 發表于 2012-10-1 22:55
矩陣等價的兩個條件是：同型和秩相等。相量組等價首要這個相量構成的矩陣秩相等，其次要能互相線性變出 ...

那他們之間有什么聯系呢？既然說矩陣的秩等于對應的行向量組的秩，也等于列向量組的秩，則矩陣等價與向量組等價之間必然是有聯系和區別的

作者: moses10 時間: 2012-10-1 23:01
本帖最后由 moses10 于 2012-10-1 23:04 編輯

{:soso_e173:}編輯掉算了

作者: change201203 時間: 2012-10-2 12:16
一看樓主就知道沒聽過張宇的課
矩陣的秩其實就是組成矩陣獨立向量的個數，也就是線性無關向量的個數
而矩陣的秩等于矩陣行向量的秩，等于矩陣列向量的秩

作者: 車駒 時間: 2012-10-2 12:46

change201203 發表于 2012-10-2 12:16
一看樓主就知道沒聽過張宇的課
矩陣的秩其實就是組成矩陣獨立向量的個數，也就是線性無關向量的個數
而矩陣 ...

你說的我似乎都是懂得，但是我還是不知道為什么

作者: 李云斌 時間: 2012-10-2 12:46
本帖最后由李云斌于 2012-10-2 12:48 編輯

整理下。。。回答第一個問題：大家看看有沒有漏洞。共同討論：
首先明確一點，判斷矩陣向量相關性，都是根據a的秩ra與列向量關系確定。
有一點共同理解了的ra<a列向量數，有a的列向量線性無關，ra=a列項數，有a列向量線性無關。
ra‘（a‘表轉置）
同理，當ra’<a’的列項數（a的行項數），有a‘的列向量線性相關，即a的行向量線性相關。
當ra‘=a’的列項數（a的行項數），有a’的列向量線性無關，即a的行向量線性無關。
根據ra=ra‘=秩
故.............秩小于行向量數，行向量線性相關，秩等于行向量數，行向量線性無關

作者: 李云斌 時間: 2012-10-2 13:08
第二個問題，整理下前面的回復，大家看看，有沒有漏洞:
所謂ab等價，有個前提，ab同形。都為n*m。沒有這個前提，說等價無意義。
等價（ab中的向量能相互表示）有兩個充要條件：1，a經初等變換可以成b。2，ab的秩相等。
秩相等和相關性有沒有關系呢？有
ra=rb<m(列向量數），ab都線性無關，ra=rb=m（列向量數），線性無關。
總結就是，ab同形，只要ab等價，相關性一致。

作者: a893994160 時間: 2012-10-2 18:01
看行秩和列秩啊

作者: a893994160 時間: 2012-10-2 18:01
我們平時求的秩都是行秩而已根據行秩是無法判斷列的線性相關的

作者: sxyctoby 時間: 2012-10-2 18:08
一切歸結到秩上，然后與行數或列數的大小比較！得結果！暫時這么想的！歡迎指正！

作者: kukezai 時間: 2012-10-2 18:24

車駒發表于 2012-10-1 21:44
在證明一個向量組線性無關與相關的方法中，有一個是，見圖片，我就不明白，為什么說證明了兩個向量組等價， ...

2個向量組秩相等，不一定等價。例如：向量組A:[1,0,0]T, [0,1,0] 向量組B:[1,0,0][0,0,1]

作者: kukezai 時間: 2012-10-2 18:33

Attractor_Field 發表于 2012-10-1 22:10
真有趣啊，你有本事證明“秩為2的2×3矩陣，列向量組線性無關”給我看看
...

呵呵。n+1個n維向量必線性相關

作者: 華夏不倒翁 時間: 2012-10-2 18:35
Attractor_Field說的是對的，大家要好好復習哈。尤其要區分向量組等價和矩陣等價的。還有一個，秩為n的n+1列向量相關

作者: kukezai 時間: 2012-10-2 18:40

車駒發表于 2012-10-1 22:35
我再說個我的疑問吧，這個疑問要是弄懂了，我覺得我以上提出的問題，基本上都能解決了：

向量組的等價和矩 ...

2個矩陣等價，2矩陣秩一定相等，但2矩陣拆開來2組向量組不一定等價
2個同型矩陣秩相等，2矩陣一定等價

作者: kukezai 時間: 2012-10-2 18:45

chengliang1987 發表于 2012-10-1 22:15
1 1 0
1 0 0
上面的是我隨便找的，剛才我看錯了，樓主問的是相關性，不是秩。秩是一樣的，相關性不一樣。

相關了

作者: kukezai 時間: 2012-10-2 18:50

李云斌發表于 2012-10-2 13:08
第二個問題，整理下前面的回復，大家看看，有沒有漏洞:
所謂ab等價，有個前提，ab同形。都為n*m。沒有這個 ...

ab秩相等，不一定等價

作者: 李云斌 時間: 2012-10-2 19:27

kukezai 發表于 2012-10-2 18:50
ab秩相等，不一定等價

額，，，舉例。。。

作者: 癡_癡_癡 時間: 2012-10-2 19:43

Attractor_Field 發表于 2012-10-1 21:51
不用想了。如果沒說“這兩個向量組的向量個數一樣”的話，那完全就是胡說八道。一個很簡單的例子：
向量 ...

支持!

作者: kukezai 時間: 2012-10-2 20:31

李云斌發表于 2012-10-2 19:27
額，，，舉例。。。

向量組A:[1,0,0]T, [0,1,0] 向量組B:[1,0,0][0,0,1]

作者: 蘇猶憐 時間: 2012-10-2 21:17
{:soso_e122:}

作者: 李云斌 時間: 2012-10-3 22:52

kukezai 發表于 2012-10-2 20:31
[/td][/tr]
[/table]

同型嗎？一個T,一個沒T的。。。

作者: moses10 時間: 2012-10-3 23:02

Attractor_Field是對按他說的理解吧

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