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考研論壇

標題: 關于方程組解的問題 [打印本頁]

作者: 加油hty2012 時間: 2012-9-17 12:16
標題: 關于方程組解的問題
n元方程組AX=0
若果R（A）=n
能否得出AX=b
R（A的增廣）=n

作者: 黑暗陽光 時間: 2012-9-17 13:09
跟解有關系，R（A）是滿秩不能代表方程有解，增廣主要是解決方程解問題的，所以增廣的秩也跟解有關系，只有方程組有Ax=b有解，等式才成立

作者: 紛繁的世界 時間: 2012-9-17 13:38
這個題我研究過。是這樣的，如果矩陣是n階的，則如果其系數矩陣秩為n 即其行列式不為零，能夠推出增廣矩陣秩也為n 即方程組有唯一的解。這樣說的理由是在n階條件下，矩陣的秩等于行秩和列秩，增廣矩陣即是從系數矩陣行向量的角度增坐標，所以也是無關的，即增廣矩陣秩為n。還有一個相同的問題就是N階條件下，如果系數矩陣的秩小于n，那么從列向量的角度看（部分組相關，全部組也一定相關，且秩小于n）能夠推出增廣矩陣的秩也小于n，但是兩者此時不一定相等（看具體的字母系數），也即方程組此時不一定有解。這些結論對于做n階方程組的問題很有幫助，12年數三一道線代解答用的就是這個結論，非常快速好用。

作者: 加油hty2012 時間: 2012-9-17 13:39

黑暗陽光發表于 2012-9-17 13:09
跟解有關系，R（A）是滿秩不能代表方程有解，增廣主要是解決方程解問題的，所以增廣的秩也跟解有關系，只有 ...

如果A是滿秩，那A的增廣補也是n嗎
例如
1 1 1 1 1 1 2
1 2 3 1 2 3 3
1 4 9變為 1 4 9 4

你能舉出反例嗎？

作者: 加油hty2012 時間: 2012-9-17 13:46

紛繁的世界發表于 2012-9-17 13:38
這個題我研究過。是這樣的，如果矩陣是n階的，則如果其系數矩陣秩為n 即其行列式不為零，能夠推出增廣矩陣 ...

12年數三第幾題？

作者: 黑暗陽光 時間: 2012-9-17 17:39
當r（A）=n時，不一定有r（A增廣）=n，注意，n元方程組只表示A有N個列向量，并不反映列向量的維數（方程的個數），此時可以有r（A增廣）>n.
例如
1 1 2 增廣：1 1 2 5
1 2 4             1 2 4 5
1 3 4             1 3 4 5
0 0 0             0 0 0 5
參考的數學一，雙李版，全書，第四章例4。5的解析，2012年版本是421頁。
如果還有疑問我們再討論~

作者: 舍我其誰122 時間: 2012-9-17 19:34
書本多看看吧說的很清楚做點習題就可以鞏固了 660里面有的

作者: 紛繁的世界 時間: 2012-9-17 22:51

加油hty2012 發表于 2012-9-17 13:46
12年數三第幾題？

我是通過做線代講義做的，在方程組那一章，12年數1234都考了，我晚上回來沒拿書，我記得第二問是AX=b有無窮多解的情況下問a的取值，做法就是這個結論，先利用系數矩陣的行列式等于零（保證了增廣矩陣的秩也是小于n，但與系數矩陣秩不一定相等）算出兩個a值，因為帶有參數，所以a的不同取值可能導致方程組無解，所以代入a值討論解的情況即可，最后舍去一個a值。這個結論我覺得簡便之處在于可以直接計算行列式（因為一般方程組給出的系數矩陣行列式一般不復雜），就省去了矩陣初等行變換的麻煩。當然每個人做題習慣不同，我傾向于解行列式。

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