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考研論壇

標題: 全書P65例3.3求助，及對牛頓-萊布尼茲公式思考 [打印本頁]

作者: snapeliu0718 時間: 2012-7-12 11:57
標題: 全書P65例3.3求助，及對牛頓-萊布尼茲公式思考
永樂全書P65例3.3
題目中被積函數是由原函數求導所得，原函數x≠0，故求出的導函數x≠0，即被積函數在x=0處不連續。
此種情況的可積條件應是課本中的定理2：f(x) 在區間有界，且有有限個間斷點，則f(x)可積。

問題在于：這種情況下的求定積分，是否可用牛頓-萊布尼茲公式？
根據永樂書中的第2種解法，他把原式分段，用了牛頓-萊布尼茲公式，但注意此時的兩段積分區間卻都是半開區間
但是，在永樂書中和課本中明確表明了牛頓-萊布尼茲公式應用條件是被積函數在閉區間連續

這是一種牛頓-萊布尼茲公式推廣還是什么?

作者: snapeliu0718 時間: 2012-7-12 14:29
......

作者: snapeliu0718 時間: 2012-7-12 16:04
。。。。。。

作者: 389704996 時間: 2012-7-12 17:24
也不知道是數學幾的全書把題貼出來壇子里的牛人會幫你解答的

作者: snapeliu0718 時間: 2012-7-12 17:26

389704996 發表于 2012-7-12 17:24
也不知道是數學幾的全書把題貼出來壇子里的牛人會幫你解答的

數一

作者: 389704996 時間: 2012-7-12 17:28
算是一種公式推論把書上寫的很清楚的例題3.3上面就是推論

作者: Out_of_Infinity 時間: 2012-7-12 19:02
f(x)在閉區間[a,b]連續的定義：f(x)在(a,b)的每一點連續且在x=a右連續，在x=b左連續。但并不需要在x=a和x=b連續
顯然，你說的那題積分函數在[-1,0]和[0,1]都是連續的

作者: snapeliu0718 時間: 2012-7-12 19:10

389704996 發表于 2012-7-12 17:28
算是一種公式推論把書上寫的很清楚的例題3.3上面就是推論

我也有考慮這個問題，想來應該是符合題目上面推論3的情況
不過，3.3上面的推論3的前提條件是f(x)在[a,b]連續，F(x)在[a,b]存在間斷點

so，老李書中這道題之所以把被積函數寫成那種微商的形式，應該是想讓我們直接看出其中的原函數x≠0，讓我們去對應推論3，但是，此微商形式直接導致了f(x)在[a,b]不連續。。。可能這道題出的有點詭異吧

作者: snapeliu0718 時間: 2012-7-12 19:13

Out_of_Infinity 發表于 2012-7-12 19:02
f(x)在閉區間[a,b]連續的定義：f(x)在(a,b)的每一點連續且在x=a右連續，在x=b左連續。但并不需要在x=a和x=b ...

這道題微商求出的被積函數定義域x≠0，談何取到兩個閉區間

作者: Out_of_Infinity 時間: 2012-7-12 19:51
本帖最后由 Out_of_Infinity 于 2012-7-12 20:00 編輯

snapeliu0718 發表于 2012-7-12 19:13
這道題微商求出的被積函數定義域x≠0，談何取到兩個閉區間

本來可積的條件就比閉區間連續寬松很多，只不過用萊布尼茲-牛頓公式去解在形式上稍微有點麻煩而已

設f(x)=d/dx(arctan(1/x))，證明f(x)在[-1,1]可積是很容易的，必然可以拆成∫(-1~1)f(x)dx=∫(-1~0)f(x)dx+∫(0~1)f(x)dx（和使用的積分方法無關）

既然可積，那么改變一個點的函數值也不會影響積分結果，可以令f(0)=-1。這樣f(x)在[-1,0]和[0,1]就是分別連續的

這樣f(x)在[-1,0]連續，就可以對∫(-1~0)f(x)dx使用萊布尼茲-牛頓公式，即-1<=x<0時F1(x)=arctan(1/x)，F1(0)=-π/2

同理，f(x)在[0,1]連續，就可以對∫(0~1)f(x)dx使用萊布尼茲-牛頓公式，即0<x<=1時F2(x)=arctan(1/x)，F2(0)=π/2

總之，“可積性”與“原函數或者其它具體的積分方法”是沒有任何關系的，在可積的前提下改變有限個函數點的值不會影響積分結果（甚至改變可數無窮個也不會影響），但經過恰當的改變之后就能夠硬套萊布尼茲-牛頓公式。。。

作者: Out_of_Infinity 時間: 2012-7-12 20:14
還有一種更簡單的做法，令f(0)=-1，不改變可積性也不改變積分結果。但追加定義后f(x)在[-1,1]連續，所以可以直接對[-1,1]使用萊布尼茲公式
f(x)在[-1,1]的原函數可以是
-1<=x<0時F(x)=arctan(1/x)
F(0)=0
0<x<=1時F(x)=arcran(1/x)-π
這樣F(x)才能保證在x=0可導且F'(0)=f(0)=-1，不滿足這個條件就根本不是原函數
∫(-1~1)f(x)dx=F(1)-F(-1)=(-π/4)-(π/4)=-π/2

作者: 389704996 時間: 2012-7-12 20:15
嗯贊成樓上的解釋論壇里牛人很多的樓主以后直接上題比較好呵呵

作者: 范閑航 時間: 2012-7-12 20:22
可以只是那個相當于間斷點所以要分成兩部分的幾分

作者: snapeliu0718 時間: 2012-7-12 20:33

Out_of_Infinity 發表于 2012-7-12 19:51
本來可積的條件就比閉區間連續寬松很多，只不過用萊布尼茲-牛頓公式去解在形式上稍微有點麻煩而已

設f(x) ...

"經過恰當的改變之后就能夠硬套萊布尼茲-牛頓公式。。。"哈哈，你也這樣說{:soso_e113:}

改變有限個點的函數值實際上是不影響定積分的，所以我覺得牛頓的公式條件可以說是f（x）在開區間(a,b)上連續，只是教材上沒用捅破這層紙吧

所以我的意思就是，老李書上的這種解法權當是萊布尼茲-牛頓公的一種推論了，否則這種硬套就有悖公式了

作者: jy5262220 時間: 2012-7-12 20:44
可以的只要在開區間的兩個端點的左右極限存在就可

作者: Out_of_Infinity 時間: 2012-7-12 20:48

snapeliu0718 發表于 2012-7-12 20:33
"經過恰當的改變之后就能夠硬套萊布尼茲-牛頓公式。。。"哈哈，你也這樣說

改變有限個點 ...

不對啊，書上的定義是很嚴謹的。首先也要可積才能用萊布尼茲公式，而閉區間連續是可積的一個充分條件。另外就涉及原函數的定義問題，要求F+'(a)=f(a)和F-'(b)=f(b)。閉區間連續是一個很強的條件，既能保證可積性又能保證原函數存在，用這個條件作為前提不是沒道理的。

作者: snapeliu0718 時間: 2012-7-12 21:07

Out_of_Infinity 發表于 2012-7-12 20:48
不對啊，書上的定義是很嚴謹的。首先也要可積才能用萊布尼茲公式，而閉區間連續是可積的一個充分條件。另 ...

是啊我一想也不對，如果不是閉區間，那么開區間內連續這種條件連有界性都保障不了，可能會有趨于區間端點的時候函數趨向無窮的情況、、、

哎呀，所以我覺得永樂把這原式拆成兩段用萊布尼茲-牛頓公式稍有不妥。。

永樂的第二種解法，最好，還是應該事先證明好原式可積，然后在按你說的那些步驟來；
永樂的第一種解法比第二種解法更好，第一種解法做到被積函數為-1/(1+x^2)的時候，直接可以看出這個被積函數可積，所以后面忽略x≠0，得到結果

作者: 然后去遠行 時間: 2012-7-12 21:43
1 可積與原函數存在時兩碼子事
2 弄清可積的條件就OK 定積分與變上限積分也是兩碼子事

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