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考研論壇

標(biāo)題: 求解幾道關(guān)于 <級數(shù)斂散性> 的題。糾結(jié)！ [打印本頁]

作者: 廖多多 時間: 2012-7-11 11:20
標(biāo)題: 求解幾道關(guān)于 <級數(shù)斂散性> 的題。糾結(jié)！

答案： 1，p<e時收斂，當(dāng)p>=e時發(fā)散。
         2，收斂
         3，收斂
         4，收斂
疑問：第1題用的是比值判別法，但P=e時如何判斷呢？
      第3題積出來的一般項2*[(1/n)^1/2-arctant(1/n)^1/2],然后不知道做啊。
      第4題帶sin的完全不會啊，感覺極限也不好求

作者: Out_of_Infinity 時間: 2012-7-11 11:30
1.
p=e可能要用到Stirling公式或者證明這個公式的部分推導(dǎo)

4.
(-1)^nsin(1/lnn)，萊布尼茲審斂法

作者: Out_of_Infinity 時間: 2012-7-11 11:37
本帖最后由 Out_of_Infinity 于 2012-7-11 11:39 編輯

3.
首先從積分形式來看是正項級數(shù)，可以用極限審斂法
而2*[(1/n)^1/2-arctant((1/n)^1/2)] ~ 2/3n^(3/2)，所以收斂

作者: 廖多多 時間: 2012-7-11 12:03

Out_of_Infinity 發(fā)表于 2012-7-11 11:37
3.
首先從積分形式來看是正項級數(shù)，可以用極限審斂法
而2*[(1/n)^1/2-arctant((1/n)^1/2)] ~ 2/3n^(3/2)， ...

2*[(1/n)^1/2-arctant((1/n)^1/2)] 比上 2/n^(3/2)，取極限的話等于0
是不是分母選任意一個不為0的收斂級數(shù)的通項就可以了？

作者: 廖多多 時間: 2012-7-11 12:06

Out_of_Infinity 發(fā)表于 2012-7-11 11:30
1.
p=e可能要用到Stirling公式或者證明這個公式的部分推導(dǎo)

用萊布尼茨證單調(diào)性時是用sin(1/lnn)~1/lnn嗎

作者: Mengxuer 時間: 2012-7-11 12:24
1、u(n+1)/un=p/(1+1/n)^n，當(dāng)p=e時，因為數(shù)列{(1+1/n)^n}單調(diào)遞增趨向于e，所以u(n+1)/un≥1，通項極限非零，級數(shù)發(fā)散
3、與p=3/2的p級數(shù)進(jìn)行比較。計算一下會發(fā)現(xiàn)極限lim(x→+∞) (x-arctanx)/x^3=1/3

作者: Out_of_Infinity 時間: 2012-7-11 12:27
本帖最后由 Out_of_Infinity 于 2012-7-11 12:29 編輯

廖多多發(fā)表于 2012-7-11 12:06
用萊布尼茨證單調(diào)性時是用sin(1/lnn)~1/lnn嗎

不是，萊布尼茲審斂法是交錯級數(shù)的審斂法，un>0時如果un>un+1則∑((-1)^n)un收斂
而極限審斂法只適用于正項級數(shù)。當(dāng)然取絕對值之后，可以用極限審斂法得出條件收斂

作者: 廖多多 時間: 2012-7-11 18:36

Mengxuer 發(fā)表于 2012-7-11 12:24
1、u(n+1)/un=p/(1+1/*，當(dāng)p=e時，因為數(shù)列{(1+1/*}單調(diào)遞增趨向于e，所以u(n+1)/un≥1，通項極限非 ...

謝謝
1、你用的是比值審斂法，極限lim(x→+∞) u(n+1)/un>1才時能說明級數(shù)發(fā)散。
而且，取極*，分母(1+1/*應(yīng)該可以用等價無窮小直接替換啊p=e,極限結(jié)果應(yīng)該還是1啊{:soso_e132:}

作者: 廖多多 時間: 2012-7-11 18:41

Out_of_Infinity 發(fā)表于 2012-7-11 11:37
3.
首先從積分形式來看是正項級數(shù)，可以用極限審斂法
而2*[(1/n)^1/2-arctant((1/n)^1/2)] ~ 2/3n^(3/2)， ...

對。。。。。。。。。

作者: 廖多多 時間: 2012-7-11 18:42

Out_of_Infinity 發(fā)表于 2012-7-11 11:30
1.
p=e可能要用到Stirling公式或者證明這個公式的部分推導(dǎo)

第四題用交錯級數(shù)萊布尼茨證單調(diào)性好像不好做，應(yīng)該用絕對收斂吧{:soso_e132:}

作者: Mengxuer 時間: 2012-7-11 20:14

廖多多發(fā)表于 2012-7-11 18:36
謝謝
1、你用的是比值審斂法，極限lim(x→+∞) u(n+1)/un>1才時能說明級數(shù)發(fā)散。
而且，取極限時， ...

非也，不是比值法，是比值法判斷級數(shù)發(fā)散的思路。極限大于1時用比值法可以推出級數(shù)發(fā)散，原因就是可以得到u(n+1)>un>0，所以un的極限非零，級數(shù)發(fā)散。我這里也是一樣的做法。另外，分母不是無窮小，談何替換？這時候求極限有何用處？極限為1時，比值法失效了。

作者: Out_of_Infinity 時間: 2012-7-11 20:16

廖多多發(fā)表于 2012-7-11 18:42
第四題用交錯級數(shù)萊布尼茨證單調(diào)性好像不好做，應(yīng)該用絕對收斂吧 ...

首先sin(nπ+1/lnn)=((-1)^n)sin(1/lnn)
sin(1/lnn)是一個單調(diào)遞減的正項數(shù)列，所以∑((-1)^n)sin(1/lnn)收斂，不要把比值審斂法和萊布尼茲審斂法搞混了
取絕對值后有sin(1/lnn)~1/lnn，顯然是發(fā)散的，所以條件收斂

作者: 廖多多 時間: 2012-7-11 20:39

Out_of_Infinity 發(fā)表于 2012-7-11 20:16
首先sin(nπ+1/lnn)=((-1)^n)sin(1/lnn)
sin(1/lnn)是一個單調(diào)遞減的正項數(shù)列，所以∑((-1)^n)sin(1/lnn) ...

恩是的，謝謝你，我之前一直不明白n>=2時sin(1/lnn)是單調(diào)遞減

作者: 小溪青石 時間: 2012-7-11 21:21
提示: 作者被禁止或刪除內(nèi)容自動屏蔽

作者: 廖多多 時間: 2012-7-11 23:21

Mengxuer 發(fā)表于 2012-7-11 20:14
非也，不是比值法，是比值法判斷級數(shù)發(fā)散的思路。極限大于1時用比值法可以推出級數(shù)發(fā)散，原因就是可以得 ...

謝謝

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