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考研論壇
標題: 有意思（26）一元微分重條件，符號分析是主線 [打印本頁]
作者: 戰地黃花 時間: 2012-6-25 09:50
標題: 有意思（26）一元微分重條件，符號分析是主線
本帖最后由 戰地黃花 于 2012-6-25 10:01 編輯
一元微積分學的基本內容，是“用導數研究函數，研究函數以討論積分。”討論連續函數的符號，是基本內容的一條主線。
1。符號討論主線 定理（1） “保號”定理
—— 若自變量x→∞ 時，相應的函數值f(x)有正的極限A ，即∣x∣增大時函數值f(x)無限接近正數A ，則當∣x∣充分大時 ，恒有f(x) > 0
——若自變量x→x0 時，相應的函數值f(x) 有正的極限A ，則當x充分靠近x0時，即在x0 的一個適當小的去心鄰域內，恒有f(x) > 0
（ 潛臺詞：近朱者赤，近墨者黑。如此而已。）
典型應用1 —— 連續函數一點大于0 ，則一段大于0
邏輯發展典型 —— f(x) 在區間（a ，b）上連續非負。則f(x) 在（a ，b）上積分為0的充要條件為f(x) 在（a ，b）上恒為0
（潛臺詞：如果需要，可以補充定義端點值為極限值。）
典型應用2 —— 一點可導且導數大于（或小于）0的推理
設函數 f (x) 在點x0 可導，且 f′(x0) > 0 ，則
→ f (x) 在點x0 可導 → f (x) 在點x0連續 → f (x) 在點x0的某鄰域內有定義
將 f′(x0) > 0 還原成定義式 ， 即 Δx → 0時，l i m（Δy /Δx）> 0
→（體驗符號，近朱者赤。）在x 0的某去心鄰域內，增量商恒正 ，分子分母同號。
→ 分母Δx在x 0左側為負，右側為正，分子Δy也只能左側為負，右側為正。
→ 在x 0左側鄰近，恒有f (x) < f（x 0），而在右側鄰近，恒有 f (x)> f（x 0）
（潛臺詞：我們并不知道各函數值之間誰大誰小。不能與單調性相混。）
→ f（x 0）不是函數的極值，更不會是函數的最值。
（畫外音：這下你就懂了，“已知一點導數大于0”與“已知一個區間內導數大于0”的差別。
有人問，你能舉出一個點孤立可導的函數例嗎？那是另外一個問題了。有點鉆牛角尖。）
2。符號討論主線 定理（2）連續函數介值定理推論
—— 連續函數取正取負必取零。
（潛臺詞：討論方程 F(x) = 0 的根，總可以轉化為討論函數F(x)的零點。）
邏輯發展 ——
—— 沒有零點的連續函數定號。只有一個零點的連續函數定號或分兩段定號。
（潛臺詞：簡單的反證法邏輯。）
—— 連續函數在相鄰的兩個零點間不變號。
—— 在連續區間（a ，b）內，函數圖形被其零點分成了恒正或恒負的若干段。
（潛臺詞：各段究竟恒正還是恒負，選個特殊點算算。）
邏輯發展典型 ——
若函數 f(x) ，g(x ) 都在區間（a ，b）上連續，則函數 y = man（f（x），g(x )）也在（a ，b）上連續。
（畫外音：作差函數 F = f（x）– g(x ) ，則F連續。F在相鄰的兩個零點間不變號。
函數y = man（f（x），g(x )）在這一段要么為f（x），要么為g（x），當然連續。
只需任選一個等值點（F的零點），證明y = man（f（x），g(x )）連續。）
邏輯發展典型 ——（費爾瑪引理）
若f(x) 在區間（a ，b）上可導，且在（a ，b）內一點x0取得最大值或最小值。則必有 f′(x0) = 0
（畫外音： f(x) 在點x0可導的充要條件為 左導數 = 右導數 。
寫出定義，利用最值討論左導數 = 右導數符號。邏輯推理判 定 f′(x0) = 0 ）
邏輯綜合發展典型 ——（達布定理）若f(x) 在區間（a ，b）上可導，則其導函數自然滿足連續函數介值定理。
（潛臺詞：導函數不一定連續。）
3。典型（連續）不可導的成因分析
從圖形上看連續函數取絕對值 ——
連續函數f (x) 在相鄰的兩個零點之間不變號。
如果恒正，每一個正數的絕對值就是自已。在這兩個零點間，函數 y =∣f (x)∣與 f (x) 的圖形相同。
如果恒負，每一個負數的絕對值都是它的相反數。在這兩個零點間，f (x) 的圖形由x軸下面對稱地反射到了x軸上方。成為 y =∣f (x)∣的圖形。
如果 f (x) 可導，則稱曲線 y = f (x) 光滑。從前述圖形關系可以看出，在f(x) 恒為正或恒為負的區間內，曲線y = | f (x) | 和曲線y = f(x) 的光滑性是一致的。
符號討論主線結論（3）——只有在f(x) 的零點處，才可能出現曲線y = f(x) 光滑，而曲線y = | f(x) | 不光滑的狀況。
y = sin x 在原點為0，在原點的左側鄰近為負，右側鄰近為正。
讓它的圖形在原點右側段不變，而將左側段對稱地反射到上半平面，就是y = | sin x | 的圖形。反射使得曲線 y = | sin x | 圖形在原點處形成一個尖角，不光滑了。
（潛臺詞：從幾何上看，曲線y = sin x的切線被分成左，右兩射線，形成一個角。）
同理 y = | lnx| 在點x = 1不可導。
這是否是一個普遍規律？不是！必須是單零點才行。比如y = x3 與 y = | x3 | 在x = 0 點都可導。
函數 y = x3 的圖形叫“立方拋物線”。在點x = 0，函數導數為0，圖形有水平的切線橫穿而過。
4。符號討論主線結論（4）拉格郎日公式推論2
——若f(x) 在區間（a ，b）上可導，且導函數f′(x) > 0 ，則f(x) 在區間（a ，b）上單增。
邏輯發展（“逐階判符號，分段說單調”）—— 一個很好玩的游戲
設函數 三階可導，f′″(x) 在點 x0 連續。又已知其一，二階導數在點 x0 都為0 ，而三階導數不為0 ，不仿設 f′″(x0)>0 ，則有
→ 連續函數一點大于0則一段大于0 。在點x0 鄰近三階導數 f′″(x) 恒大于零。
→ 三階導數大于零，則二階導數單增。又因為 f″(x0) = 0 ，故
當x由左方趨近點x 0 時，f″(x) 由負單增到0 ；
而從x 0點向右，f″(x)由0單增為正。 x 0 兩側二階導數反號，圖形上點（x0，f (x 0)）是拐點。
→ 在x 0點左側，一階導數單減，且由正單減到0 ；
在x 0點右側，一階導數單增，且由0單增為正。f′(x 0) = 0是一階導數的極小值。導數的一個孤立零點。
→ 函數 f 在點x 0鄰近單增
典型應用——“單調法”證明函數不等式
證明x >x 0 時，f (x) >g (x)，即證明 F = f (x)-g (x) >0 ，能否運用單調法，先看有沒有“初始信息”，再對F求導。看導數正負說單調，兩者結合確定函數F的符號。
這條主線玩熟了，你會提高很多。
作者: JIAYOUQQ11 時間: 2012-6-25 11:41
又見到老師您了啊 哈哈
作者: 側身 時間: 2012-7-18 23:12
本帖最后由 側身 于 2012-7-18 23:53 編輯
這是否是一個普遍規律？不是！必須是單零點才行。 求老師告知什么是單零點，， 我后來想了想是f(x0）=0 而f’（xo）不等于0.。
作者: Out_of_Infinity 時間: 2012-7-18 23:16
強大{:soso_e179:}
作者: honeyaries 時間: 2012-7-19 17:40
老師你好，我想問下就是在第三點講到 ——只有在f(x) 的零點處，才可能出現曲線y = f(x) 光滑，而曲線y = | f(x) | 不光滑的狀況。的時候 你最后總結說 必須是單零點的問題。但是冒昧的說下 這樣是不是 不是很清楚呢？說的。我可不可以這樣理解呢？若f(x) 在點a處可導，且f(a)=0 f(a)的導數不等于0 則 y = | f(x) | 在x=a處不光滑 呢？
作者: 奮斗未來堅持 時間: 2012-7-19 17:42
呀，好總結啊
作者: 戰地黃花 時間: 2012-7-19 21:48
側身 發表于 2012-7-18 23:12 
這是否是一個普遍規律？不是！必須是單零點才行。 求老師告知什么是單零點，， 我后來想了想是f(x0）=0 而 ...
對的。這又叫“單根”。
作者: 戰地黃花 時間: 2012-7-19 21:53
honeyaries 發表于 2012-7-19 17:40
老師你好，我想問下就是在第三點講到 ——只有在f(x) 的零點處，才可能出現曲線y = f(x) 光滑，而曲線y = | ...
對。f(x0）=0 而 f’（xo）不等于0，這是單0點的一個充分條件。
作者: honeyaries 時間: 2012-7-19 22:04
戰地黃花 發表于 2012-7-19 21:53
對。f(x0）=0 而 f’（xo）不等于0，這是單0點的一個充分條件。
en 謝謝老師了哈。
作者: wallace1987 時間: 2012-7-23 13:07
老師辛苦了！{:soso_e163:}
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