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心理統(tǒng)計(jì)學(xué)筆記

（1）基本概念
總體：具有某些共同的、可觀測特征的一類事物的全體，構(gòu)成總體的每個(gè)基本單元稱為個(gè)體
樣本：由于不能或沒必要對整個(gè)總體進(jìn)行研究，我們只能從總體中選擇出一些個(gè)體代表總體，這些個(gè)體的集合叫樣本
變量：本身是變化的或者對于不同個(gè)體有不同值得特征或條件
常量：本身不變且對不同的個(gè)體的值也相同
參數(shù)：描述總體的數(shù)值，它可以從一次測量中獲得，也可以從總體的一系列測量中推論得到
比例：全組中取值為X的比例，p=f/N
插值法：一種求兩個(gè)已知數(shù)值之間中間值的方法，其假設(shè)所求解點(diǎn)附近數(shù)據(jù)呈線性變化
統(tǒng)計(jì)量：描述樣本的數(shù)值，與參數(shù)的獲得方式相同
隨機(jī)取樣：從總體抽取樣本的一種策略，要求總體中的每一個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會均等
取樣誤差：樣本統(tǒng)計(jì)量與相應(yīng)的總體參數(shù)之間的差距
偏態(tài)分布：分?jǐn)?shù)堆積在分布的一端，而另一端成為比較尖細(xì)的尾端，其與對稱分布對應(yīng)
次數(shù)分布：一批數(shù)據(jù)在某一量度的每一個(gè)類目所出現(xiàn)的次數(shù)情況
離散型變量：由分離的、不可分割的范疇組成，臨近范疇之間沒有值存在
連續(xù)型變量：在任何兩個(gè)觀測值之間都存在無限多個(gè)可能值，它可被分割成無限多個(gè)組成部分
（2）學(xué)習(xí)建議
①將注意放在概念上，心理統(tǒng)計(jì)應(yīng)該是一門概念性的科學(xué)，而非純數(shù)學(xué)。
②一定要將統(tǒng)計(jì)方法與心理學(xué)研究的情景結(jié)合起來學(xué)習(xí)。
③弄懂一個(gè)概念再開始學(xué)習(xí)下一個(gè)，心理統(tǒng)計(jì)中的概念應(yīng)用性較差卻是之后做題的基礎(chǔ)。
④做題按照推薦格式能避免出錯(cuò)幾率。
（3）統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)總表
數(shù)據(jù)類型單樣本問題獨(dú)立樣本比較相關(guān)樣本比較多組樣本的比較相關(guān)問題
獨(dú)立樣本重復(fù)測量
等
距
型總體正態(tài)分布單樣本t/z
檢驗(yàn) 獨(dú)立樣本t/z
檢驗(yàn) 相關(guān)樣本t
檢驗(yàn) 獨(dú)立樣本方差分析重復(fù)測量方差分析 Pearson
積差相關(guān)
分布形態(tài)未知大樣本下的相應(yīng)的t/z檢驗(yàn) 大樣本下的相應(yīng)的t/z檢驗(yàn) 大樣本下的相應(yīng)的t檢驗(yàn) 轉(zhuǎn)化為順序型轉(zhuǎn)化為順序型
順序型符號檢驗(yàn)法曼-惠特尼
U檢驗(yàn) 維爾克松
T檢驗(yàn) 克-瓦氏單向
方差分析弗里德曼雙向等級方差分析 Spearman
等級相關(guān)
命名型 χ2匹配度檢驗(yàn) χ2獨(dú)立性檢驗(yàn) 符號檢驗(yàn)法 χ2獨(dú)立性檢驗(yàn) χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)

一、描述統(tǒng)計(jì)
描述統(tǒng)計(jì)是指用來整理、概括、簡化數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)方法，側(cè)重于描述一組數(shù)據(jù)的全貌，表達(dá)一件事物的性質(zhì)。
（一）統(tǒng)計(jì)圖表
統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖簡單明確、生動直觀地表達(dá)數(shù)量關(guān)系，具有一目了然、整潔美觀、容易理解等特點(diǎn)。它們是對數(shù)據(jù)進(jìn)行初步整理，以簡化的形式加以表現(xiàn)的兩種最簡單的方式。在制定統(tǒng)計(jì)圖表之前，一般首先要對數(shù)據(jù)進(jìn)行以下兩種初步整理：
①數(shù)據(jù)排序：按照某種標(biāo)準(zhǔn)，對收集到的雜亂無章的數(shù)據(jù)按照一定順序標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行排列
②統(tǒng)計(jì)分組：根據(jù)被研究對象的特征，將所得到數(shù)據(jù)劃分到各個(gè)組別中去
1.統(tǒng)計(jì)圖
統(tǒng)計(jì)圖：用點(diǎn)、線、面的位置、升降或大小來表達(dá)統(tǒng)計(jì)資料數(shù)量關(guān)系的一種陳列形式
      組成：坐標(biāo)軸、圖號、圖題、圖目、圖尺、圖形、圖例、圖注
      分類：條形圖、圓圖、線性圖、直方圖、散點(diǎn)圖、莖葉圖
2.統(tǒng)計(jì)表
統(tǒng)計(jì)表：將要統(tǒng)計(jì)分析的事物或指標(biāo)以表格的形式列出來，以代替煩瑣文字描述的一種表現(xiàn)形式
      組成：隔開線、表號、名稱、標(biāo)目、數(shù)字、表注
      分類：簡單表、分組表、復(fù)合表
（二）集中量數(shù)
集中量數(shù)又叫集中趨勢，是體現(xiàn)一組數(shù)據(jù)一般水平的統(tǒng)計(jì)量。它能反映頻數(shù)分布中大量數(shù)據(jù)向某一點(diǎn)集中的情況。
1.算數(shù)平均數(shù)
（1）定義
算數(shù)平均數(shù)：即所有觀察值的總和與總頻數(shù)之商，簡稱為平均數(shù)或均數(shù)
         平均數(shù)一般與標(biāo)準(zhǔn)差、方差相結(jié)合使用。

（2）特點(diǎn)
①在一組數(shù)據(jù)中每個(gè)變量與平均數(shù)之差的總和等于零
②在一組數(shù)據(jù)中，每一個(gè)數(shù)都加上一個(gè)常數(shù)C，所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)加常數(shù)C
③在一組數(shù)據(jù)中，每一個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)常數(shù)C，所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)乘以常數(shù)C
（3）意義
算數(shù)平均數(shù)是應(yīng)用最普遍的一種集中量數(shù)，它在大多情況下是真值最好的估計(jì)值。
（4）優(yōu)缺點(diǎn)
優(yōu)點(diǎn)：反應(yīng)靈敏、計(jì)算嚴(yán)密、計(jì)算簡單、簡明易解、適合于進(jìn)一步用代數(shù)方法鹽酸、較少受抽樣變動的影響
缺點(diǎn)：易受極端數(shù)據(jù)的影響、不能在出現(xiàn)模糊數(shù)據(jù)時(shí)計(jì)算
2.中數(shù)
（1）定義
中數(shù)：按順序排列在一起的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)，在這組數(shù)據(jù)中，有一半數(shù)據(jù)比它大，一般數(shù)據(jù)比它小，等價(jià)于百分位數(shù)是50的那個(gè)數(shù)。
（2）算法
①數(shù)列總個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，第 (n+1)/2 個(gè)數(shù)就是中數(shù)
②數(shù)列總個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，可取位于中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為中數(shù)
③分布中有相等的數(shù)時(shí)，將重復(fù)的數(shù)字看成一個(gè)連續(xù)體，利用中間分?jǐn)?shù)的精確上下限使用插值法
（3）優(yōu)缺點(diǎn)
優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡單、容易理解、不受極端值影響、能在有模糊數(shù)據(jù)情況下使用、可在順序型數(shù)據(jù)時(shí)使用
缺點(diǎn)：代表性低、不夠靈敏、穩(wěn)定性低、需要排序、不能進(jìn)一步做代數(shù)運(yùn)算
3.眾數(shù)
（1）定義
眾數(shù)：在次數(shù)分布中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)的數(shù)值
   眾數(shù)可能不只一個(gè)。在正偏態(tài)分布時(shí)，平均數(shù)最靠近尾端，中數(shù)位于其與眾數(shù)之間。
（2）優(yōu)缺點(diǎn)
優(yōu)點(diǎn)：能在數(shù)據(jù)不同質(zhì)的情況使用，能避免極端值干擾
缺點(diǎn)：不穩(wěn)定、代表性差、不夠靈敏、不能做進(jìn)一步的代數(shù)運(yùn)算
（三）差異量數(shù)
差異量數(shù)就是對一組數(shù)據(jù)的變異性，即離中趨勢特點(diǎn)進(jìn)行度量和描述的統(tǒng)計(jì)量，也稱為離散量數(shù)。
1.離差與平均差
離差：分布中的某點(diǎn)到均值得距離，其符號表示了某分屬于均值之間的位置關(guān)系而數(shù)值表示了它們之間的絕對距離
   離差之和始終為零。

平均差：次數(shù)分布中所有原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)絕對離差的平均值

2.方差與標(biāo)準(zhǔn)差
和方：每一個(gè)離差值平房求和
   由于離差正負(fù)值互相抵消無法代表離中趨勢我們引入和方的概念

（1）總體的方差和標(biāo)準(zhǔn)差
方差：每個(gè)數(shù)據(jù)與該組數(shù)據(jù)平均數(shù)之差乘方后的均值，即離均差平房后的均數(shù)
   作為樣本統(tǒng)計(jì)量用符號s2表示，作為總體參數(shù)用符號σ2表示，也叫均方。

標(biāo)準(zhǔn)差：方差的平方根
      作為樣本統(tǒng)計(jì)量用符號s表示，作為總體參數(shù)用符號σ表示。

（2）樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差
樣本的變異性往往比它來自的總體的變異性要小。為了校正樣本數(shù)據(jù)帶來的偏差，在計(jì)算樣本方差時(shí)，我們用自由度來矯正樣本誤差，從而有利于對總體參數(shù)更好的無偏差估計(jì)：

（3）性質(zhì)
①每一個(gè)觀測值都加一個(gè)相同的常數(shù)C之后，計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)差等于原來的標(biāo)準(zhǔn)差
②每一個(gè)觀測值都乘以一個(gè)相同的常數(shù)C，所得到的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差乘以這個(gè)常數(shù)

（4）意義
方差與標(biāo)準(zhǔn)差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標(biāo)，它們是統(tǒng)計(jì)描述與統(tǒng)計(jì)推斷分析中最常用的差異量數(shù)，它們的優(yōu)點(diǎn)有：
反應(yīng)靈敏、計(jì)算嚴(yán)謹(jǐn)、計(jì)算容易、適合代數(shù)運(yùn)算、受抽樣變動影響小、意義簡單明了
3.變異系數(shù)
當(dāng)遇到下列情況時(shí)，不能用絕對差異量來比較不同樣本的離散程度，而應(yīng)當(dāng)使用相對差異量數(shù)，最常用的就是差異系數(shù)。
①兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本所使用的觀測工具不同，所測的特質(zhì)相同
②兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本使用的是同種觀測工具，所測的特質(zhì)相同，但樣本間水平差異較大

差異系數(shù)：一種最常用的相對差異量，為標(biāo)準(zhǔn)差對平均數(shù)的百分比

（四）相對量數(shù)
1.百分位數(shù)
百分位數(shù)：在整個(gè)分布中，在某一值之下或等于該值的分?jǐn)?shù)的百分比，所對應(yīng)的分?jǐn)?shù)
      百分位數(shù)和百分等級是同一操作定義的兩端。當(dāng)我們求累計(jì)次數(shù)占總體的百分比是，所對應(yīng)的分?jǐn)?shù)和百分比的值分
      別為百分位數(shù)和百分等級。
2.百分等級
百分等級：常模團(tuán)體中低于該分?jǐn)?shù)的人所占總體的百分比
      百分等級一定要對應(yīng)分?jǐn)?shù)區(qū)間的精確上限。百分等級和百分位數(shù)都可以由已知數(shù)據(jù)用差值法求解。
3.標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)
（1）定義
標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)：以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個(gè)原始分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中所處位置的相對位置量數(shù)，也叫Z分?jǐn)?shù)
      離平均數(shù)有多遠(yuǎn)，即表示原始分?jǐn)?shù)在平均數(shù)以上或以下幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的位置。

（2）性質(zhì)
①Z分?jǐn)?shù)無實(shí)際單位，是以平均數(shù)為參照點(diǎn)，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位的一個(gè)相對量
②一組原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換得到的Z分?jǐn)?shù)可正可負(fù)，所有原始分?jǐn)?shù)的Z分?jǐn)?shù)之和為零
③原始數(shù)據(jù)的Z分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1
④若原始分?jǐn)?shù)呈正態(tài)分布，則轉(zhuǎn)換得到的所有Z分?jǐn)?shù)均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

（3）優(yōu)點(diǎn)
①可比性——不同性質(zhì)的成績，一經(jīng)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，就可在同一背景下比較
②可加性——不同性質(zhì)的原始數(shù)據(jù)具有相同的參照點(diǎn)，因此可相加
③明確性——知道了標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，利用分布寒暑表就能知道其百分等級
④穩(wěn)定性——轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)之后，規(guī)定了標(biāo)準(zhǔn)差為1，保證了不同性質(zhì)分?jǐn)?shù)在總分?jǐn)?shù)中權(quán)重一樣

（4）應(yīng)用
①比較幾個(gè)分屬性質(zhì)不同的觀測值在各自數(shù)據(jù)分布中相對位置的高低
②計(jì)算不同質(zhì)的觀測值得總合或平均值，以表示在團(tuán)體中的相對位置
③若標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)中有小數(shù)、負(fù)數(shù)等不易被人接受的問題，可通過 Z'=aZ+b 的線性公式將其轉(zhuǎn)化成新的分?jǐn)?shù)（如韋氏成人智力量表）
（五）相關(guān)量數(shù)
由于實(shí)驗(yàn)法適用范圍的限制，有的時(shí)候我們只能對變量間進(jìn)行相關(guān)研究，也就是看兩者是否有互相跟隨的變化關(guān)系。相關(guān)研究所得到的是一種描述統(tǒng)計(jì)，我們僅僅能用其描述兩個(gè)變量互相跟隨的程度大小，至于他們之間是否有因果關(guān)系或者是共變關(guān)系則不可妄下定論。

相關(guān)系數(shù)：兩列變量間相關(guān)程度的數(shù)字表現(xiàn)形式
      作為樣本的統(tǒng)計(jì)量用r表示，作為總體參數(shù)一般用ρ表示。
      正相關(guān)：兩列變量變動方向相同
      負(fù)相關(guān)：兩列變量中有一列變量變動時(shí)，另一列變量呈現(xiàn)出與前一列變量方向相反的變動
      零相關(guān)：兩列變量之間沒有關(guān)系，各自按照自己的規(guī)律或無規(guī)律變化
1.積差相關(guān)
也就是Pearson相關(guān)。

（1）前提
①數(shù)據(jù)要成對出現(xiàn)，即若干個(gè)體中每個(gè)個(gè)體都有兩種不同的觀測值，并且每隊(duì)數(shù)據(jù)與其它對子相互獨(dú)立
②兩列變量各自總體的分布都是正態(tài)的，至少接近正態(tài)
③兩個(gè)相關(guān)的變量是連續(xù)變量，也即兩列數(shù)據(jù)都是測量數(shù)據(jù)
④兩列變量之間的關(guān)系應(yīng)是直線性的

（2）公式

r也就等于X和Y共同變化的程度除以X和Y各自變化的程度。
2.等級相關(guān)
也就是Spearman相關(guān)

（1）適用范圍
①當(dāng)研究考察的變量為順序型數(shù)據(jù)時(shí)，若原始數(shù)據(jù)為等比貨等距，則先轉(zhuǎn)化為順序型數(shù)據(jù)
②當(dāng)研究考察的變量為非線性數(shù)據(jù)時(shí)

（2）公式
將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為順序型數(shù)據(jù)，仍然用Pearson相關(guān)公式計(jì)算即可。

3.肯德爾等級相關(guān)
（1）肯德爾W系數(shù)
也叫肯德爾和諧系數(shù)，原始數(shù)據(jù)資料的獲得一般采用等級評定法，即讓K個(gè)被試對N件實(shí)物進(jìn)行等級評定。其原理是評價(jià)者評價(jià)的一致性除以最大變異可能性。

Ri代表評價(jià)對象獲得的K個(gè)等級之和
N代表等級評定的對象的樹木
K代表等級評定者的數(shù)目

（2）肯德爾U系數(shù)#
其與肯德爾W系數(shù)所處理的問題相同，但評價(jià)者采用對偶比較法，即將N件事物兩兩配對分別進(jìn)行比較

rij為對偶比較記錄表中i>j格中的擇優(yōu)分?jǐn)?shù)
4.點(diǎn)二列相關(guān)與二列相關(guān)
（1）點(diǎn)二列相關(guān)
適用于一列數(shù)據(jù)為等距正態(tài)變量，另一列為離散型二分變量。

是與二分稱名變量的一個(gè)值對應(yīng)的連續(xù)變量的平均數(shù)
是與二分稱名變量的另一個(gè)值對應(yīng)的連續(xù)變量的平均數(shù)
p與q是二分稱名變量兩個(gè)值各自所占的比率
st是連續(xù)變量的標(biāo)準(zhǔn)差

（2）二列相關(guān)
適用于兩列變量都是正態(tài)等距變量，但其中一列變量被人為地分成兩類。

y為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線中p值對應(yīng)的高度，查正態(tài)分布表能得到
5.Ф相關(guān)
適用于兩個(gè)變量都是只有兩個(gè)點(diǎn)值或只表示某些質(zhì)的屬性。

其中a、b、c、d分別為四格表中左上、右上、左下、右下的數(shù)據(jù)
二、推斷統(tǒng)計(jì)
推論統(tǒng)計(jì)就是指運(yùn)用一系列的數(shù)學(xué)方法，將從樣本數(shù)據(jù)中獲得的結(jié)果推廣到樣本所在的總體。進(jìn)行推論統(tǒng)計(jì)的關(guān)鍵在于所抽取的樣本要能夠盡量接近所要研究的總體。
（一）推斷統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
1.概率
概率：表明隨即時(shí)間出現(xiàn)可能性大小的客觀指標(biāo)
   概率的定義包含以下兩種，當(dāng)觀測次數(shù)夠多時(shí)他們是相等的。
   后驗(yàn)概率：對隨機(jī)事件進(jìn)行n次觀察，某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)m與觀測次數(shù)n的比值在n趨近無窮時(shí)所穩(wěn)定在的常數(shù)p
   先驗(yàn)概率：在滿足試驗(yàn)可能結(jié)果數(shù)有限且每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等的條件下，隨機(jī)事件包含的結(jié)果數(shù)除以結(jié)果總數(shù)
2.正態(tài)分布
當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，我們會發(fā)現(xiàn)生活中許多變量的分布都近似于正態(tài)曲線，因此有“上帝偏愛正態(tài)分布”一說。

（1）特點(diǎn)
①正態(tài)曲線的形狀就像一口掛鐘，呈對稱分布，其均值、中數(shù)、眾數(shù)實(shí)際上對應(yīng)于同一個(gè)數(shù)值
②大部分的原始分?jǐn)?shù)都集中分布在均值附近，極端值相對而言比較少
③曲線兩端向靠近橫軸處不斷延伸，但始終不會與橫軸向交
④正態(tài)分布曲線轉(zhuǎn)化為z分?jǐn)?shù)后人以z分?jǐn)?shù)與零點(diǎn)對應(yīng)曲線下面積固定

（2）用法
①依據(jù)Z分?jǐn)?shù)求概率，即已知標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)求面積
②從概率求Z分?jǐn)?shù)，即從面積求標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)值
③已知概率或Z值，求概率密度，即正態(tài)曲線的高
3.二項(xiàng)分布
二項(xiàng)分布：對于一個(gè)事件有兩種可能A和B，但我們對這一事件觀察n次，事件A發(fā)生的總次數(shù)的概率分布就是二項(xiàng)分布
      二項(xiàng)分布的均值為
      方差公式為
      標(biāo)準(zhǔn)差的公式為

4.抽樣原理與抽樣方法
（1）抽樣原理
抽樣的基本原則是隨機(jī)性原則，所謂隨機(jī)性原則，是指在進(jìn)行抽樣時(shí)，總體中每一個(gè)個(gè)體是否被抽選的概率完全均等。由于隨機(jī)抽樣使每個(gè)個(gè)體有同等機(jī)會被抽取，因而有相當(dāng)大的可能使樣本保持和總體有相同的結(jié)構(gòu)，或者說，具有最大的可能使總體的某些特征在樣本中得以發(fā)現(xiàn)，從而保證由樣本推論總體。

（2）抽樣方法
①簡單隨機(jī)取樣法
②系統(tǒng)隨機(jī)取樣法
③分層隨機(jī)取樣法
④多段隨機(jī)取樣法
5.抽樣分布
樣本分布：樣本統(tǒng)計(jì)量的分布，是統(tǒng)計(jì)推論的重要依據(jù)

（1）正態(tài)分布及漸近正態(tài)分布
樣本統(tǒng)計(jì)量為正態(tài)分布或者接近正態(tài)分布的情況都可根據(jù)正態(tài)分布的概率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推論。

總體分為正態(tài)或接近正態(tài)，方差已知，樣本平均數(shù)和方差的分布為正態(tài)分布
①樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)和方差與母體的平均數(shù)和方差有如下關(guān)系：

②樣本的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的分布也漸趨于正態(tài)分布，其分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差和總體有如下關(guān)系：

（2）t分布
t分布是一種與方差無關(guān)而與自由度有關(guān)的分布，很類似正態(tài)分布，我們可以將正態(tài)分布看作t分布當(dāng)自由度為正無窮時(shí)的特例。

總體分布為正態(tài)，方差未知時(shí)，樣本平均數(shù)的分布為t分布：
其中

（3）χ2分布
χ2分布的構(gòu)造是從一個(gè)服從正態(tài)分布的總體中每次抽去n個(gè)隨機(jī)變量，計(jì)算其平方和之后標(biāo)準(zhǔn)化的一個(gè)分布。分布曲線下的面積都是1，但伴隨著n取值的不同，自由度改變，曲線分布形狀不同，而當(dāng)自由度趨近于正無窮時(shí)χ2分布即為正態(tài)分布，因此其于t分布一樣都是一族分布，而正態(tài)分布都是其中的特例。

（4）F分布
如果有兩個(gè)正態(tài)分布的總體，我們從其中各自取出兩個(gè)樣本，各自計(jì)算出χ2，則：

更多情況下，我們所計(jì)算的F兩樣本取自相同總體，此時(shí)可將上式化簡為：

（二）參數(shù)估計(jì)
當(dāng)在研究中從樣本獲得一組數(shù)據(jù)后，如何通過這組信息，對總體特征進(jìn)行估計(jì)，也就是如何從局部結(jié)果推論總體的情況，稱為總體參數(shù)估計(jì)。總體參數(shù)估計(jì)問題可以分為點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。
1.點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤
良好估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)
①無偏性——用多個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)的估計(jì)值，其偏差的平均數(shù)為零
②有效性——當(dāng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)不止一個(gè)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，無偏估計(jì)變異小者有效性高，變異大者有效性低，即方差越小越好
③一致性——當(dāng)樣本容量無限增大時(shí)，估計(jì)值應(yīng)能夠越來越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)
④充分性——樣本的統(tǒng)計(jì)量是否充分地反映了全部n個(gè)數(shù)據(jù)所反映總體的信息

點(diǎn)估計(jì)：用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)，因?yàn)闃颖窘y(tǒng)計(jì)量為數(shù)軸上某一點(diǎn)值，估計(jì)結(jié)果也以一個(gè)點(diǎn)的數(shù)值表示

區(qū)間估計(jì)：根據(jù)估計(jì)量以一定可靠程度推斷總體參數(shù)所在的區(qū)間范圍，
      這個(gè)區(qū)間就叫做置信區(qū)間，相應(yīng)的概率成為置信度，這兩個(gè)量是共通變化的，置信區(qū)間越大，置信度越高；
      區(qū)間估計(jì)是用數(shù)軸上的一段距離表示未知參數(shù)可能落入的范圍及落入該范圍的概率。

標(biāo)準(zhǔn)誤：樣本平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)差
      總體方差未知時(shí)用估算的總體方差計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤。

2.總體平均數(shù)的估計(jì)

當(dāng)總體方差未知時(shí)，則使用t分布對應(yīng)置信度
3.標(biāo)準(zhǔn)差與方差的區(qū)間估計(jì)
（1）標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間估計(jì)

（2）方差的區(qū)間估計(jì)

（三）假設(shè)檢驗(yàn)
可以說，每一個(gè)實(shí)驗(yàn)的存在，僅僅是為了給事實(shí)一個(gè)反駁虛無假設(shè)的機(jī)會。    ——R.A.Fisher
1.假設(shè)檢驗(yàn)的原理
假設(shè)檢驗(yàn)：統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一種推論過程，通過樣本統(tǒng)計(jì)量得出的差異作為一般性結(jié)論，判斷總體參數(shù)之間是否存在差異
      假設(shè)檢驗(yàn)的實(shí)質(zhì)是對可置信性的評價(jià)，是對一個(gè)不確定問題的決策過程，其結(jié)果在一定概率上正確的，而不是全部。

（1）兩類假設(shè)
對于任何一種研究而言，其結(jié)果無外乎有兩種可能,即是否符合我們預(yù)期。一般來說證偽一件事情比證實(shí)一件事容易，在行為科學(xué)的研究中，由于我們無法了解總體中除樣本以外的個(gè)體情況，因此嘗試拒絕虛無假設(shè)的方法優(yōu)于證明備擇假設(shè)。

備則假設(shè)：因變量的變化、差異卻是是由于自變量的作用
      往往是我們對研究結(jié)果的預(yù)期，用H1表示。
虛無假設(shè)：實(shí)際上什么也沒有發(fā)生，我們所預(yù)計(jì)的改變、差異、處理效果都不存在
      觀察到的差異只是隨機(jī)誤差在起作用，用H0表示。

（2）小概率原理
小概率原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的

至于什么就算小概率事件，那就是我們在計(jì)算前明確的決策標(biāo)準(zhǔn)，也就是顯著性水平α。在檢驗(yàn)過程中，我們假設(shè)虛無假設(shè)是真實(shí)的，同時(shí)計(jì)算出觀測到的差異完全是由于隨機(jī)誤差所致的概率。之后將其與我們實(shí)現(xiàn)界定好的顯著性水平比較，從而考慮是否依據(jù)小概率原理來拒絕虛無假設(shè)。

（3）兩類錯(cuò)誤
（本部分內(nèi)容請參照實(shí)心信號檢測論對照來看。 ——MJ注）
Ⅰ型錯(cuò)誤：當(dāng)虛無假設(shè)正確時(shí)，我們拒絕了它所犯的錯(cuò)誤，也叫α錯(cuò)誤
      研究者得出了處理有效果的結(jié)論，而實(shí)際上并沒有效果，即所謂“無中生有”
Ⅱ型錯(cuò)誤：當(dāng)虛無假設(shè)是錯(cuò)誤的時(shí)候，我們沒有拒絕所犯的錯(cuò)誤，也叫β錯(cuò)誤
      假設(shè)檢驗(yàn)未能偵查到實(shí)際存在的處理效應(yīng)，即所謂“失之交臂”

兩類檢驗(yàn)的關(guān)系
①α+β不一定等于1
②在其他條件不變的情況下，α與β不可能同時(shí)減小或增大

（4）檢驗(yàn)的方向性
單側(cè)檢驗(yàn)：強(qiáng)調(diào)某一方向的檢驗(yàn)，顯著性的百分等級為α
雙側(cè)檢驗(yàn)：只強(qiáng)調(diào)差異不強(qiáng)調(diào)方向性的檢驗(yàn)，顯著性百分等級為α/2

對于同樣的顯著性標(biāo)準(zhǔn)，在某一方向上，單側(cè)檢驗(yàn)的臨界區(qū)域要大于雙側(cè)檢驗(yàn)，因此如果差異發(fā)生在該方向，單側(cè)檢驗(yàn)犯β錯(cuò)誤的概率較小，我們也說它的檢驗(yàn)效力更高。

（5）假設(shè)檢驗(yàn)的步驟
①根據(jù)問題要求，提出虛無假設(shè)和備擇假設(shè)
②選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量
③確定檢驗(yàn)的方向性并規(guī)定顯著性水平
④計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值
⑤將統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值對比做出決策
2.樣本與總體平均數(shù)差異的檢驗(yàn)
（1）總體正態(tài)分布且方差已知
其中
和分別為總體的平均數(shù)和方差

（2）總體正態(tài)分布而方差未知
其中而
為用樣本和方估算出的總體方差
3.兩樣本平均數(shù)差異的檢驗(yàn)
這是兩樣本平均數(shù)檢驗(yàn)的通用公式，所不同的僅在于標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算
（1）總體方差已知
①獨(dú)立樣本

②相關(guān)樣本
其中r為兩組變量之間的相關(guān)系數(shù)

（2）總體方差未知
①獨(dú)立樣本(方差差異不顯著時(shí))

②相關(guān)樣本
a.相關(guān)系數(shù)未知：其中d為每一對對應(yīng)數(shù)據(jù)之差
b.相關(guān)系數(shù)已知：
4.方差齊性檢驗(yàn)
（1）樣本方差與總體方差
當(dāng)從正態(tài)分布的總體中隨機(jī)抽取容量為n的樣本時(shí)，其樣本方差與總體方差比值服從χ2分布：
由自由度查χ2表，依據(jù)顯著性水平判斷

（2）兩個(gè)樣本方差之間
①獨(dú)立樣本
其中當(dāng)兩樣本自由度相差不大時(shí)可用代替
查表時(shí)
②相關(guān)樣本
其中
5.相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)
①積差相關(guān)
a.當(dāng)ρ=0時(shí)：其中
b.當(dāng)ρ≠0時(shí)：先通過查表將r和ρ轉(zhuǎn)化為費(fèi)舍Zr和Zρ然后進(jìn)行Z檢驗(yàn)

②等級相關(guān)和肯德爾W系數(shù)
在總體相關(guān)系數(shù)為零時(shí)：查各自的相關(guān)系數(shù)表，判定樣本相關(guān)顯著
（四）方差分析
1.方差分析的原理與基本過程
（1）方差分析的概念
方差分析的目的是推斷多組資料的總體均數(shù)是否相同，也即檢驗(yàn)多組數(shù)據(jù)之間的均數(shù)差異是否有統(tǒng)計(jì)意義。當(dāng)我們用多個(gè)t檢驗(yàn)來完成這一過程時(shí)，相當(dāng)于從t分布中隨機(jī)抽取多個(gè)t值，這樣落在臨界范圍之外的可能大大增加，從而增加了Ⅰ型錯(cuò)誤的概率。我們可以把方差分析看作t檢驗(yàn)的增強(qiáng)版。

（2）方差的可分解性
方差分析依據(jù)的基本原理就是方差的可加性原則。作為一種統(tǒng)計(jì)方法，方差分析把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的總變異分解為若干個(gè)不同來源的分量。數(shù)據(jù)的變異由兩部分組成：
組內(nèi)變異：由于實(shí)驗(yàn)中一些希望加以控制的非實(shí)驗(yàn)因素和一些未被有效控制的未知因素造成的變異，如個(gè)體差異、隨機(jī)誤差
      組內(nèi)變異是具體某一個(gè)處理水平之內(nèi)的，因此在對總體變異進(jìn)行估計(jì)的時(shí)候不涉及研究的處理效應(yīng)。
組間差異：不僅包括組內(nèi)變異的誤差因素，還包括了是不同組所接受的實(shí)驗(yàn)處理不同造成的影響
      如果研究數(shù)據(jù)的總變異是由處理效應(yīng)造成的，那么組間變異在總變異中應(yīng)該占較大比例。
表示組間方差，，，表示實(shí)驗(yàn)條件的個(gè)數(shù)
表示組內(nèi)方差，，，表示每種實(shí)驗(yàn)條件中的被試個(gè)數(shù)

（3）方差分析的基本假定
①樣本必須來自正態(tài)分布的總體
②每次觀察得到的幾組數(shù)據(jù)必須彼此獨(dú)立
③各實(shí)驗(yàn)處理內(nèi)的方差應(yīng)彼此無顯著差異
  為了滿足這一假定，我們可采用最大F比率法，求出各樣本中方差最大值與最小值的比，通過查表判斷。

（4）方差分析的基本步驟
Ⅰ 求平方和
①總平方和是所有觀測值與總平均數(shù)的離差的平方總和
其中表示所有數(shù)據(jù)的總合，表示總共的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)
②組間平方和是每組的平均數(shù)與總平均數(shù)的離差的平方再與該組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的乘積的總和
，為數(shù)據(jù)總均值，為每組數(shù)據(jù)和，為該組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)
③組內(nèi)平方和是各被試的數(shù)值與組平均數(shù)之間的離差的平方總和

（注：推薦用于檢驗(yàn)之前的計(jì)算，而不是被當(dāng)作快捷計(jì)算的方式）

Ⅱ 計(jì)算自由度

Ⅲ 計(jì)算均方

Ⅳ 計(jì)算F值

Ⅴ 查F值表進(jìn)行F檢驗(yàn)并做出判斷
Ⅵ 陳列方差分析表
2.完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析

3.隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析
隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)中同質(zhì)被試參加所有水平下測試，因此，組間變異不包括個(gè)體差異的影響。而每一個(gè)水平之內(nèi)仍然是由不同被試共同完成的，于是我們?nèi)匀粚⒖傮w變異分為組間變異和組內(nèi)變異，但需要進(jìn)一步將組內(nèi)變異分為被試間變異和誤差引起的變異。
這樣，我們就可以在F檢驗(yàn)時(shí)，將被試間變異從組內(nèi)變異中去除，使得檢驗(yàn)結(jié)果更靈敏。

個(gè)體誤差用表示，而隨機(jī)誤差用表示，它們的和等于組內(nèi)差異

其中而；
其中為同一區(qū)組的數(shù)據(jù)之和，或者同一被試在不同處理下的乘積的和

讓我們回憶一下兩個(gè)相關(guān)樣本平均數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)那里出現(xiàn)的情況和這里的多樣本方差分析相仿。也就是說，對于同樣的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，當(dāng)我們把它看作是由獨(dú)立樣本得出或相關(guān)樣本得出時(shí)，就要采用不同的檢驗(yàn)方法，從而有可能得出不同的結(jié)論。在假定為相關(guān)樣本的數(shù)據(jù)得出的顯著性差異如果換作背景是獨(dú)立樣本就可能只能接受虛無假設(shè)。這實(shí)際上是因?yàn)橄嚓P(guān)情況下樣本之間差異的減小使得對應(yīng)檢驗(yàn)要使用的統(tǒng)計(jì)量變大，檢驗(yàn)也就更加靈敏了。
4.兩因素方差分析
在兩因素實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，研究者同時(shí)用兩種影響因素作為自變量研究它們對某一因變量的影響，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果比單因素設(shè)計(jì)更實(shí)際。
（1）交互作用與主效應(yīng)
主效應(yīng)：某個(gè)自變量的不同水平對因變量所造成的影響的差異
交互作用：一個(gè)因素對因變量的影響因另一個(gè)因素的不同水平而不同
      如果兩個(gè)因素彼此獨(dú)立，即不管其中一個(gè)因素處于哪個(gè)水平，另一個(gè)因素的不同水平均值間的差異都保持一致，則
      不會產(chǎn)生交互作用。

（2）統(tǒng)計(jì)原理
為了看清各因素獨(dú)立作用和交互作用的影響，我們進(jìn)一步將組間差異分解：

其中與分別表示a因素與b因素的組間平方和，表示交互作用的平方和
；；；

（3）F的計(jì)算（這里討論獨(dú)立樣本）
其中這里的是假定全體數(shù)據(jù)只根據(jù)a因素分為兩組所計(jì)算的組間差異
其中這里的也同樣為假設(shè)只根據(jù)b因素分組所計(jì)算的組間差異
其中這里的為總體組間差異減去和得到
5.事后檢驗(yàn)
由方差分析只能得到顯著差異的結(jié)果，事后檢驗(yàn)使我們能夠比較各組，發(fā)現(xiàn)差異具體產(chǎn)生在什么地方。事后檢驗(yàn)采用成對比較的方式，每次比較兩個(gè)組的差異。這里我們只介紹常用的紅絲帶檢驗(yàn)而不是過氣的內(nèi)褲檢驗(yàn)。

HSD檢驗(yàn)法
Ⅰ 把要比較的各個(gè)平均數(shù)從小到大作等級排列
Ⅱ 處理?xiàng)l件的數(shù)目，自由度查表得到相應(yīng)顯著性的值
Ⅲ 計(jì)算作為臨界值的（當(dāng)為隨機(jī)區(qū)組時(shí)用代替）
Ⅳ 把要比較的兩個(gè)平均數(shù)的差與臨界值比較，若超過則認(rèn)為差異顯著
（五）回歸分析
1.一元線性回歸分析
（1）基本概念
回歸分析：通過大量的觀測發(fā)現(xiàn)變量之間存在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，并用一定的數(shù)學(xué)模型表示變量相關(guān)關(guān)系的方法
      只有一個(gè)自變量并且統(tǒng)計(jì)量成大體一次函數(shù)的線性關(guān)系的回歸分析叫一元線性回歸分析。

在一元線性回歸中，我們用作為回歸方程，代表X與Y的線性關(guān)系
其中：表示該直線在Y軸的截距
   表示該直線的斜率也就是的變化率
   為自變量，通常是研究者事先選定的數(shù)值
   為對應(yīng)于對變量Y的估計(jì)值

（2）最小二乘法
所謂最小二乘法，就是如果散點(diǎn)圖中每一點(diǎn)沿Y軸方向到直線的距離的平方和最小，則認(rèn)為這條直線的代表性最好，即使用其作為回歸方程。這樣我們使得最小。

其中；
2.一元線性回歸方程的檢驗(yàn)
（1）方差分析法

其中而其
其
其

（2）回歸系數(shù)檢驗(yàn)
其中
而，它的意義是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，表示以為中心值上下波動的標(biāo)準(zhǔn)差
（在知道相關(guān)系數(shù)時(shí)）
3.一元線性回歸方程的應(yīng)用
回歸分析的目的，就是在測定自變量X與因變量Y的關(guān)系為顯著相關(guān)后，借助于你和的較優(yōu)回歸模型來預(yù)測在自變量X為一定值時(shí)因變量Y的發(fā)展變化。當(dāng)我們根據(jù)給出的X值而預(yù)測得到點(diǎn)估計(jì)Y時(shí)，Y只代表了預(yù)測值的中點(diǎn)，而計(jì)算在特定置信區(qū)間內(nèi)的區(qū)間估計(jì)則依靠以下公式：
根號部分當(dāng)n很大時(shí)近似為1
其中t的自由度取 n-2，為對應(yīng)該的方程解出的點(diǎn)估計(jì)Y值
（六）卡方檢驗(yàn)
其中為觀察次數(shù)；為理論期望次數(shù)
公式的適用范圍要求觀察彼此之間獨(dú)立，并且單位格的理論期望次數(shù)不能小于5（小于5時(shí)可與相鄰的組合并）
1.擬合度檢驗(yàn)
χ2匹配度檢驗(yàn)是用樣本數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)總體分布的形狀或比率，以確定與假設(shè)的總體性質(zhì)的匹配度。
其中為分類數(shù)
2.獨(dú)立性檢驗(yàn)
χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)幫助我們考察多種因素的不同分類之間是否獨(dú)立。它是檢驗(yàn)行和列兩個(gè)變量彼此有無關(guān)聯(lián)的一種統(tǒng)計(jì)方法，適用于命名型變量和順序型變量。
其中和分別為行列分類數(shù)
（七）非參數(shù)檢驗(yàn)
1.獨(dú)立樣本均值差異的非參數(shù)檢驗(yàn)
（1）秩和檢驗(yàn)法
①兩樣本容量均小于10
將容量較小的樣本的各數(shù)據(jù)等級求和，T值檢驗(yàn)表中的臨界值比較。
②兩樣本容量均大于10

其中而

（2）中數(shù)檢驗(yàn)法#
①將兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)混合從小到大排列
②求混合排列的中數(shù)
③分別找出每個(gè)樣本中大于和小于中數(shù)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，列成四格表（中數(shù)本身不在內(nèi)）
④對四格表卡方檢驗(yàn)公式進(jìn)行計(jì)算
2.相關(guān)樣本均值差異的非參數(shù)檢驗(yàn)
（1）符號檢驗(yàn)法
①對子數(shù)小于25
對于樣本每對數(shù)據(jù)之差來記錄符號，求出正負(fù)號分別的個(gè)數(shù)，用其中較小的個(gè)數(shù)作為觀測值r對照臨界值表檢驗(yàn)
②對子數(shù)大于25

其中而

（2）維爾克松檢驗(yàn)法
①對子數(shù)小于25時(shí)
a.把相關(guān)樣本對應(yīng)數(shù)據(jù)之差值按照絕對值從小到大排列
b.在各等級前加上原來差值的正負(fù)號
c.分別求出正號等級和負(fù)號等級的秩和，取其中較小的值作為T
d.由n值查表檢驗(yàn)T
②對子數(shù)大于25時(shí)

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