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考研論壇

標(biāo)題: A*和A的秩相等么求證明 [打印本頁(yè)]

作者: yyl517327969 時(shí)間: 2012-5-19 21:46
標(biāo)題: A*和A的秩相等么求證明
RTRT

作者: xjtulx 時(shí)間: 2012-5-19 21:59
r(A)=n，則r(A*)=n
r(A)=n-1，則r(A*)=1
r(A)<n-1，則r(A*)=0

作者: 泚岸彼岸 時(shí)間: 2012-5-19 22:03
樓上正解

作者: yyl517327969 時(shí)間: 2012-5-19 22:34

xjtulx 發(fā)表于 2012-5-19 21:59
r(A)=n，則r(A*)=n
r(A)=n-1，則r(A*)=1
r(A)

為什么呢

作者: xjtulx 時(shí)間: 2012-5-19 23:02

r(A)=n，則r(A*)=n，這個(gè)好證明，由AA*=|A|E就知道了。
r(A)<n-1，則r(A*)=0，也好證明，由A*的定義就知道了，A*的每個(gè)元素都是0，是零矩陣。

當(dāng)r(A)=n-1,方程Ax=0的解系只有一個(gè)自由變量（這邊可以看線性方程組那章，就是化成階梯形后證明的），而A*的每列都是Ax=0的解，A*的各元素不全為0（因?yàn)閞(A)=n-1），所以r(A*)=1。

作者: xjtulx 時(shí)間: 2012-5-19 23:10
還有個(gè)定理，若AB=O，則r(A)+r(B)<=n
也能用來證明r(A)=n-1，則r(A*)=1

作者: yyl517327969 時(shí)間: 2012-5-19 23:35

xjtulx 發(fā)表于 2012-5-19 23:02
r(A)=n，則r(A*)=n，這個(gè)好證明，由AA*=|A|E就知道了。
r(A)

因?yàn)锳*每一列都是Ax=0的解所以沒兩列都線性相關(guān)么

作者: xjtulx 時(shí)間: 2012-5-19 23:50

yyl517327969 發(fā)表于 2012-5-19 23:35
因?yàn)锳*每一列都是Ax=0的解所以沒兩列都線性相關(guān)么

是因?yàn)閞(A)=n-1，那么方程組Ax=0基礎(chǔ)解系只有一個(gè)自由變量，而AA*=O，即A*的每列都是Ax=0的解，所以A*的每?jī)闪斜厝欢际蔷€性相關(guān)的。

就是這么個(gè)邏輯關(guān)系。

作者: kaoyangea 時(shí)間: 2013-9-14 23:06
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