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考研論壇

標題: 有關方向導數(shù)于偏導數(shù)的問題。 [打印本頁]

作者: d5121226 時間: 2011-11-10 21:39
標題: 有關方向導數(shù)于偏導數(shù)的問題。
沿著x軸方向的方向導數(shù)與對x的騙到的關系式？
書上又一個反例是（x^2+y^2）^1/2偏導數(shù)不存在，但是沿著x軸正方向的方向導數(shù)存在。。

之前在網(wǎng)上找過有回答說對x求偏導要求x->0+和x->0-時(f(x,0)-f(0,0))/x存在且相等

而偏導數(shù)的定義中要求的是t->0+
但是方向導數(shù)中要求是(f(x+tcosa,y+tcosb)-f(x,y))/t在t->0+時存在的。。。

沿著（1,0）和（-1,0）的方向導數(shù)不就是相當于 x->0+和x->0-啊？

而且好像又一個結論是偏導數(shù)存在能夠推出沿著坐標軸的方向導數(shù)存在。。。
那么沿著任意方向的方向導數(shù)都存在能夠的出來什么。。。可微應該不能的吧？偏導數(shù)存在呢？

有：可微=》方向倒數(shù)存在
偏導連續(xù)=》梯度存在
而偏導連續(xù)=》可微那么偏導連續(xù)=》方向導數(shù)存在。。
而如果是梯度存在呢？應該能推出偏導存在，以及方向導數(shù)存在。。可微呢？

作者: 414204458 時間: 2011-11-10 22:15
可微能推出方向導數(shù)存在，能推出偏導數(shù)存在，方向導數(shù)和偏導數(shù)之間沒有必然的關系

作者: 秦曉磊 時間: 2011-11-11 00:22
mark困了明天看

作者: 414204458 時間: 2011-11-11 09:22
恩，平時求的偏導數(shù)就是沿著坐標軸的方向導數(shù)，一個特殊情況吧

作者: 414204458 時間: 2011-11-11 22:41
沿著（1,0）和（-1,0）的方向導數(shù)應該不是x趨于多少的問題，應該是t趨于多少的問題吧，我記得書上講的概念中變量是t的，不是x，你再看一下書，我現(xiàn)在手頭上沒書

作者: Mengxuer 時間: 2011-11-12 00:01
沿著x軸正方向的方向導數(shù)=lim(x→0+) (f(x,0)-f(0,0))*
沿著x軸負方向的方向導數(shù)=lim(x→0-) (f(x,0)-f(0,0))*×(-1)

作者: duder 時間: 2011-11-12 08:37
看ls說的意思應該是偏導是兩個方向的方向導數(shù)是一個方向的

作者: d5121226 時間: 2011-11-12 22:32
好像有點理解了。呵呵

按照課本上的方向導數(shù)的定義

沿著x軸正方向的方向導數(shù)為t->0+時(f(x+t,o)-f(0,0))/t
沿著x軸負方向的方向導數(shù)為t->0+時(f(x-t,o)-f(0,0))/t

而x的偏導數(shù)是limx->0+(f(x,0)-f(0,0))/x=limx->0-(f(x,0)-f(0,0))/x

而limx->0-(f(x,0)-f(0,0))/x=lim(t→0-) (f(x+t,0)-f(0,0))/t

那么沿著x軸正方向的方向導數(shù)=f'x+(0,0)
而沿著x軸負方向的方向導數(shù)= -lim(t→0+) (f(x-t,0)-f(0,0))/(-t)=-lim(t→0-) (f(x+t,0)-f(0,0))/t=-f'x-(0,0)

所以也就得出了結論：當沿著x軸的正方向的方向導數(shù)+沿著x軸負方向的方向導數(shù)=0（或者說互為相反數(shù)）時，
對x的偏導數(shù)f'x(0,0)存在。

作者: drliao 時間: 2011-11-14 21:41
mark

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