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考研論壇

標題: 求高手解一道題 本人不才 兩個小時全都給它浪費掉了 [打印本頁]

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-11 23:49
標題: 求高手解一道題 本人不才 兩個小時全都給它浪費掉了


此題是吉米多維奇第812題  
無意中同學問我  害得我一夜輾轉反側
最終經過多位研友的幫助完成了一個和吉米不同的方法    完全是當做興趣來研究了，僅供大家參看，順便看看還有沒有不嚴謹的地方，  尤其感謝 6044340 同學糾正了我證明上的不嚴謹
常數函數因為特殊性也比較簡單所以下邊不做討論

題目
h(s+t)=h(s)h(t)    函數h(x) 連續   

求證  h(x)=e*(-λt)         -λt在e的上邊




思路

一個連續且嚴格單調的函數在一點不可導有2種情況    （這就排除了震蕩的情況）
1，定義式極限趨于無窮 （或者左無窮或右 或都無窮）  也就是斜率無窮大
  2， 左右右導數存在不相等      

第一步 證單調
單調性用比值   f(x+Δx)/f(x) =f(Δx)      設 Δx>0    Δx趨于0但是比0大      
設它的函數值大于f(0)=1 （f(0)=1 用賦值很容易求得）  

前項比后項就大于1 ，那么整個函數就遞增   
如果 設它小于那么 就遞減      
相等 就是常數函數
所以嚴格單調


第二步 證左導數，右導數存在
如果定義式極限趨于無窮  那么與條件不符   因為在0點斜率為無窮大就是Y軸了 而且取不到f(0)=1  也不是嚴格單調的 所以得到  左右導數的極限存在  主要看是否相等
此處因為是嚴格單調函數所以排除了震蕩的情況



第三步 證左右導數相等  見圖

此圖是研友幫忙整理

用   f(x)*f(-x)=1  得到二者的替換   然后    用定義考慮在0左右的 導數情況   最后能導出2者不管符號還是趨近程度相等 （因為導出是同一個式子）  中間要用到函數連續的條件


然后解微分方程 最后求得答案

    如果大家有好的方法跟我分享下  或者我的證明有錯誤

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-12 00:03
高手都睡覺了么  。。。。。。。。看來今晚睡不著了  呼呼。。。。。

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作者: chongyou2012    時間: 2011-8-12 00:08
學過信號與系統嗎？根據時域和頻域的關系，可以用傅立業變換或者拉譜拉斯變換證明！試試看！現在躺在床上，明天我試試。

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作者: wolock    時間: 2011-8-12 00:09
我發現原題了{:soso_e141:}，這不是吉米多維奇第812題么，不過題目還有一個前提，就是h(x)不是恒為0的常數

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-12 00:09

chongyou2012 發表于 2011-8-12 00:08
學過信號與系統嗎？根據時域和頻域的關系，可以用傅立業變換或者拉譜拉斯變換證明！試試看！現在躺在床上， ...

汗 大神 我這沒學過  你是數學系的？？

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-12 00:10

wolock 發表于 2011-8-12 00:09
我發現原題了，這不是吉米多維奇第812題么，不過題目還有一個前提，就是h(x)不是恒為0的常數 ...

帥哥 有能否 告知下 答案  今晚不想失眠啊  我這人 有不會的題 大腦就會一直想的。

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作者: wolock    時間: 2011-8-12 00:15
這怎么上傳圖片啊，我不會用，不然你去網上下一本吧，網上多得很

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作者: wolock    時間: 2011-8-12 00:18
LZ不是考數一的吧，數一能考到這么難？

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-12 00:21

wolock 發表于 2011-8-12 00:18
LZ不是考數一的吧，數一能考到這么難？

我考數三   遇到一個不錯的題就研究一下  正好同學 問我    沒想到一下卡住了  從九點半弄到11點半   。。。。  
幸好遇到你 不然 我今晚肯定失眠的    3Q
考研不會有這種難度吧？

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作者: wolock    時間: 2011-8-12 00:24

皇家粥少 發表于 2011-8-12 00:21
我考數三   遇到一個不錯的題就研究一下  正好同學 問我    沒想到一下卡住了  從九點半弄到11點半   。 ...

我覺得數學系的有可能考到這個程度，高數要能到這個程度估計至少3/4的人做不了

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作者: chongyou2012    時間: 2011-8-12 00:25

皇家粥少 發表于 2011-8-12 00:09  汗 大神 我這沒學過 你是數學系的？？

學電子的，我考通信，跟電子信息有關的專業都要學！

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-12 00:30

wolock 發表于 2011-8-12 00:24
我覺得數學系的有可能考到這個程度，高數要能到這個程度估計至少3/4的人做不了 ...

我看了 下 809 那個方法  好像高中時有證明題用過類似的  （記憶中是）     我主要卡在這個方法上了   推出f(0)=1        
得到f(x)=1/f(-x)     我一直想著兩邊積分求 ，  在求個微分方程   結果悲催了。。。哎

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-12 00:31

chongyou2012 發表于 2011-8-12 00:25
學電子的，我考通信，跟電子信息有關的專業都要學！

厲害 你那些 我第一次聽說過 {:soso_e127:}

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作者: wolock    時間: 2011-8-12 00:35

皇家粥少 發表于 2011-8-12 00:30
我看了 下 809 那個方法  好像高中時有證明題用過類似的  （記憶中是）     我主要卡在這個方法上了   推 ...

汗，那書我買了一直放著，都沒仔細看，等明天我也把這個題目拿來研究下

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作者: wolock    時間: 2011-8-12 00:36

皇家粥少 發表于 2011-8-12 00:31
厲害 你那些 我第一次聽說過

不知道樓主要不要考傅里葉級數，好像那是傅里葉變換的基礎

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-12 07:50

wolock 發表于 2011-8-12 00:36
不知道樓主要不要考傅里葉級數，好像那是傅里葉變換的基礎

哈哈 數3不考 果斷 不看      ，  看了下那本書好像里邊的題都很不錯 就是太多了點。。。。。。。。。。。

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作者: yjzll012345    時間: 2011-8-12 10:32
提示: 作者被禁止或刪除 內容自動屏蔽

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-12 11:39

yjzll012345 發表于 2011-8-12 10:32
先證可導性，然后兩邊求導。。。

題目的意思是 不可導  只連續   如果加上可導就把條件加強了     
因為連續所以我才考慮在我推出的那個式子上找原函數  最后在從原函數上求導數的    可惜本人功力有限這種方法沒做出來

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作者: yjzll012345    時間: 2011-8-12 19:10
提示: 作者被禁止或刪除 內容自動屏蔽

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-12 19:31

yjzll012345 發表于 2011-8-12 19:10
這個沒說可導，但是應該是可導的。這點你用定義驗證就行了。。。

哦 nice  帥哥  你提醒了我，瞬間思路全開        想到一種方法了 直接用定義然后得出一個  一階可分離微分方程  最后能解出來

哈哈   太愛你了  謝謝啦

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作者: asd1987131    時間: 2011-8-12 19:31
數二的奔潰

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-12 19:33

wolock 發表于 2011-8-12 00:09
我發現原題了，這不是吉米多維奇第812題么，不過題目還有一個前提，就是h(x)不是恒為0的常數 ...

受一位研友啟發  我想到一個很簡單的方法  直接用定義然后得出一個  很簡單的一階可分離微分方程  最后能解出來

別那本書上步驟簡單  哈哈  {:soso_e113:}

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-12 19:40

asd1987131 發表于 2011-8-12 19:31
數二的奔潰

。。。。。。。。。。。。。汗。。。。。。

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作者: tyangl2012    時間: 2011-8-12 21:07
這類題目大都是用定義求導解微分方程的。但是沒有說函數可導還是等高人

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作者: tyangl2012    時間: 2011-8-12 21:14

皇家粥少 發表于 2011-8-12 19:33
受一位研友啟發  我想到一個很簡單的方法  直接用定義然后得出一個  很簡單的一階可分離微分方程  最后能 ...

那個方法要函數在0點的導數存在

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作者: 06443420    時間: 2011-8-12 21:42

皇家粥少 發表于 2011-8-12 19:31
哦 nice  帥哥  你提醒了我，瞬間思路全開        想到一種方法了 直接用定義然后得出一個  一階可分離微 ...

能說說你微分的方法嗎，和證明可導的方法

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-12 21:42

tyangl2012 發表于 2011-8-12 21:14
那個方法要函數在0點的導數存在

這題昨天解決了  用的是另一種方法 那個方法有點麻煩   想看看有沒有簡單的

剛才那哥們提醒了下   發現確實沒給在0的導數       不過我后來證明出這個函數是嚴格單調 且有下界的

用ε-δ語言證的   證出那個函數在0的左導數和右導數同號且趨近的程度一致  那個不趨于無窮  所以導數存在   （一下子就麻煩超級多了）

還不如昨天吉米什么那本書上的方法。（那個也麻煩）


這個估計是數學系需要掌握的   考研肯定不會這BT   純當娛樂了    剛才又浪費1小時證明它有下界 嚴格單調什么的  哎。。。。。

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-12 21:45

06443420 發表于 2011-8-12 21:42
能說說你微分的方法嗎，和證明可導的方法

定義證  配合f(0)等于1

不過需要  在0可導  

后來用ε-δ語言證出嚴格單調加上有界等等能證出  可是超級麻煩

有另一種方法 你翻前幾頁看看   在一本吉米什么的書上  那本書上的方法也麻煩

純當興趣娛樂了 吧  {:soso_e127:}

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作者: 06443420    時間: 2011-8-12 22:07

皇家粥少 發表于 2011-8-12 21:45
定義證  配合f(0)等于1

不過需要  在0可導  

那本書我看了，感覺很難想到那種方法，所以想看看有沒有一些比較常規能想到的方法，如果你說要加上0可導這個條件，我想我明你證明可導的方法了，但如何構造微分方程呢

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-12 23:03

wolock 發表于 2011-8-12 00:36
不知道樓主要不要考傅里葉級數，好像那是傅里葉變換的基礎

帥哥 看看我證得有問題沒    。。。。。。。。。。。。。。。。。呼呼

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作者: 06443420    時間: 2011-8-13 09:17

06443420 發表于 2011-8-12 22:07
那本書我看了，感覺很難想到那種方法，所以想看看有沒有一些比較常規能想到的方法，如果你說要加上0可導 ...

一個連續函數在一點不可導有2種情況  1，定義式極限趨于無窮 （或者左無窮或右 或都無窮）  也就是斜率無窮大
  2， 左右右導數存在不相等   

x*sin(1/x)，x=0時，函數=0。這個函數既連續導數也不存在，但已經不屬于你上面的兩種情況了，它是震蕩的。當然，這個就不單調遞增，但是你的證明要排除掉這種可能性的話估計比較難。

雖然我還是挺好奇你用E-N如何證明它單調遞增的，不過這個還是其次，主要是考研有機會加多一個條件說可導，讓你求微分方程再解，這個我還是不懂如何微分{:soso_e149:}

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作者: 06443420    時間: 2011-8-13 09:20

一個連續函數在一點不可導有2種情況  1，定義式極限趨于無窮 （或者左無窮或右 或都無窮）  也就是斜率無窮大   2， 左右右導數存在不相等    x*sin(1/x)，x=0時，函數=0。這個函數既連續導數也不存在，但已經不屬于你上面的兩種情況了，它是震蕩的。當然，這個就不單調遞增，但是你的證明要排除掉這種可能性的話估計比較難。 雖然我還是挺好奇你用E-N如何證明它單調遞增的，不過這個還是其次，主要是考研有機會加多一個條件說可導，讓你求微分方程再解，這個我還是不懂如何微分{:soso_e149:}

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-13 09:38

06443420 發表于 2011-8-13 09:20
[/td][/tr]

[/table]

那個其實 不需要他單調好像也可以的 我是為了方便理解     因為 導數趨于無窮的話  在0那點就會是y軸了   就不符合函數的定義 是 就會變成多對1的關系   不知道你理解沒有      我不想扯當映射上去 那樣容易把一部分人弄暈 感覺

這題不會是考研的題 她的條件太苛刻     我純是興趣   別人問我  我這人遇到不會的 如果當天沒弄好的話  晚上就睡不著了

單調性用比值   最后前項比后項=f(Δx)     先考慮一邊的情況      即X大于0    Δx  趨于0但是比0大      我設他的函數值大于0的  也就是 1  前項比后項就大于1     那么 整個函數就遞增  因為我是任取的   如果 我設他小于那么  就遞減       相等 就是常數函數

結合他的下界是0 所以只能嚴格遞增     我說的是要想把他說清楚的話用 柯西語言     其實理解的話不難



至于微分方程   你按定義做導數   最后得到只要0這點可導 整個函數可導    最后那個等試 就是一個導數和他函數的關系   記得吧0那點導數設為常數      應該很簡單吧

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作者: 06443420    時間: 2011-8-13 10:20
好的，謝謝，我再看看，我也知道考研不會考，不過挺感興趣

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作者: 06443420    時間: 2011-8-13 10:33
對，那個微分的確好簡單，昨晚我說明白為什么0可導則整個函數可導時就看到那個式子了，但今天早上又傻了，麻煩你啦，不好意思{:soso_e113:}

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-13 10:49

06443420 發表于 2011-8-13 10:33
對，那個微分的確好簡單，昨晚我說明白為什么0可導則整個函數可導時就看到那個式子了，但今天早上又傻了， ...

你感興趣的話，最好把他研究出完整的步驟吧  和大家分享下  我這打符號太糾結  加上打字也不怎么快 想傳個圖片還失敗了， 有時候打字又表達不清  。。。。。。。。。。。。。嗚嗚

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作者: 06443420    時間: 2011-8-13 11:15

皇家粥少 發表于 2011-8-13 10:49
你感興趣的話，最好把他研究出完整的步驟吧  和大家分享下  我這打符號太糾結  加上打字也不怎么快 想傳 ...

響應房主號召，我第一次上傳圖片，先讓房主確認一下是不是他的原意先，其中紅字部分是我覺得不對的地方。式子進行了簡化的處理，并不標準，dx表示x趨于0，右上角有符號的表示不同方向趨于0， 式子相等，故相等，這個比較低級的語法錯誤，大家請忽略

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作者: 06443420    時間: 2011-8-13 12:26

06443420 發表于 2011-8-13 11:15
響應房主號召，我第一次上傳圖片，先讓房主確認一下是不是他的原意先，其中紅字部分是我覺得不對的地方 ...

點評的字數原來有限制。。。。。我舉的函數你是很容易找到破綻的，因為題目要的函數是唯一的，我只是拋給你這樣的問題，你能證明x=0處左右導數式子相同但皆不存在的函數不能單調遞增嗎？形象點可以想象把我舉例的函數45度傾斜，當然了，這個都不是單調遞增，舉例而已。你能證明x=0處左右導數不存在的函數，在x=0時，不能=1嗎？把舉例的函數向上平移1個單位已經可以了。我其實只是想說明你的證明并不嚴謹，要嚴謹的話恐怕課本里的知識沒辦法做到，當然，我也是希望真有課本知識就夠的方法才討論那么久的。。。。。

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-13 13:38

06443420 發表于 2011-8-13 12:26
點評的字數原來有限制。。。。。我舉的函數你是很容易找到破綻的，因為題目要的函數是唯一的，我只是拋給 ...

具體的 我剛才給你發了     你回頭看看我說的         咱倆的問題應該就是在分母不存在那點上


導數定義其實就是兩個無窮小的比    兩個無窮小之比要么為0 要么為無窮要么 為常數

為0，常數都是存在導數的范疇    我用單調或者用f(0)這點的值能說明導數不能是無窮大     那么就證明左右導數必存在

然后再證的相等  其實 就已經把你考慮的那種情況排除掉了   不知道你按這個思路走有沒有理解

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作者: 06443420    時間: 2011-8-13 17:14

皇家粥少 發表于 2011-8-13 13:38
具體的 我剛才給你發了     你回頭看看我說的         咱倆的問題應該就是在分母不存在那點上

我想指出的正是這句話不對導數定義其實就是兩個無窮小的比    兩個無窮小之比要么為0 要么為無窮要么 為常數，這句話忽略了兩個無窮小之比還可以是震蕩的，既不是無窮大，也不是常數，你排除了無窮這種情況就推論它左右導數必定存在，明顯有問題的吧，剛才有事出去了，回復得比較遲

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作者: 06443420    時間: 2011-8-13 17:21

06443420 發表于 2011-8-13 17:14
我想指出的正是這句話不對導數定義其實就是兩個無窮小的比    兩個無窮小之比要么為0 要么為無窮要么 為 ...

同時，震蕩的時候，左導和右導的極限表達式可以是相同的，但并不意味著它們就相等，可以是同時不存在的，呵呵，我承認我也執著了，這帖子都成了我們的聊天QQ了

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作者: 皇家粥少    時間: 2011-8-13 18:37

06443420 發表于 2011-8-13 17:21
同時，震蕩的時候，左導和右導的極限表達式可以是相同的，但并不意味著它們就相等，可以是同時不存在的， ...

汗 敗給你了 哈哈    是我不嚴謹  應該改成   一個連續且嚴格單調的函數  這種情況用我的條件 你看對么？ 應該把那個就排除了吧   
恩恩 倆個無窮小之比確實可以是震蕩型     

高數課本上回避這個沒說     這種無窮小的關系應該叫 不可比型吧。。。。。。

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作者: yjzll012345    時間: 2011-8-13 22:22
提示: 作者被禁止或刪除 內容自動屏蔽

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