標題: 有意思（16）無窮小的“階”與應用 [打印本頁] 作者: 戰地黃花 時間: 2010-11-30 11:37 標題: 有意思（16）無窮小的“階”與應用 微積分還有一個名稱，叫“無窮小分析”。
兩個無窮小的商求極限，既是典型的未定式計算，又有深刻的理論意義。即“無窮小的比較”。
如果商的極限為1，則分子分母為等價無窮小。極限為0 ，分子是較分母高階的無窮小。極限為其它實數，分子分母為同階無窮小。
為了考試，要盡可能記住一些常用的等價無窮小。
利用 Δy ~ d y （數學一，二用泰勒公式）生成等價無窮小 ——
當 f ′（x0）≠ 0 時 ，Δy ~ d y ，在原點計算Δy和d y ，得到常用的4個等價無窮小
sin x ~ x ； ln（1+x）~ x ；e xp（x）-1 ~ x ；√（1+ x）-1 ~ x ∕ 2
最好再記住 1-cos x ~ x 2 ∕ 2 （e xp（x）記以e為底的指數函數） 等價無窮小的復合拓展 ——
x→0 時，α (x)是無窮小，則 sin α (x) ~α (x) ； ln（1+α (x)）~ α (x) ，……
標準階無窮小與無窮小的階 ——
高等微積分 中，把 x→0（或0+）時，冪函數 y = （x的μ次方） 稱為μ 階無窮小。與它同階的無窮小，都是μ階無窮小。于是，常用的1階無窮小有，
x ， sin x ， tg x ， arcsin x ， arctg x ， e xp（x）-1
常用的2 階無窮小有 1- cos x 等價無窮小的差為高階無窮小 ——
值得記一記的有（常見的三階無窮小） x ? sin x ~ x 3 / 6
x ? lnx（1+ x）~ x2 / 2 ， exp（x）-（1 + x） ~ x2/2！ ，……
不同階的有限個無窮小的線性組合是無窮小。（“多項式型無窮小”。）它與其中最低階的那個無窮小同階。
比如 y = ln（1+x）+ 1-cos x 是1 階無窮小
再復雜一點， 5x ? sin x - cos x + 1 = 4x + （1- cos x ）+ （x ? sin x ），是1階無窮小
由于“等價無窮小的差”也可以說成是“無窮小的和”，或“無窮小的線性組合”，所以，“無窮小的和”，或“無窮小的線性組合”，其階數都是未定式。
無窮小的積是高階無窮小。
無窮小（在區間背景下）也是有界變量。所以，“無窮小與有界變量的積”是無窮小，但階數是未定式。
比如， x→0 時， x2 + 3x 與 x 同為1階。實際上，x 2 + 3x = x（x+3），后因子極限非0
但 x sin（1/x）的階數不能確定。 在階的意識下對0 / 0型未定式作結構分析與調整 ——
例1 x→∞， 求 lim x sin（2x/（x2+1））
分析 x→∞ 時，2x/（x2+1）是無窮小，sin（2x /（x2+1））~（2x /（x2+1），可替換。
例2 x→0 時， 求 lim (5x ? sin x - cos x + 1) / (3x - l nx)
分析 原極限 = lim (4x + 1- cos x + x ? sin x) / (2x +x -lnx)
分子分母都是“多項式型無窮小”。用“化0項法”， 分子分母同除以（商式中的）最低階的無窮小。 原極限 = 2
例3 x→0 時， 求 lim（1/ x2）ln（sin x / x）
分析（ 數三學過冪級數） sin x = x - x3 / 6 + ……
ln（sin x / x）= ln（1— x 2 / 6 + ……）~ —x 2 / 6 ，可替換。 無窮小怪例 ——不能確定階數的無窮小
怪例1 α = x sin（1/x）和β = x 都是無窮小，但是它們的商是震蕩因子sin（1/x），沒有極限。兩個無窮小不能比較。
更有意思的是，若 γ = x的k次方 ，則無論 k = 0.9,還是k = 0.99, k = 0.999,……，α總是比γ高階的無窮小。
怪例2 x → +∞ 時 ， l i m （x的n次方）∕exp（x）= 0 即 l i m （x的n次方）exp（-x）= 0
這表明：“x趨于 +∞ 時，指數函數exp（x）是比任意高次方的冪函數都還要高階的無窮大。”
或說， x趨于 +∞ 時， exp（-x）是“任意大階的”無窮小。它能“吞吸”任一有限階的無窮大。
怪例3 x → +∞ 時 ， lim l n x ∕ （x的δ次方）= 0
其中，δ是任意取定的一個很小的正數。這表明： x 趨于 +∞ 時，“對數函數lnx總是比 x的δ次方 都還要低階的無窮大。”或說，1 / l n x是“階數任意小” 無窮小。
無窮小的階與級數，廣義積分收斂性 ——
判斷級數，廣義積分收斂性，首先判斷絕對收斂性。
如果用“無窮小量”的語言來說，則，“級數收斂的必要條件是，n → +∞時 ，級數的通項是無窮小量。”
這個條件不是充分條件。如果我們已經判定正項級數的通項的無窮小階數為p ， 則p > 1時級數收斂，p≤1時級數發散。
“已經判定”是重要前提。請看（并記住）怪例
盡管1 / n ln n 是較 1/n 高階的無窮小，但是，通項為 1 / n ln n 的級數也發散.然而，通項為 1 / n (ln n)2 的級數收斂．你卻不能確定其無窮小階．
*若n → +∞時 ，兩個正項級數和的通項是同階無窮小，則這兩個級數或者都收斂，或者都發散。（這是極限形式的比較法的實質。）
例 ∑ Un為正項級數，下列結論中正確的是______
（A）若n → +∞時 ，lim n Un=0 ，則∑ Un收斂。
（B）若∑ Un收斂，則n → +∞時 ，lim n2 Un = 0
（C）若存在非零常數λ，使得n → +∞時 ，lim n Un = λ，則級數 ∑ Un發散。
（D）若級數∑ Un發散，則存在非零常數λ，使得lim n Un = λ
分析 （A）錯，條件雖然說明n → +∞時 ，Un是比1/n高階的無窮小，但我們不能確定其階數。
答案為（C），它說明n → +∞時 ，Un是與1/n 同階的無窮小。
