2.無窮大與無界變量
無窮大與無界變量是兩個概念。
無窮大的觀察背景是過程，無界變量的判斷前提是區(qū)間。
無窮小和無窮大量的名稱中隱含著它們（在特定過程中）的發(fā)展趨勢。而無界變量的意思是，在某個區(qū)間內(nèi)，其絕對值沒有上界。
在適當(dāng)選定的區(qū)間內(nèi)，無窮大可以是無界變量。
y = tgx（在x →π/2左側(cè)時）是無窮大。在（0，π/2）內(nèi) y = tgx 是無界變量
x 趨于0時，函數(shù) y =（1/x）sin（1/x）不是無窮大，但它在區(qū)間（0，1）內(nèi)無界。
不仿再用高級語言來作個對比。任意給定一個正數(shù)E，不管它有多大，當(dāng)過程發(fā)展到一定階段以后，無窮大量的絕對值能全都大于E ；而無界變量只能保證在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)至少能找到一點，此點處的函數(shù)絕對值大于E 。
3. 運算與比較
有限個無窮小量的線性組合是無窮小 ；“∞-∞”則結(jié)果不確定。（未定式！）
乘積的極限有三類可以確定：
有界變量?無窮小 = 無窮小 無窮小?無窮小 = （高階）無窮小
無窮大?無窮大 = （高階）無窮大
其它情形都沒有必然的結(jié)果，通通稱為“未定式”。
例1 作數(shù)列 x = 1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -
y = 0，1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -
兩個數(shù)列顯然都無界，但乘積xy 是零數(shù)列。這表示可能會有 無界?無界 = 有界 ！！！！！！！！！！！
兩個無窮小的商求極限，既是典型的未定式計算，又有深刻的理論意義。即“無窮小的比較”。如果極限為1，分子分母為等價無窮小；極限為0 ，分子是較分母高階的無窮小；極限為其它實數(shù)，分子分母為同階無窮小。
無窮大有類似的比較。
無窮小（無窮大）的比較是每年必考的點。
x趨于0時，α = x sin（1/x）和β = x都是無窮小，且顯然有∣α∣≤∣β∣；但是它們的商是震蕩因子sin（1/x），沒有極限。兩個無窮小不能比較。這既說明了“極限存在”是“比較”的前提，又再一次顯示了震蕩因子sin（1/x）的用途。
更有意思的是，若 γ == x 的k次方，則無論 k = 0.9 , 還是k = 0.99, k = 0.999,……，α總是比γ高階的無窮小。
回到基本初等函數(shù)，我們看到
x趨于 +∞ 時，y = x的μ 次方，指數(shù)μ＞0的冪函數(shù)都是無窮大。且習(xí)慣地稱為 μ階無窮大。
（潛臺詞：這多象汽車的1檔，2檔，--- 啊。）
x趨于 +∞ 時，底數(shù)a大于1的指數(shù)函數(shù) y = a 的x 次方 都是無窮大；底數(shù)小于1的都是無窮小。
x趨于 +∞ 或 x 趨于0+ 時，對數(shù)函數(shù) y = lnx 是無窮大。
x 趨于∞ 時，sin x 及 cos x 都沒有極限。 正弦，余弦，反三角函數(shù)都是有界變量。
請體驗一個很重要也很有趣的事實。
（1） x → +∞ 時， lim（ x 的n次方 ∕ e的 x 次方） = 0 ， 這表明：
“x趨于 +∞ 時，指數(shù)函數(shù)e xp（x ）是比任意高次方的冪函數(shù)都還要高階的無窮大。”
（2） x → +∞ 時， lim（ ln x ∕ x的δ 次方）= 0； δ是任意取定的一個很小的正數(shù)。這表明：
“對數(shù)函數(shù) ln x是比 xδ 都還要低階的無窮大。”
只需簡單地連續(xù)使用洛必達法則就能求出上述兩個極限。它讓我們更深刻地理解了基本初等函數(shù)。如果只知道極限值而不去體驗，那收獲真是很小很小。
例2 函數(shù)f (x) = xsinx ，則
（A）當(dāng)x →∞ 時為無窮大。 （B）在（-∞，+∞）內(nèi)有界。
（C）在（-∞，+∞）內(nèi)無界。 （D）在x → ∞ 時有有限極限。
分析 這與 y =（1/x）sin（1/x）在x趨于0時的狀態(tài)一樣。 （選（C））
例3 已知數(shù)列 x n和y n 滿足 n → ∞ 時，lim x n y n = 0 ，則
（A）若數(shù)列x n發(fā)散，數(shù)列y n必定也發(fā)散。 （B）若數(shù)列x n無界，數(shù)列y n必定也無界。
（C）若數(shù)列x n有界，數(shù)列y n必定也有界。（D）若變量1 ∕ x n為無窮小量，則變量y n必定也是無窮小量。
分析 盡管兩個變量的積為無窮小，我們卻無法得到其中任何一個變量的信息。例10給了我們一個很好的反例。對本題的（A）（B）（C）來說，只要y n是適當(dāng)高階的無窮小，就可以保證lim x n y n = 0
無窮小的倒數(shù)為無窮大。故（D）中條件表明x n為無窮大。
要保證lim x n y n = 0 ，y n 必須為無窮小量。應(yīng)選答案（D）。
《線性代數(shù)》——
（37）欲說《線代》先方程
初等數(shù)學(xué)以引入負數(shù)為起點，以方程為其重心之一。
最簡單的方程是一元一次方程。最基本的概念是方程的“根”或“解”。
什么東東叫一個方程（組）的根 —— 把東東代入這個方程（組），方程（組）化為恒等式。這個概念是學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》的基本需要。不少人讀到“齊次線性方程組有限個解的線性組合，仍然是該方程組的解”感覺盲然沒反應(yīng)，一是忘了概念，二是不動筆。應(yīng)對這些貌似理論的語句，其實方法很簡單。是不是“解”，代入方程（組）算一算。
（潛臺詞：關(guān)鍵是要勤動筆。）
由一元一次方程出發(fā)，關(guān)于方程的研究向兩個方向發(fā)展：
（1）一元n次方程
（2）n 元一次方程組（線性方程組）
大學(xué)數(shù)學(xué)《線性代數(shù)》教材有兩大板塊。第一板塊解線性方程組。基本工具是矩陣，核心概念是矩陣的秩，理論重心是“齊次線性方程組解集的構(gòu)造”。 第二板塊是矩陣特征理論基礎(chǔ)知識，在更高層次討方陣及其應(yīng)用。
n 階方陣 A 的特征方程是個一元 n 次方程。
一元n次方程的討論點為：求根公式，根的個數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系。
一元二次方程有求根公式，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有兩個根。（二重根算兩個根。）有韋達定理顯示根與系數(shù)的關(guān)系。
從十六世紀(jì)到十八世紀(jì)，人們努力探索了近兩百年，也沒能找到一元五次方程及五次以上方程的求根公式。回頭又花去整整六十年，才證明了所期盼的求根公式不存在。以后在理論方向發(fā)掘，又證明了
“一元n次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個根。”（k重根算k個根。）
還同樣找到了高次方程的 “韋達定理”。
對線性方程組的討論則衍生出若干基本理論。可以合稱為線性理論。依靠著完美透徹的線性理論，所有的線性問題（線性方程組，線性微分方程組，……）都得到了園滿解決。
在研究非線性問題時，人們找到了“有限元”，“邊界元”等線性化計算方法。但是一個非線性問題用線性化計算方法產(chǎn)生的齊次線性方程組可能有成千上萬個方程。這樣一來，方程組的表達方式自然就上升為首要問題。
描述一個齊次線性方程 a1x1 + a2x2 + --- + a nx n = 0 ，實際上只需按順序?qū)懗鏊南禂?shù)組就行了。這就產(chǎn)生了形式上的 n 維向量（a1，a2， …… ，an）。
方程組的兩種同解變換，即“方程兩端同乘以一個數(shù)”與“兩個方程相加（減）”，正好相應(yīng)照“數(shù)乘向量”與“向量加法”。
如果是有m個方程的齊次線性方程組，則m個系數(shù)行就排成一個m×n階矩陣。
如果把 n 個未知量也按順序排成一個向量，（x1，x2， …… ，x n），則每個方程的左端
“a1x1 + a2x2 + --- + a n x n” ，正好是，系數(shù)向量與未知量向量的 “對應(yīng)分量兩兩相乘，加在一起”。數(shù)學(xué)家們把這個計算方式規(guī)定為“向量的內(nèi)積（數(shù)量積）”。進而規(guī)定出“矩陣的乘法”。
2.向量內(nèi)積與矩陣乘法
由于理論或應(yīng)用的需要，人們經(jīng)常需要考慮在集合上定義更特殊的“運算”。這些“運算”在觀念上要比四則運算高一個層次。本質(zhì)上是人為規(guī)定的，集合中任意兩個元與唯一的“第三者”的特殊對應(yīng)規(guī)律。 高級語言稱之為集合上的 一個“二元關(guān)系” 。
內(nèi)積是n維向量集合上的一個“二元關(guān)系”—— 兩個n維向量對應(yīng)唯一確定的一個數(shù)。即
對任意兩個n 維行向量 α = (α1, α2, … ，αn) , β = (β1,β2 ,… ，βn) , 規(guī)定
內(nèi)積 α?β = αβˊ= α1β1 + α2β2 + … + αnβn （ = β?α）
（畫外音：喜歡口訣嗎？左行右列作內(nèi)積。對應(yīng)分量積相加。）
內(nèi)積又叫數(shù)量積。定義內(nèi)積是深化討論的常用手段，理論背景深遠，應(yīng)用范圍廣闊。比如，更高層次的討論中，在C[a，b] 函數(shù)集合上定義內(nèi)積為 內(nèi)積 （f，g）= 積函數(shù)f（x）g（x）在[a，b]上的定積分
《線性代數(shù)》教材中通常把n維向量設(shè)為列向量。借助于列向量可以把m×n階矩陣A表示為
A = (a1，a2，…，a n ) ，稱為矩陣 A 的 列分塊式 。
其中，列向量 a1 = ( a 11，…，a n 1 ) ˊ，…… ， a n = ( a 1n ，… ，a n n ) ˊ
如果把每個列塊視為一個元素，可以說 A = (a1，a2，… ，a n) 是一個“形式向量”。這個觀念對學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》大有好處。比如，讓“形式向量”與未知列向量x作“形式內(nèi)積”，可以把齊次線性方程組 A x = 0 改寫為
(a1，a2，… ，a n) （x1，x 2，… ，x n）ˊ= 0
即 x1 a1+ x 2 a2 +……+ x n a n = 0
后面將會利用這個形式轉(zhuǎn)換，把“（列）向量組的線性相關(guān)性”與“齊次線性方程組有無非零解”相連系。
矩陣乘法是矩陣集合上的一個“二元關(guān)系” 。它的計算基礎(chǔ)是向量內(nèi)積。具體規(guī)定為 ——
m×n 階矩陣A（a i j）與n×s 階矩陣B（b i j）可以有乘積矩陣AB =（c i j），
AB是m×s階矩陣，它的元素c i j 具體為 c i j = A的第i 行與B的第 j 列的內(nèi)積。
即 c i j = a i 1b j1 + a i2 b j 2 + … + a i n b j n ，1≤ i ≤ m ， 1 ≤ j ≤ s
階數(shù)規(guī)則 （m×n）（n×s）=（m×s）， 保證“左行右列作內(nèi)積”可行。
乘法變形1. （m×n）（n×s）=（m×s）—→（1×1）（1×s）=（1×s）
AB = A（b1，b 2，…，b s）=（A b 1，A b 2，…，A b s）
宏觀可乘：各分塊看成一個元素，滿足階數(shù)規(guī)則 （1×1）（1×s）=（1×s）
微觀可乘：對應(yīng)相乘的子塊 A b j 都滿足： （m×n）（n×1）=（m×1）
乘法變形2. （m×n）（n×s）=（m×s）—→（m×1）（1×s）=（m×s）
AB =（A的行分塊式）（B的列分塊式）
這個分塊乘積式顯式了矩陣乘法與內(nèi)積的關(guān)系。積矩陣AB 的每一個元都是內(nèi)積形式。
乘法變形3. （m×n）（n×s）=（m×s）—→（1×n）（n×s）=（1×s）
AB =（a1，a 2，…，a n）（b i j）
=（a 1 b 11 + a 2 b 21 + … + a n b n1 ，…，a 1 b 1n + a 2 b 2 n + … + a n b n n）
乘積AB具列分塊式。且它的各列都是A的列向量的線性組合。
乘法變形3 的特殊情形就是“形式內(nèi)積”。 （1×n）（n×1）=（1×1），考研數(shù)學(xué)題要求你會逆向還原：
c1 a1+ c 2 a2 +……+ c n a n = (a1，a2，… ，a n) （c1，c 2，… ，c n）ˊ
例 設(shè)有列向量組 a1 ，a2 ，a3 ，它們排成矩陣 A =（a1，a2，a3） ，如果它們的三個線性組合分別是 a1 + a2 + a3 ，a1 + 2a2 +4a3 ，a1 + 3a2 + 9a 3 ，試寫出新的三向量排成的矩陣B與A的關(guān)系。
分析 關(guān)鍵在于反寫形式內(nèi)積 a1 + a2 + a3 =（a1，a2，a3）（1，1，1）ˊ
a1 + 2a2 +4a3 =（a1，a2，a3）（1，2，4）ˊ
a1 + 3a2 + 9a3 =（a1，a2，a3）（1，3，9）ˊ
于是 ，這三個線性組合為列排成的矩陣 ，等于A乘以 “三個系數(shù)列排成的矩陣” 。
乘法變形4. （m×n）（n×s）=（m×s）—→（m×n）（n×1）=（m ×1）
AB =（a i j）（B的行分塊式）
乘積AB具行分塊式。且它的各行都是B的行向量的線性組合。
對我啟發(fā)很大！謝謝樓主！2012因此而受益
謝謝！