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考研論壇

標(biāo)題: 有意思（10）連續(xù)，可導(dǎo)，里普希慈條件 [打印本頁]

作者: 戰(zhàn)地黃花 時間: 2010-7-5 07:30
標(biāo)題: 有意思（10）連續(xù)，可導(dǎo)，里普希慈條件
函數(shù)在一點連續(xù)，隱含函數(shù)在此點鄰近有定義。
      函數(shù)在一點可導(dǎo)，則函數(shù)必定在此點連續(xù)?！翱蓪?dǎo)”條件強于“連續(xù)”。
      函數(shù)在一點二階可導(dǎo)，則函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)必定在此點連續(xù)，且一階導(dǎo)數(shù)在此點鄰近有定義。
      函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件是，（以此點為參照。）當(dāng)Δx 趨于0 時必有Δ y 趨于0
            若函數(shù) f (x) 在某區(qū)間內(nèi)有定義，且對區(qū)間內(nèi)任意兩點 x1 ，x2 總有
               ∣f (x1)-f (x2) ∣≤ C∣x1-x2 ∣，C為常數(shù)
就稱函數(shù)f (x) 在該區(qū)間內(nèi)滿足里普希茲條件。
      此時，若任選區(qū)間內(nèi)一點為中心點，自然有       ∣Δ y∣≤ C∣Δx ∣
   （潛臺詞：函數(shù)增量被自變量增量所控制。）
      這就表明，函數(shù)f (x) 必定連續(xù)?！袄锲障Ｆ潡l件”強于“連續(xù)”。
      但是，進一步只能有 ∣Δ y / Δx∣≤ C  ，有界不一定有極限。滿足里普希茲條件，不能說明函數(shù)可導(dǎo)。

      若函數(shù)f (x) 在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)有界，∣fˊ(x) ∣≤ M
則, 對區(qū)間內(nèi)任意兩點x1、x2，總可以運用拉格郎日公式得
               ∣f (x1)-f (x2) ∣=∣fˊ(ξ)∣∣x1-x2 ∣，ξ在x1與x2之間
于是 ∣f (x1)-f (x2) ∣≤ M∣x1-x2 ∣，即函數(shù)f (x) 在該區(qū)間內(nèi)滿足里普希茲條件。
      綜合上述，有
            “可導(dǎo)”條件強于“里普希茲條件”， “里普希茲條件”強于“連續(xù)”。

      有趣的是，函數(shù)f (x) 可不可能在某區(qū)間內(nèi)滿足下述條件呢？
      對區(qū)間內(nèi)任意兩點 x1 ，x2 總有
         ∣f (x1)-f (x2) ∣≤ C∣x1-x2 ∣的（1+α）次方  ， C，α 都是正常數(shù)
      此時，若任選區(qū)間內(nèi)一點x0為中心點，自然有
            ∣Δ y∣≤ C∣Δx∣的（1+α）次方，即  ∣Δ y / Δx∣≤ C的α次方
令Δx 趨于0 ，可得  ∣fˊ(x0)∣= 0
            由點x0 的任意性知，在某區(qū)間內(nèi) ∣fˊ(x)∣≡ 0 ，即 fˊ(x)≡ 0，f (x) 必為常函數(shù)。
            逆向思維，這個條件太苛刻了。一般函數(shù)都不能滿足它。
      一元微積分講究條件，基本條件要記得準(zhǔn)確。

作者: wubingwinner 時間: 2010-7-5 07:40
支持一個剛剛拜讀完還要時間理解

作者: agming 時間: 2010-7-5 08:14
留個腳印，感謝老師~~

作者: 灰太男 時間: 2010-8-17 20:28
頂起。樓主萬歲

作者: 老牛一頭 時間: 2010-8-17 20:50
關(guān)于函數(shù)中的絕對值，每次題中出現(xiàn)后，很是頭疼。。。。。。。唉。

作者: kyltpy 時間: 2010-11-30 07:36
感謝！

作者: 水門@魚兒 時間: 2011-5-21 15:04
真不錯啊啊

作者: 水門@魚兒 時間: 2011-5-21 15:05
太好了太有用了

作者: jocelyn52 時間: 2011-6-9 14:17
謝謝樓主~

作者: jackina 時間: 2012-3-6 19:39
謝謝老師

作者: milnor 時間: 2012-12-2 20:33
呵呵，您最后的那個很強的條件就是Holder條件吧？能問下您的專業(yè)研究方向嗎？千萬別告訴我您是搞arithmetic algebra geometry的！呵呵。。best wishes!

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