3. 矩陣A能與對角陣相似的初步應用
一個矩陣 A 能與對角陣相似，有什么好？隨便說幾條。
（1）矩陣 A 與對角陣Λ 相似，且 秩r (A) = r ，則顯然 λ= 0 是 A 的 n - r 重特征值。
（潛臺詞：相似矩陣有相同的特征值。特征值看對角陣。
（2）矩陣 A 與對角陣Λ 相似，且 秩r (A) = r ≠ 0 ，則 A的k次方 與 Λ的k次方 相似。所以，A的k次方矩陣的秩也為 r ，換句話說，A 一定不是“冪零陣”。
（3）A 的 k次方難解。如果矩陣 A 能與對角陣相似，我們可以求出它的n個特征值，及相應的n 個線性無關的特征向量，再排出關聯矩陣P和對角陣Λ，由定義式 Pˉ1（A的k次方）P = Λ的k次方 ,就能反解出（A的k次方）。
這是一類出現頻率較高的大分值考研試題。
（4）矩陣 A 能與對角陣相似，則 A 有 n 個線性無關的特征向量。把它們選為n維向量空間的（坐標）基，會給應用帶來很大的方便。
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啊！大學數學《線性代數》的理論精髓就集中體現在這兒了。理解一遍，就是一次實實在在的總復習。坡度較高，但是路徑簡明單一。
（49）錦上添花對稱陣
一般的方陣可能有復的特征值，這會給我們帶來額外的困難。 1.對稱陣A的特征值與特征向量
對稱陣A的特征值與特征向量有與眾不同的3個特點。
（1）對稱陣A 的 n 個特征值一定都是實數。
（2）對稱陣A 如果有重特征值，則每個 k重特征值所擁有的特征向量集的秩一定等于重數 k 。即每個重特征值都不會虧損。
（3）對稱陣A 的屬于不同特征值的特征向量正交。
有了（1）和（2），就已經保證了，每一個對稱陣都能與對角陣相似。且相關的計算，無論是計算特征值還是計算特征向量，都能保持在實數范圍內進行。
這樣一來，非零的對稱陣A 一定不是冪零陣。 且一定有 （A的k次方）的秩 = A的秩 n 維向量空間的標準正交基 ——
特點（3）錦上添花。如果對稱陣A 有 n個單特征。那么，相應的 n 個線性無關的特征向量天然地兩兩正交。只需逐個單位化，就能得到 n 個特征向量的標準正交組。
如果對稱陣A 有重特征，可以運用斯密特正交化方法，先將每個重特征所擁有的特征向量集最大無關組標準正交化，近而合并得n個特征向量的標準正交組。
*這是 n 維向量空間的標準正交基，就象三維空間的坐標基 i ，j ，k
2.正交陣與*對稱陣A的“譜分解” 定義（正交陣） —— 列（或行）向量組是標準正交組的方陣稱為正交陣。
由定義可以直接驗算：
結論1. 矩陣 A 是正交陣的充分必要條件是， Aˉ1 = Aˊ
（潛臺詞：別忘了矩陣乘法的基點是“左行右列作內積”。 由定義與“標準正交”性，顯然 AˊA = E ）
結論2. A 是正交陣 —→ | A| = ±1
結論3. 只有兩類正交陣。或 a ij = A i j 或 a ij = -A i j 實際上， A* = | A|?Aˉ1 ，從而 A* = ±Aˊ，聯想 A* 的組成方式就自然知結論對。
（畫外音：“結論2”是個很有趣的構造結論。如果你用n個標準正交的列向量排成一個正交陣。利用結論2可以驗算，正交陣的行向量組自然也是標準正交組。）
典型計算 ——
（1）已知對稱陣A 或 A 的特征值，求正交陣 P ，使得 Pˉ1A P = Λ 即 PˊA P = Λ
實際工作量只不過是求 A 的特征值，特征向量，標準正交化，排出正交陣 P
最重要的是，“求正交變換 P ，把二次型化為標準型”的計算也就全都在這里了。
（ 2）已知對稱陣A 的特征值及特征向量，用公式 A = PΛPˉ1 ， 即 A = PΛPˊ 反求矩陣A
