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考研論壇

標(biāo)題: 考研數(shù)學(xué)講座（78）分布函數(shù)是核心 [打印本頁]

作者: 戰(zhàn)地黃花 時間: 2010-5-24 07:19
標(biāo)題: 考研數(shù)學(xué)講座（78）分布函數(shù)是核心
分布函數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)概率部分的核心概念。
   “分布函數(shù)”本值上是按照一個特定方式來計算與描述隨機變量事件的概率。
            隨機變量的分布函數(shù) —— 設(shè)X是一個隨機變量，定義其分布函數(shù)F(x)為：
                              對任意實數(shù)x ，x —→ F(x) = P (X ≤x)
         如果 X 是離散型隨機變量，則分布函數(shù)  F(x) = P ( X ≤ x)  = 不超過x的那些點的概率和
      如果X 是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為 f (x) ，則分布函數(shù)為
                  F(x) = P ( X ≤ x)  =  f (x)在(-∞,x ]上的積分       (變上限廣義積分)
         由概率的性質(zhì)可知，F(xiàn)(x) 非負(fù)不減。且
                     x →-∞ 時 lim F(x) = 0 而 x → +∞ 時 lim F(x) = 1
         （畫外音：有趣的是，定義分布函數(shù) F(x) = P ( X ≤ x)  ，是美國及西歐發(fā)達(dá)國家所采用的方式。前蘇聯(lián)等用的是F(x) = P ( X < x) 。我們的大學(xué)教材早期大都承接于前蘇聯(lián)，為什么會用這個定義，倒是個謎。）
      人們通常把離散型隨機變量 X 的取值點稱為它的概率質(zhì)點。即把概率比喻為總和為 1 的質(zhì)量。
      顯然，在第一個質(zhì)點左邊，F(xiàn)(x) = 0 ；在相鄰兩個質(zhì)點之間，F(xiàn)(x)為常數(shù)，其值恒等于左端質(zhì)點處的函數(shù)值。函數(shù)圖形為水平線段。從左向右一直到右端質(zhì)點處，函數(shù)才獲得一個增量，即該點所分布的概率質(zhì)量。這樣一來，從質(zhì)點x0左側(cè)到右側(cè)，圖形出現(xiàn)一個跳躍間斷。分布函數(shù)F(x) 顯然是右連續(xù)的“臺階函數(shù)”。
      我們可以寫出， F(x0) =  F(x0-0)+ P(x0)  或  P(x0) = F(x0)-F(x0-0)
            已知離散型隨機變量X的分布函數(shù)時，算出每個間斷點處的概率質(zhì)量，就得到分布列。

      對于連續(xù)型隨機變量，由于密度函數(shù) f (x) 非負(fù)可積，從幾何角度看， F(x) 是通常意義的變動面積函數(shù)，自然是連續(xù)函數(shù)。
   （潛臺詞：任選一點觀察，Δx → 0 時，必有 Δy → 0 ）
      對于每一個基本點x0 ，P(x0) = F(x0)-F(x0-0)= 0 ；這是連續(xù)型隨機變量的本質(zhì)標(biāo)志之一。也是“0概率事件不一定是不可能事件”的例證。
      如果已知連續(xù)型隨機變量 X 的分布函數(shù)，按照定義，它的導(dǎo)數(shù)就是 X 的密度。
      如果分布函數(shù)是分段定義的，那就在各段分別求導(dǎo)。定義分界點可以不管。得到分段定義的密度函數(shù)。

   （畫外音：喜歡口訣嗎。分布函數(shù)“非負(fù)不減右連續(xù)，左趨于0右趨1 ”）

   例38    設(shè)F1（x）與F2（x）分別是隨機變量X 1與X 2的分布函數(shù)。為了使得函數(shù)F(x) = a F1(x)-b F2 (x)是某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取
            （A） a = 3/5  ,  b =-2/5    （B） a = 2/3  , b = 2/3
                        （C） a = -1/2  ,  b = 3/2    （D） a = 1/2  , b =-3/2
               分析  由題設(shè)應(yīng)有  x → +∞ 時  lim(aF1(x)-b F2(x)) = a-b = 1 應(yīng)選（A）。
      例39  已知隨機變量X有密度函數(shù) f (x) =（1/2）exp（-|x|），求X的分布函數(shù)
      分析  本題考查分布函數(shù)定義，連續(xù)型隨機變量定義，與高等數(shù)學(xué)計算，即求由分段函數(shù)產(chǎn)生的變上限函數(shù)解析式。
      （潛臺詞：任給一點，視為定數(shù)，積分得到函數(shù)值。是否分段，給前考慮。）
      f (x)是分段函數(shù)，原點是定義分界點。要分段計算。
         x≤0時，f (x) = (1/2)exp(x)       ， F (x) =  f (x)在(-∞,x ]上的積分 = (1/2)exp(x)
               x>0時，f (x) = (1/2)exp(-x)，f (x) 在(-∞,0 ) 與 (0，x ]上有不同定義，故
                                       F (x) =  F(0) + P（0<X≤x）= 1-(1/2)exp(-x)

            還有既不是離散型也不是連續(xù)型的隨機變量。
      *例40    設(shè)隨機變量X的絕對值不大于1；且P（{X = -1}）=1/8，P（{X = 1}） = 1/4 ；在事件{-1<X<1}出現(xiàn)的條件下，X在（-1，1）內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長度成正比，試求
      （1）X的分布函數(shù)F（x）= P (X ≤ x) ；（2）X取負(fù)值的概率p
               分析  隨機變量X有概率質(zhì)點X = -1與X = 1，但概率質(zhì)量又不完全分布在質(zhì)點上，因而它既不是離散型隨機變量，也不是連續(xù)型隨機變量。所以題（1）中特別告訴你，它的分布函數(shù)定義同樣是F（x）= P (X ≤ x)
               我們按照定義計算，先考查并給出 F（x）= 0 及F（x）= 1的最特殊段。
      （1）任給一點x ，顯然有x<-1時，F(xiàn) (x) = 0 ；而  x≥1  時，F(xiàn) (x) = 1
                     -1<x<1  時，F(xiàn) (x) = P(X<-1) + P (X = -1) + P(-1<X ≤x) = 1/8 + P(-1< X≤ x )
            （畫外音：不要忘了，分布函數(shù)是概率的特殊描述。逆向思維，求分布函數(shù)就是算概率。
                  在這里還有，P(X<-1) = F（-1-0））
      設(shè)比例系數(shù)為k，已知條件概率可以表示為 P（(-1< X ≤ x )∣{-1<X<1} ) = k（x+1）
      x 無限靠近 1 時這個條件概率應(yīng)該趨于1，因而可以確定 k =1/2
            另一方面，由條件概率定義  P(AB) = P(B) P(A∣B) ，且 P({-1<X<1}) = 5/8 ，
而    事件 (-1< X ≤ x ) 與 {-1<X<1} 的交就是 (-1< X ≤ x )
故             P(-1<X ≤x) = P({-1<X<1}) (x+1)/2 = 5 (x+1)/16
            （潛臺詞：由已知條件算得條件概率P(A∣B)，由條件概率定義得到P(AB)。）
最終得    -1<x<1  時， F (x) =1/8 + 5 (x+1)/16
            （2） P (X<0) = F(0-0) = 7/16

             典型計算與算法 ——“分布函數(shù)法”
            已知隨機變量X的密度（或分布）函數(shù)，用“分布函數(shù)法”求隨機變量 g (X) 的分布密度。這是程序化的典型計算。是考研試題的一個重點題型。
       例41    已知隨機變量X有密度函數(shù) f (x) =1/π(1+ x2), 求隨機變量 Y = 2X 的密度
         分析  盡管是簡單的線性函數(shù)，也得按定義及標(biāo)準(zhǔn)步驟來計算
         經(jīng)觀查沒有分布函數(shù)為0或為1的最特殊段。
         任給一點y，（視為定數(shù)），分布函數(shù) G (Y) = P (Y ≤ y) = P (2X ≤ y) = P (X ≤ y/2) = F(y/2)
                  問題經(jīng)過反函數(shù)變化已經(jīng)轉(zhuǎn)換為計算X的分布函數(shù)。
               f (x)在（(-∞, y/2 ]上積分得  G(Y) =（arctg（y/2）+π/2）/π
求導(dǎo)得    Y = 2X的密度函數(shù) g (y) =1/π(4 + y 2 )
               例42 隨機變量X有概率密度f (x)，x≥0時，f (x) = exp(-x)，x < 0時 f (x) = 0，求隨機變量Y = exp(X)的概率密度。
         分析  Y = exp(X) ，故X < 0  時 Y <1 ，對應(yīng)的密度函數(shù) g（y）= 0
               在（1，+∞）上任給一點 y  ，（視為定數(shù)），
分布函數(shù)          G (Y) = P (Y ≤ y) = P (exp(X) ≤ y) = P (X ≤ ln y ) =1-1/y
               1≤ y< +∞時，Y的概率密度為  g（y）=1/ y 2

[ 本帖最后由戰(zhàn)地黃花于 2010-5-24 07:25 編輯 ]

作者: wubingwinner 時間: 2010-6-4 12:50
分析的好透徹呀！

作者: 0706390107 時間: 2010-9-17 23:33
好好啊，樓主高人！

作者: 匿名用戶 時間: 2011-6-25 11:04
挺透徹的~

作者: 漠漠么 時間: 2011-6-25 12:22
0概率事件不一定是不可能事件”，受教！謝謝！

作者: 1045290037 時間: 2011-7-3 14:07
教授辛苦了感謝

作者: wlkaoyanzixun 時間: 2011-7-15 17:11
很不錯！

作者: 涵筱楹瑜 時間: 2011-11-15 08:09
ding ding ding

作者: mynextstop 時間: 2011-11-15 16:35
好~！

作者: Miss_珍小妮 時間: 2011-11-15 17:42
馬克哦！

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