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考研論壇

標題: 求助高手,這個結論成立嗎? [打印本頁]

作者: 數學笨笨 時間: 2010-5-18 16:29
標題: 求助高手,這個結論成立嗎?
如果一個函數(沒說是連續的)f是由R到R的單射,那么如果有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(ab)=f(a)f(b)對一切實數a,b都成立,那么就能推出f(x)=x
但是,如果把f改成由復數域到復數域的單射,上述兩個等式對一切復數都成立,是否還有f是復數域上的恒等函數?若是,應該怎么證明.

作者: 數學笨笨 時間: 2010-5-18 16:36
標題: 額.....被完美的無視了- -!
....

作者: tian632671313 時間: 2010-5-22 09:26
應該可以的。。。我想不出其他的特殊情況

作者: 數學小癡 時間: 2010-5-23 18:47
看看f（x）=0；

作者: caigen1 時間: 2010-5-24 13:44
先在實數域內證明恒有 f（x）=x

A. 由題有：
  f（0）=f（0）+f（0）；
得 f（0）=0；
  又 f(1)=f(1)*f(1),得 f(1)=1或  f(1)=0 (f（1）=0,舍去，因為f為單射，且f(0)=0)。
易得 f(-1)=f(1)+f(0)=-1;
B.證f（x）為嚴增
  因為對任意 x>0,有x=x^(1/2)*x^(1/2);
故  f（x)=f（x^(1/2))^2>=0;
又 f（0）=0；f單射，則 f（x）>0;
同樣對x<0;有 f（x)=f(-1)*f(-x)=-f(-x)<0;
  任取實數 x y，且x>y,
有  f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y）>0;
  即  f(x)>f(y),嚴增。
C 證 f（x）=x
因為 “有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(ab)=f(a)f(b)對一切實數a,b都成立”，
當 x 為有理數時，記x為 x=p/q；（p，q為整數）
則  f（x）=f（p）*f（1/q）=p*f(1/q)=p/q;
f(a+b)=f(a)+f(b)和f(ab)=f(a)f(b)對一切實數a,b都成立，則對任意有理數 x，在其U（x，e），e為任意小正數，
由實數的稠密性，知有  在其左領域內有有理數列{An},An->x(n趨于無窮）,，右領域內有有理數列{Bn}，Bn->x（n趨于無窮）;
滿足    x-e<An<x<Bn<x+e,
  由B知 f（x）嚴增，則 f（An）<f(x)<f(Bn);
即當  n趨于無窮時，Lim（f（A(n））=Lim（A(n））=x，Lim（f（Bn））=Lim（B(n））=x，
由迫斂性知有 f（x）=x；
即證得  f（x）=x；

D  在復數域內有
         由  f（1）=f（i）*f（-i）=-f（i)^2,得 f（i）=i，或 f（i）=-i；
   又 f（a+bi)=f（a）+f（bi）=f（a)+f(b)f(i)=a+bf(i);
顯然滿足線性關系，
又  f（（a+bi)*w)=f(a+bi)*f(w)=(a+bf(i))f(w);
向量 (1,0),(0,i）可看做基向量，當f（i)=i時，滿足o
有  i  <-->  -i,為一一映射，但當  f（i)=-i，時滿足  f(a+b)=f(a)+f(b)和f(ab)=f(a)f(b)，但沒有 f（x）=x，恒等。

僅供參考。有參考答案不，有給我發一份吧，不甚感激,感覺上面不是很嚴密。D中嚴格的證明沒找到，只能顯然吧，呵呵。我的郵

箱 hhxsym@126.com

作者: caigen1 時間: 2010-5-24 18:27
標題: 再貼
先在實數域內證明恒有 f（x）=x

A. 由題有：
  f（0）=f（0）+f（0）；
得 f（0）=0；
  又 f(1)=f(1)*f(1),得 f(1)=1或  f(1)=0 (f（1）=0,舍去，因為f為單射，且f(0)=0)。
易得 f(-1)=f(1)+f(0)=-1;
B.證f（x）為嚴增
  因為對任意 x>0,有x=x^(1/2)*x^(1/2);
故  f（x)=f（x^(1/2))^2>=0;
又 f（0）=0；f單射，則 f（x）>0;
同樣對x<0;有 f（x)=f(-1)*f(-x)=-f(-x)<0;
  任取實數 x y，且x>y,
有  f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y）>0;
  即  f(x)>f(y),嚴增。
C 證 f（x）=x
因為 “有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(ab)=f(a)f(b)對一切實數a,b都成立”，
當 x 為有理數時，記x為 x=p/q；（p，q為整數）
則  f（x）=f（p）*f（1/q）=p*f(1/q)=p/q;
f(a+b)=f(a)+f(b)和f(ab)=f(a)f(b)對一切實數a,b都成立，則對任意有理數 x，在其U（x，e），e為任意小正數，
由實數的稠密性，知有  在其左領域內有有理數列{An},An->x(n趨于無窮）,，右領域內有有理數列{Bn}，Bn->x（n趨于無窮）;
滿足    x-e<An<x<Bn<x+e,
  由B知 f（x）嚴增，則 f（An）<f(x)<f(Bn);
即當  n趨于無窮時，Lim（f（A(n））=Lim（A(n））=x，Lim（f（Bn））=Lim（B(n））=x，
由迫斂性知有 f（x）=x；
即證得  f（x）=x；

D  在復數域內有
         由  f（1）=f（i）*f（-i）=-f（i)^2,得 f（i）=i，或 f（i）=-i；
   又 f（a+bi)=f（a）+f（bi）=f（a)+f(b)f(i)=a+bf(i);
顯然滿足線性關系，
又  f（（a+bi)*w)=f(a+bi)*f(w)=(a+bf(i))f(w);
向量 (1,0),(0,i）可看做基向量，當f（i)=i時，滿足。
有  i  <-->  -i,為一一映射，但當  f（i)=-i，時滿足  f(a+b)=f(a)+f(b)和f(ab)=f(a)f(b)，但沒有 f（x）=x，恒等。

   有沒人做啊，看了也給點意見啊。 A B C 項證的還算差不多，D顯然，沒什么可說明的。暈倒，下次還是少來了，老被人放鴿子。看熱鬧的多，參與的少！！！打字都用了半小時，浪費時間！

作者: 寶貝狂 時間: 2010-6-15 20:05
這得利用到Q在R上是稠密的

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