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考研論壇

標題: 考研數學講座（8）求導熟練過大關 [打印本頁]

作者: 戰地黃花 時間: 2010-3-2 07:31
標題: 考研數學講座（8）求導熟練過大關
函數在一點x0可導，其導數值也就是函數圖形在點（x0，f（x0））處的切線斜率。從這個意義出發，我們有時把函數可導說成是“函數光滑”。
   1  典型的不可導
   可導一定連續。函數的間斷點自然是不可導點。這是平凡的。我們感興趣的是函數連續而不可導的點。
   最簡單也最實用的反例是絕對值函數 y =∣x∣。這是一個分段函數。還原成分段形式后，在點x = 0 兩側分別用定義計算，易算得右導數為 1 ，左導數是－1
         進一步的反例是 y =∣sinx∣在點 x = 0 和 y =∣lnx∣在點 x = 1 連續而不可導。
   從圖形變化上去看一個連續函數取絕對值，那是件非常有趣的事情。
   連續函數在相鄰的兩個零點之間不變號。如果恒正，每一個正數的絕對值就是自已。在這兩個零點間的函數圖形不變。如果恒負，每一個負數的絕對值都是它的相反數。這兩個零點間的函數圖形由x軸下面對稱地反射到了x 軸上方。
   y =sinx  在原點的左側鄰近為負，右側鄰近為正。它的圖形在原點右側段不變，將左側段對稱地反射到上半平面，就是y =∣sinx∣的圖形。反射使得圖形在原點處形成一個尖角，不光滑了。
   這是否是一個普遍規律？不是！比如 y = x立方與 y = | x立方 |  在 x = 0 點都可導。
   函數 y = x立方的圖形叫“立方拋物線”。在點 x = 0，函數導數為 0，圖形有水平的切線橫穿而過。（潛臺詞：真有特色啊，突破了我們原有的切線印念。）要是取絕對值，圖形的原點左側段對稱地反射到上半平面，但水平的切線保持不變。新函數仍然光滑。這里的關鍵在于，函數值為0，導數值也為0，x = 0 是立方函數的重零點。
   綜合上述, 在f (x) 恒為正或恒為負的區間上，曲線 y = | f (x) | 和曲線 y = f (x) 的光滑性是一致的。只有在f (x) 的零點處，才可能出現曲線 y = f (x)光滑而曲線 y = | f (x) | 不光滑的狀況。
         數學三的考巻上有過這樣的4分選擇題。
   例31 f (x) 在點x = a 可導，則 | f (x) | 在 x = a 不可導若函數的充分必要條件是
               （A） f (a) = 0且 f ′(a) = 0    （B） f (a) = 0 且 f ′(a) ≠ 0
                              （C） f (a) > 0 且f ′(a) > 0    （D） f (a) > 0 且 f ′(a) ＜ 0
         分析  如果沒有思路，首先聯想 y = x  與 y =  | x | 即可排除（A）；
   俗語說，連續函數“一點大于0，則一段大于0”；相應絕對值就是自己。（C）（D）顯然都錯；只有選（B）。
   （畫外音：如果用代數語言，f (x)可導，f (a) = 0，而f ′(a) ≠ 0，則點a是f (x)的單零點。這道題該算擦邊題。）
   2．討論深化
   我在講座（2）中舉例，“連續A + 不連續B = ？”
   如果，“連續A + 不連續B = 連續C”  則  “ 連續C －連續A = 不連續B”
這與定理矛盾。所以有結論： 連續函數與不連續函數的和一定不連續。
   推理的關鍵在于，逆運算減法可行。
         自然類似有：可導A +（連續）不可導B  = 不可導C。比如 y = x +∣sinx∣在點 x = 0 不可導。
   例32 函數 f（x）=∣sin x∣+∣cos x∣的不可導點是（？）
   分析函數為“和”結構。無論是∣sin x∣的不可導點或∣cos x∣的不可導點，都是 f 的不可導點。即
            x = kπ  與  x = kπ +π/2 ，k = 0，±1，±2，…
      更深化的問題是： 可導A × (連續)不可導B ，是可導還是不可導？    比如 y = x ∣x∣在點0可導嗎？
      與“和”的情形相比，積的逆運算不一定可行。  當且僅當 A≠0 時，才有 C/A = B  所以
   結論1，若 f（x）在點 x0 可導，且 f（x0）≠ 0，g（x）在點x0 連續不可導，則積函數 y= f（x）g（x）在點 x0 一定不可導。
   結論2（*例33）已知函數 f (x) 在點 x = a 可導，函數 g (x) 在點 x = a 連續而不可導，試證明
            積函數  F（x）= f（x）g（x）在點 x = a 可導的充分必要條件是 f (a) = 0.
          證明先證充分性，設  f (a) = 0  則  F (a) = 0
         令 h→0 , F ′(a) = lim (F(a+h)－F（a））/ h = lim f(a+h) g（a+h）/ h
                                             = (lim (f(a + h) －f（a）)/ h ) lim g（a + h）
                        = f ′(a) g（a）
   再用反證法證必要性。設函數F (x)在點x = a可導而f (a) ≠ 0.，則由連續函數的性質可知函數f（x）在點x = a的某鄰域內恒不為零。逆運算除法可行。由結論1知矛盾。
   例34 設函數 f（x）可導，F（x）= f（x）（1+∣sinx∣），則 f（0）= 0 是F(x)在x = 0處可導的
               （A）充分必要條件。       （B）充分而非必要條件。
               （C）必要而非充分條件。    （D）既非充分又非必要條件。    （選（A））
      分析 1+∣sinx∣是可導函數+連續不可導函數類型，在0點仍然連續但不可導。由上例結論知應選（A）
      例35   函數 y =（x平方－x－2）∣x立方－x∣的不可導點的個數是
                  （A）3       （B）2       （C）1          （D）0
           分析  函數 y 具“積”結構。y = f（x）g（x），可導函數 f（x）= x平方－x－2 只有兩個零點 x = –1，x = 2，而連續函數 g（x）= ∣x立方－x∣有不可導點 x = 0，x = 1，x = –1；（即 x3－x 的三個零點。）其中有兩個不是 f（x）的零點。積函數在這兩點不可導。（選（B））。
      實際上，x = –1 是積函數的而重零點。
      3．函數求導（以下所涉及的函數都是可導函數）
      函數求導越熟練，高等數學的感覺越好。只要回憶一下，小時候，九九表你背了用了多少年？！初中時，有理數運算算了多少年？！中學里，代數式運算你又算了多少年？！而學習微積分，你花了多少時間作求導計算？！自己就明白問題之所在了。
      求函數的導數，第一設問是，我對什么類型的函數求導？
      對初等函數求導，要點是學會熟練地對初等函數作結構分析。應該設問（步步設問）：
   “是對復合結構求導還是對四則運算結構求導？”
      對含有多個變量（有參變量）的表達式求導，要始終提醒自己：“是對表達式中的哪一個變元求導？”
      對分段函數求導，各段分別求導；定義分界點用定義求導
      對冪指型函數求導，視 y = f（x）為恒等式，先取對數再求導，最后解出 y ′
      還有隱函數的求導法則；參數式所表述的函數求導；求乘積函數高階導數的Leibnitz（萊布尼茲）公式。
      沒辦法。這是首先必須要苦力干活的。沒有捷徑可循。

[ 本帖最后由戰地黃花于 2010-3-2 18:35 編輯 ]

作者: 戰地黃花 時間: 2010-3-12 08:06
標題: 典型的不可導
典型的不可導,"構造法"的標準思維.

作者: 戰地黃花 時間: 2010-3-22 08:23
實實在在了解連續函數.

作者: 戰地黃花 時間: 2010-4-11 20:42
你過關了嗎?!

作者: 戰地黃花 時間: 2010-5-3 20:31
標題: 還值得一讀
還值得一讀

作者: 20266 時間: 2010-5-3 20:45
看起來很亂啊。
我有個疑問，就是如果函數在一點的左右導數相等，則這點的導數存在，這時導函數在這一點連續嗎？

[ 本帖最后由 20266 于 2010-5-3 20:50 編輯 ]

作者: 戰地黃花 時間: 2010-5-4 22:30
標題: 回復 6樓 20266 的帖子
x →x0時，導函數的極限不一定存在。
請看我的貼子“有意思（4）……”。

作者: qq314187079 時間: 2010-5-8 02:49
不錯！

作者: dajiaobao 時間: 2010-5-8 16:21
非常不錯，贊一個~

作者: tian632671313 時間: 2010-5-9 09:24
標題: 回復 6樓 20266 的帖子
針對你這個問題，導函數在這個點是連續的。。。。

作者: nidiewoxing 時間: 2010-5-19 13:09
干得漂亮

作者: sisutly293 時間: 2010-5-23 01:28
下東西感覺很爽，唉，所以人們都喜歡座享受者而不是勞動者，所以，樓主是可敬的。

作者: 鋒葉 時間: 2010-5-23 12:38
函數求導越熟練，高等數學的感覺越好。好呀

作者: wubingwinner 時間: 2010-6-2 21:01
戰地老師的帖子總是分析的那么到位易懂謝謝啦

作者: ipo1231 時間: 2010-6-13 10:52
占地辛苦了啊

作者: initialnine 時間: 2010-6-14 11:25
非常好的帖子，掌握了一個新知識，呵呵

作者: 灰太男 時間: 2010-7-26 16:22
謝謝，很受用

作者: lnfxzzy2007 時間: 2010-10-23 10:57
學習的最高境界就是喻學于玩之中啊看來此君做到了

作者: sdc2010 時間: 2010-11-6 14:02

原帖由 戰地黃花 于 2010-5-4 22:30 發表
x →x0時，導函數的極限不一定存在。
請看我的貼子“有意思（4）……”。

連續函數，如果某點導數左極限=導數右極限，能推出可導且在該點導函數連續，對么？
如果左導數=右導數，只能推可導，不能推導函數連續，對么？

作者: huyaoqing123 時間: 2011-5-12 22:55
冒視看不懂哦

作者: redyb 時間: 2011-5-15 09:17
頂起，價值相當高。就這點東西我看了幾十小時書都沒看透，老師一點就透。

作者: hanghang0773 時間: 2011-7-22 12:56
老師辛苦了！謝謝老師~！

作者: huidanglingj 時間: 2012-5-23 23:56
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