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考研論壇

標(biāo)題: 考研數(shù)學(xué)講座（7）導(dǎo)數(shù)定義是重點 [打印本頁]

作者: 戰(zhàn)地黃花 時間: 2010-2-19 09:05
標(biāo)題: 考研數(shù)學(xué)講座（7）導(dǎo)數(shù)定義是重點
選定一個中心點 x0 ，從坐標(biāo)的角度講，可以看成是把原點平移；從物理角度說，是給定一個初始點；從觀察角度議，是選好一個邊際點。  微量分析考慮的問題是：  在 x0 點鄰近，如果自變量 x 有一個增量 Δx ，    則
函數(shù)相應(yīng)該有增量 Δy = f（x0+Δx）－ f（x0），我們?nèi)绾伪硎觯芯考肮烙嬤@個 Δy  呢？
   最自然的第一考慮是“變化率”。中國人把除法稱為“歸一法”。無論 Δx 的絕對值是多少， Δy／Δx 總表示，“當(dāng)自變量變化一個單位時，函數(shù)值平均變化多少。”
         定義   令 Δx 趨于零，如果增量商 Δy／Δx 的極限存在，就稱函數(shù)在點 x0 可導(dǎo)。稱極限值為函數(shù)在點x0 的導(dǎo)數(shù)。記為       Δx → 0 ， lim（Δy／Δx）=  f ′(x0)
         或    Δx → 0 ， lim (（f（x0+Δx）－ f（x0））／(x－ x0）)  =  f ′(x0)
         或    x →x0 ， lim (（f（x）－ f（x0））／(x－ x0）) = f ′(x0)
   理解1 你首先要熟悉“增量”這個詞。它代表著一個新的思維方式。增量 Δy  研究好了，在 x0 鄰近  ，             f（x）= f（x0）+ Δy  ，函數(shù)就有了一個新的表述方式。
   回頭用“增量”語言說連續(xù)，則“函數(shù)在點x0 連續(xù)” 等價于 “Δx 趨于0 時，相應(yīng)的函數(shù)增量 Δy 一定趨于0”
   理解2  要是以產(chǎn)量為自變量 x，生產(chǎn)成本為函數(shù) y ，則 Δy／Δx 表示，在已經(jīng)生產(chǎn) x0 件產(chǎn)品的狀態(tài)下，再生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均成本。導(dǎo)數(shù)則是點 x0 處的“邊際成本”。
   （畫外音：“生產(chǎn)”過程中諸元素的磨合，自然會導(dǎo)致成本變化。）
   如果用百分比來描述增量，則（Δy/y）／（Δx/x）表示，在 x0 狀態(tài)下，自變量變化一個百分點，函數(shù)值平均變化多少個百分點。如果 Δx 趨于零時極限存在，稱其（絕對值）為 y 對 x 的彈性。
   理解3    如果函數(shù) f 在區(qū)間的每一點處可導(dǎo)，就稱 f 在此區(qū)間上可導(dǎo)。這時，區(qū)間上的點與導(dǎo)數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系構(gòu)成一個新的函數(shù)。稱為 f 的導(dǎo)函數(shù)。簡稱導(dǎo)數(shù)。函數(shù)概念由此得到深化。
   用定義算得各個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為“求導(dǎo)公式”。添上“和，差，積，商求導(dǎo)法則”與“復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則”，我們就可以計算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
   例24    設(shè)函數(shù)  f(x) =（n→∞）lim(（1 + x）∕（1 + x 的2 n次方）), 討論函數(shù) f(x) 的間斷點，其結(jié)論為
   （A）不存在間斷點    （B）存在間斷點x = 1       （C）存在間斷點x = 0          （C）存在間斷點x = －1
         分析這是用極限定義的函數(shù)，必須先求出 f(x) 的解析表達(dá)式，再討論其連續(xù)性。
   任意給定一點 x ，(視為不變。)此時，把分母中的“x的2n次方”項看成是“（x平方）的n次方 ”，這是自變量為 n 的指數(shù)函數(shù)。令 n→∞ 求極限計算相應(yīng)的函數(shù)值。
   鑒于指數(shù)函數(shù)分為兩大類，要討論把 x 給定在不同區(qū)間所可能的影響。（潛臺詞：函數(shù)概念深化，就在這變與不變。哲學(xué)啊！）算得
      －1＜x＜1  時，f(x) = 1 + x  ； f(1)=1  ； f(－1) = 0
而       x＜－1  或 x＞1 時，恒有 f(x) = 0  ，觀察得 x →1 時，lim f(x) = 2 ；應(yīng)選（B）。

    理解4    運用定理（2），“極限存在的充分必要條件為左、右極限存在且相等。”則
                 “函數(shù)在點x0可導(dǎo)” 等價于“左，右導(dǎo)數(shù)存在且相等”。
         討論分段函數(shù)在定義分界點x0處的可導(dǎo)性，先看準(zhǔn)，寫下中心點函數(shù)值  f（x0），然后分別在 x0 兩側(cè)算左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)。
   例25    （1）h 趨于 0+ 時， lim( f(h)－f(0）)/h 存在不等價于函數(shù)在 0 點可導(dǎo)，因為它只是右導(dǎo)數(shù)。
   （2）h 趨于 0 時，  lim (f(2h)－f（h））/h 存在不等價于函數(shù)在 0 點可導(dǎo)，因為分子中的函數(shù)増量不是相對于中心點函數(shù)值的増量。
   請對比:  如果 f（x）函數(shù)在 0 點可導(dǎo)，則 h→0 時，
         lim (f(2h)－f（h））/ h = lim (f(2h)－f(0）+ f(0）－f（h））/ h
                                                   = 2lim (f(2h)－f(0）) / 2h － lim (f（h）－f(0))/ h
                                                   = 2 f ′(0) － f ′(0) =  f ′(0)
      （畫外音：我把上述恒等變形技術(shù)稱為“添零項獲得增量”。考試中心認(rèn)為你一定會這個小技術(shù)。
   （2）中的不等價，要點在于，即便（2）中的極限存在，f（x）在 0 點也可能不可導(dǎo)。你可以作上述恒等變形，但是，你無法排除“不存在－不存在 = 存在” ）
   例26 若函數(shù) f（x）滿足條件 f（1+x）= a f（x），且 f ′(0) = b，數(shù) a≠0，b≠0 則
   （A）  f（x）在x = 1不可導(dǎo)。（B）f ′(1) = a          （C）f ′(1) = b                （D）f ′(1) =a b
      分析  將 f ′(0) = b 還原為定義  lim (f(0+h)－f（0））/ h = b ,
      要算 f ′(1) ，考查  lim (f(1+h)－f（1））/ h    ；如何向 f ′(0) 的定義式轉(zhuǎn)化？！只能在已知恒等式上下功夫。
   顯然 f(1+h)= a f（h）；而 f（1）= f（1+0）= a f（0）
            lim (f(1+h)－f（1））/ h  =  lim a (f(h)－f（0））/ h = ab       應(yīng)選（D）。
   *理解5   兩個無窮小的商求極限，就可以看成是兩個無窮小的比較。于是，
   連續(xù)函數(shù)  f（x）在點 x0 可導(dǎo)的充分必要條件是，  x →x0  時，函數(shù)增量 Δy 是與 Δx 同階，或較 Δx 高階的無窮小。
      考研的小題目中，經(jīng)常在原點討論可導(dǎo)性，且往往設(shè)函數(shù)在原點的值為零。我稱這為“雙特殊情形”。這時，要討論的增量商簡化為 f（x）/x ，聯(lián)想一下高低階無窮小知識，可以說，“雙特殊情形”下函數(shù)在原點可導(dǎo)，等價于 x 趨于 0 時，函數(shù)是與自變量 x 同階或比 x 高階的無窮小。如果函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，你一眼就能得出結(jié)論。

  例27   設(shè)函數(shù) f（x）在點 x = 0 的某鄰域內(nèi)有定義，且恒滿足 ∣f (x)∣≤ x 平方，則點 x = 0 必是 f (x) 的
   （A）間斷點。  （B）連續(xù)而不可導(dǎo)點。  （C）可導(dǎo)點，且 f ′(0) = 0       （D）可導(dǎo)點，且  f ′(0) ≠ 0
      分析  本題中實際上有夾逼關(guān)系 0 ≤∣f (x)∣≤ x 平方，在 x = 0 的某鄰域內(nèi)成立。這就表明 f（0）= 0 ，且
            ∣f (x) / x∣≤∣ x∣，由夾逼定理得，f ′(0) = 0，應(yīng)選（C）。

   例28    設(shè)有分段函數(shù) f (x)： x ＞ 0 時，f (x) = (1－cosx)∕√x ； x ≤ 0 時，f (x) = x 平方g(x)
其中，g(x) 為有界函數(shù)。則 f (x) 在點 x = 0
                  （A）不存在極限。（B）存在極限，但不連續(xù)。  （C）連續(xù)但不可導(dǎo)。（D）可導(dǎo)。
   分析  由定義得中心點函數(shù)值 f（0）= 0 ；本題在“雙特殊情形”下討論。
   x ＞0  時，顯然 f (x) 是比 x 高階的無窮小。右導(dǎo)數(shù)為 0          （潛臺詞：1－cosx 是平方級無窮小。）
         x ≤ 0  時，f (x) / x = xg(x) ，用夾逼法可判定左導(dǎo)數(shù)為0 ；    應(yīng)選（D）。

   *理解6 運用定理（3），若 f（x）函數(shù)在點 x0 可導(dǎo)，即有已知極限  Δx → 0 ， lim（Δy／Δx）= f ′(x0)
于是       Δy／Δx =  f ′(x0) + α(x)（無窮小）；即 Δy = f ′(x0) Δx + α(x)Δx
      由此即可證明，函數(shù)在點x0可導(dǎo)，則一定在x0連續(xù)。
      “如果分母是無窮小，商的極限存在，則分子也必定是無窮小。”
   經(jīng)濟(jì)類的考生可以這樣來體驗“可導(dǎo)一定連續(xù)”。考數(shù)學(xué)一，二的同學(xué)則應(yīng)將此結(jié)論作為一個練習(xí)題。
   把導(dǎo)數(shù)定義中的極限算式記得用得滾瓜爛熟，你就既不會感到它抽象，也不會感到有多難。考研的題目設(shè)計都很有水平，如果側(cè)重考概念，題目中的函數(shù)結(jié)構(gòu)通常都比較簡單。
   不要怕定義。就當(dāng)是游戲吧。要玩好游戲，你總得先把游戲規(guī)則熟記于心。

[ 本帖最后由戰(zhàn)地黃花于 2010-2-20 07:34 編輯 ]

作者: 戰(zhàn)地黃花 時間: 2010-2-23 07:23
標(biāo)題: 首先武裝自己
陽春三月風(fēng)光好，抓好基礎(chǔ)正當(dāng)時。

作者: 戰(zhàn)地黃花 時間: 2010-3-2 07:34
標(biāo)題: (7)與(8)是一套
(7)與(8)是一套，正反兩面理解深。

作者: 戰(zhàn)地黃花 時間: 2010-3-12 08:05
標(biāo)題: 導(dǎo)數(shù)定義
導(dǎo)數(shù)定義,出現(xiàn)概率為1

作者: foryouj 時間: 2010-3-13 11:08
標(biāo)記下

作者: wubingwinner 時間: 2010-6-1 08:04
大師級人物謝謝為我們指導(dǎo)講解收益非淺

作者: zjy2011 時間: 2010-6-11 14:23
xiexie^^^^

作者: fishli007 時間: 2010-6-12 14:55
謝謝

作者: zhupengyu3638 時間: 2010-6-12 17:09
很受用感謝LZ了不過前幾個在哪？

作者: 鑫知識2011 時間: 2010-7-26 11:44
標(biāo)題: 請教
請教：設(shè)函數(shù) f(x) =（n→∞）lim(（1 + x）∕（1 + x的2 n次方）), 討論函數(shù) f(x) 的間斷點。
為什么把轉(zhuǎn)化為f(x) =（n→∞）lim(（1 + x）的（1-2n）此方求解結(jié)果不一樣，謝謝老師！

作者: 戰(zhàn)地黃花 時間: 2010-7-29 23:06
標(biāo)題: 回復(fù) 10樓鑫知識2011 的帖子
討論“用極限定義的函數(shù)”的性質(zhì)，第一步要求出函數(shù)的解析表達(dá)式。
你要注意，“1 + x 的2 n次方”不是“（1 + x）的2 n次方”

作者: swjtuliwei 時間: 2010-8-22 16:00
受益匪淺！

作者: xincai1988 時間: 2010-9-19 10:36
挺有用的。。。

作者: 小蝸牛zfj 時間: 2010-9-21 08:36
牛人！謝謝前輩的指導(dǎo)！

作者: 加油Jiao 時間: 2010-9-30 10:51
牛！

作者: 202020 時間: 2010-9-30 11:45
xiexie le

作者: benyz 時間: 2010-10-15 14:18
受用。謝謝

不要怕定義。就當(dāng)是游戲吧。要玩好游戲，你總得先把游戲規(guī)則熟記于心。

[ 本帖最后由 benyz 于 2010-10-15 14:27 編輯 ]

作者: npqgyd 時間: 2010-12-10 22:03
老師，向你敬個禮~~

作者: 風(fēng)舞二戒 時間: 2010-12-15 07:37
很精彩，謝謝老師！有一個問題， lim (f(2h)－f（h））/ h通過變化= f ′(0)，那到底函數(shù)在 0 點可導(dǎo)還是不可導(dǎo)？我還是搞不清楚

作者: sunchuang 時間: 2011-1-9 02:16
這是不是哪位大師的論文啊？你抄來的不？？？:o

作者: slyvia妍 時間: 2011-3-25 16:08
謝謝老師的講解！學(xué)習(xí)了！:loveliness:

作者: 考驗加油。 時間: 2011-6-12 15:37
老師這可以打印嗎。。。。我想打印下來

作者: lingecool8 時間: 2011-8-1 17:49
老師我感覺高數(shù)很簡單但是對線代沒信心啊.....

作者: 燈下的一泓 時間: 2011-10-13 12:06
  -1<x<1  時，f(x) = 1 + x  ； f(1)=1  ； f(-1) = 0
而       x<-1  或 x>1 時，恒有 f(x) = 0  ，觀察得 x →1 時，lim f(x) = 2 ；應(yīng)選（B）。

請教老師：此處x →1 - 時極限是2  可是  x →1 + 時極限是0吧

作者: hechyang 時間: 2012-6-24 10:43
厲害啊，您的講座分析很深入，讓人的理解能更加透徹....謝謝你啊....

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