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考研論壇

標題: 有限求和到積分的不等式問題！！！ [打印本頁]

作者: pengyuxu 時間: 2009-11-1 17:02
標題: 有限求和到積分的不等式問題！！！

說明一下：C^2(D)表示D上二階導數連續的函數空間！

[ 本帖最后由 pengyuxu 于 2009-11-1 17:45 編輯 ]

作者: 妍開 時間: 2009-11-11 10:25
標題: 這是個偽命題
2n+2等分后，
  左邊=|奇數號區間積分 *-1+ 1/2（奇數號區間積分+偶數號區間積分）|
         = 1/2|　奇數號區間積分-偶數號區間積分 |
   注意上述的被積函數皆為f ' (！！），故原式等價于證：　f＇換為f，ｆ＇＇換為f＇，ｆ一階可導的情形（！）。
現在舉反例：
　　在這２ｎ＋２個區間構造峰谷相間的正弦函數作為新的ｆ，左邊是許許多多個峰（谷）面積的一半，右邊只是半個峰（谷）面積，左比右大多了，而函數無限次可導。
　　
　　郁悶了一晚上啊！希望沒錯。有錯敬請指正。　
　

作者: 妍開 時間: 2009-11-11 23:32
標題: 罪過啊罪過！！！
從舉反例開始說錯了。這是個正確的命題。現重新解答如下（限于條件表達不規范但思路肯定嚴密）：

2n+2等分后，
 左邊=|奇數號區間積分 *-1+ 1/2（奇數號區間積分+偶數號區間積分）|
 = 1/2|　奇數號區間積分-偶數號區間積分 |
（用牛萊公式）
 注意上述的被積函數皆為f ' (！！），故原式等價于證：　f＇換為f，ｆ＇＇換為f＇，ｆ一階可連續導的情形（！）。
不妨假設左邊奇積分<偶積分，從而去掉絕對值。
并且兩邊同除以1/2。
考慮每對奇偶區間，任取它們中的一對研究，設其端點從左至右為x1,x2,x3，則左邊的每一個單位為每一對的偶區間積分 - 奇區間積分，用一次積分中值定理和牛萊公式，它其實是f ' (x)在 c1到c2的積分再乘小區間長度（即1/(2n+2))，其中x1<c1<x2<c2<x3（這里有一點點跳），它是不大于|f ' (x)|在x1到x3的積分*1/(2n+2)的，（最基本的定積分放縮），而這，正是右邊的單位。

作者: 妍開 時間: 2009-11-11 23:38
這題估計寫起來挺痛苦

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