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標題: 【華工考研院】考研數學 | 常考題型及重點(5)：矩陣、向量 [打印本頁]
作者: 華工引路人 時間: 2021-10-21 09:26
標題: 【華工考研院】考研數學 | 常考題型及重點(5)：矩陣、向量
題型分析
華工考研院聯合華工學長學姐針對考研數學開設考點分析主題。本文著重講解考研數學《線性代數》的重點，考研鵝可自行查缺補漏。
線性代數
第二章、矩陣
思考與點撥
矩陣及其運算是線性代數的核心，后續各章的基礎，考點較多，重點考點是逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程，這幾年還頻頻出現初等變換與初等陣的試題，應注意到的大致有以下幾部分內容.
1.基本運算：要搞清概念，熟練掌握運算規則并保證運算的正確性，重點關注以下幾點。
(1)搞清能否運算，怎樣運算，運算結果是什么.
(2)搞清數的運算、行列式的性質，與矩陣運算的區別.
(3)充分利用運算規則，如計算中結合律、分配律的利用，但矩陣運算沒有交換律，消去律.
2.逆矩陣：理解逆矩陣的概念，掌握運算法則，掌握矩陣可逆的充分必要條件，會證矩陣可逆，并能正確求出逆矩陣。
求逆矩陣的方法：對數值矩陣，一般有(1)公式法.A-1=1/︳A ︳A＊，特別適用二階矩陣；(2)初等變換法.[A ︳B]→[E ︳A].對抽象矩陣，一般有(3)定義法，化成AB=E，則A可逆，且A-1=B；(4)化成已知可逆矩陣的乘積，即若化成A=BC，其中B，C均是可逆陣，則A可逆，A-1=(BC)-1=C-1B-1.
證明A可逆的方法：
A可逆?︳A ︳≠0?AX=0有唯一零解?AX=b有唯一解?r(A)=n?A的行(列)向量組線性無關，或用反證法。
3.伴隨矩陣A＊：理解伴隨矩陣的概念，注意Ai j與A＊的聯系，能熟練得出A，A-1，A＊，(A＊)-1，︳A ︳，︳A＊︳之間的關系，如
(1)︳A＊︳=︳A ︳n-1，(2)若A可逆，(A＊)-1=1/︳A ︳A，A＊=︳A ︳A-1。
若公式中將A代入kA時，有
(kA)(kA)＊=︳kA ︳E，得(kA)＊=kn-1A＊；
若公式中將A代入A＊時，有
A＊(A＊)＊=︳A＊︳E，得(A＊)＊=︳A ︳n-2A.
A＊的秩只有n，1，0三種可能，且
4.矩陣方程：矩陣方程的試題較多，這類試題具有定的綜合性，既考查了利用矩陣運算法則、性質等把方程化簡，又考查了具體的數值計算。解這類試題要求分二步走，“先化簡”，寫出所求矩陣的最簡表達式，再代入具體的數值矩陣，進行數值運算(如題2.3)。
5.初等變換、初等陣、矩陣的秩及等價矩陣理解初等變換的概念，了解初等陣及其性質，能將矩陣的初等變換表達成矩陣乘初等陣，反之能將矩陣乘初等陣翻譯成作初等變換(如題2.1～2.3)理解矩陣秩的概念，掌握用初等變換求秩及逆矩陣的方法。
6.分塊陣：了解分塊陣及其運算，會求分塊對角陣的n次冪及分塊對角陣的逆等。
第三章、向量
思考與點撥
向量組的線性相關性是線性代數中的難點，也是考試的重點，考生應深刻理解線性相關性的內在的含義外，還應與線性表出、向的秩及線性方程組等相聯系，從各個側面加強對線性相關性的理解。
本章試題大致有以下四個部分:
1.向量的線性表出
向量β能否由向量組α1，α2，…αs，線性表出?方程組α1x1+α2x2+…αs x n=[α1，α2，…αs]X=An×s X=β是否有解，其解即是表出系數?r(A)和r(A︳β)是否相等。
若α1，α2，…αs線性無關，α1，α2，…αs，β線性相關，則β可由α1，α2，…αs線性表出，且表出法唯一。
若α1，α2，…αs線性相關，則至少存在一個向量αi可由其余向量線性表出。
向量組(I) β1，β2，…βs中任一個向量βi(1，2，…，s)都可由(Ⅱ) α1，α2，…αs線性表出，稱向量組(I)可由向量組(Ⅱ)線性表出，兩組向量可以相Ⅰ互表出，則稱兩向量組等價，等價向量組等秩，反之不成立。
2.向量組線性相關性的判別和證明
要說明或證明向量組α1，α2，…αs線性相關，只要求出(觀察出)有不全為零的數k1，k2，…ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0.即說明或證明方程組有k1α1+k2α2+…+ksαs=0有非零解。
證明一組向量α1，α2，…αs線性無關，有兩類題型：(1)若題設條件中只有一組向量(附有一些其他條件)，則應利用定義證明(實質上是反證法)；(2)若已知一組向量線性無關，要證另一組向量也線性無關，則可以用定義證明，也可以用等價向量組、秩、方程組等方法證明(例題2.5)。
3.求向量組的極大線性無關組及向量組的秩
應理解向量組的極大線性無關組的概念，并掌握其求法。
則向量組α1，α2，…αs和α1＇，α2＇，…αs＇是等價向量組，等價向量組等秩。
A=[β1，β2，…βs][ β1＇，β2＇，…βs＇]，
則β1，β2，…βs與β1＇，β2＇，…βs＇中任何對應的部分向量組有相同的線性相關性。向量組極大線性無關組不唯一，但極大無關組的向量個數是唯一的，此數即是向量組的秩。
4.向量空間，要求了解向量空間、子空間、解空間，基、維數，坐標等概念，了解基變換公式、坐標變換公式，會求過渡矩陣，掌握施密特標準正交化方法，這部分內容相對試題較少，從1987年考研數學統考以來，共出過4題，二個題是過渡矩陣的(例題1.1)，一題是求解空間的標準正交基，一題是求一個向量在一組基下的坐標。
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