精品日本亚洲一区二区三区,伊人久久狼人色精品无码 ,日鲁夜鲁天天鲁视频,国产精品久久亚洲,秋霞理论理论福利院久久,国产日韩欧美视频一区二区三区,色九九,国产精品美女久久久久久免费 ,九九干,韩国精品一区二区三区

考研論壇

標題: 考研數學:關于原函數存在性的問題 [打印本頁]

作者: 匿名用戶    時間: 2021-2-23 14:53
標題: 考研數學:關于原函數存在性的問題
今天看到一個幾年前的問題,寫了一個回答,可惜發不了,就新發一個帖子吧,問題和回答如圖

問題大概是:一個連續函數的導數圖像出現了一個無窮間斷點,而老師說過函數有無窮間斷點,那么原函數不存在,這是否矛盾?

我思考了一下這個問題,寫個回答理清一下思路:
1.討論原函數存在的問題,必須給出一個具體區間,比如說:某個函數f(x)是否在R上有原函數F(x),而此時,如果說函數f(x)在這個所討論的區間內存在無窮間斷點,那么在這一點上就不可能有原函數。不過這倒不是因為間斷點的原因,因為無窮間斷點是該點極限不存在,不代表f(x)在該點處沒有定義
問題是:就算你在這一點處給f(x)補上了定義,比如f(x)=0,也不可能找到一個原函數F(x)在這一點處存在導數值F\'(x)
因為假設f(x)在這一點上有原函數F(x),根據導數極限定理,F(x)在該點處左導數等于導函數f(x)在該點處的左極限,為無窮大,右導數同樣為無窮大,那么F(x)在該點處導數F\'(x)不存在,與導函數f(x)在該點處有定義f(x)=0矛盾
因此,應該這么表述:f(x)在某個區間D上均有定義,但存在一個無窮間斷點,那么f(x)在區間D上不存在原函數

2.同樣的:f(x)在某個區間D上均有定義,但存在一個第一類間斷點,那么f(x)在區間D上不存在原函數,具體的原因我就不說了,網上找一找都有

3.如果是振蕩間斷點,就不一定,因為可能可以通過補充定義的方式使得其在整個區間上存在原函數,那個經典例子我就不弄出來了,手機上不方便打

4.回到題主的這個問題,這個導函數f(x)的圖像說明,f(x)不可能在R上存在原函數,而且它在那個間斷點處本身也沒有定義,更談不上有沒有原函數的問題,但不妨礙f(x)在除了這個點的左右區間上有一個原函數F(x),而且F(x)在R上連續
也就是說在F(x)這個點上連續那是沒有問題的,因為F(x)連續并不代表可導,類似的例子有F(x)=x^(1/3)在0處連續但不可導,同樣存在類似圖像的導函數f(x),在0處是無窮間斷點
另外說個類似的例子f(x)=1/x,我們默認它是連續的,而且有:連續函數必存在原函數,所以存在原函數F(x)=ln|x|,但實際上它只在定義域上連續,在R上并不連續,但是這并不矛盾,因為我們說它有原函數,默認的區間都是不包括0的,函數在沒有定義的點討論是否存在原函數又有什么意義呢

5.說到間斷點的問題,f(x)=lnx,在0的右側有定義,在左側沒有定義,而0處的右極限是無窮,那么0是否屬于無窮間斷點?
答案是不屬于,因為間斷點的討論需要f(x)在該點處去心鄰域,也就是左右都存在定義






歡迎光臨 考研論壇 (http://www.5522pp.com/) Powered by Discuz! X3.2