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考研論壇

標題: 已知f(x)在a處可導，當△x—＞0時，f(a+△x)可導嗎 [打印本頁]

作者: yangrongmao 時間: 2020-8-29 10:24
標題: 已知f(x)在a處可導，當△x—＞0時，f(a+△x)可導嗎
已知f(x)在點a處可導，那么當△x—＞0時，f(a+△x)是否一定可導？為什么？如果不一定可導，那么請舉出不可導的例子。
樓主的問題也可以表述萬：已知f(x)在點x=a處可導，那么f(x)在a的某鄰域內是否一定可導？如果不一定可導，那么請舉出一個例子，使得f(x)僅在某一點處可導，而在這一點的任意鄰域內都不可導。
謝謝大神！

作者: 想考華科鴨 時間: 2020-8-30 20:42
f（x）=x2D（x），其中D（x）為狄利克雷函數。

作者: yangrongmao 時間: 2020-9-2 13:06

想考華科鴨發表于 2020-8-30 20:42
f（x）=x2D（x），其中D（x）為狄利克雷函數。

您好！首先感謝您的回答！但是，我還是不太明白，您給的函數f（x）在實數范圍內每一點都不連續，按照大學高等數學教材里的定理，可導必連續，不連續的函數是不可導的，所以我認為f(x)是不可導的。請大神不吝賜教。萬分感謝！

作者: Wu2018 時間: 2020-9-3 21:52
以x為有理數和無理數進行分段，
令f(x)=0（x為有理數
令f(x)=x^2（x為無理數）
可以得到x在0點可導連續，而在其他任何地方均不可導且不連續

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